# Substitutionsregel (Integration durch Substitution): Formel, Beispiele > Die Substitutionsregel kehrt die Kettenregel um: ∫f(g(x))g′(x)dx = ∫f(u)du. Formel, Wahl von u, neue Grenzen bei bestimmten Integralen und Beispiele. Quelle: https://practicecalculus.com/de/regeln/substitutionsregel Aktualisiert: 2026-11-03 $$ \int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du, \quad u = g(x) $$ ## Auf einen Blick - **Umkehrung von:** Der Kettenregel für Ableitungen - **Einsatz:** Der Integrand enthält eine innere Funktion $g(x)$ und, bis auf eine Konstante, ihre Ableitung $g'(x)$ - **Entscheidender Schritt:** Setze $u = g(x)$ und ersetze $dx$ mithilfe von $du = g'(x)\,dx$ - **Bestimmte Integrale:** Die Grenzen auf $u = g(a)$ und $u = g(b)$ umrechnen - **Auch genannt:** Integration durch Substitution, Variablenwechsel ## Das Wichtigste - Die Substitutionsregel ist die Kettenregel rückwärts: Suche eine innere Funktion, deren Ableitung ebenfalls vorkommt. - Nach dem Substituieren darf das Integral nur noch $u$ und $du$ enthalten, kein $x$ mehr. - Ein fehlender konstanter Faktor ist kein Problem: Du gleichst ihn durch Multiplizieren und Dividieren aus. - Bei bestimmten Integralen rechnest du die Grenzen in $u$-Werte um oder substituierst vor dem Einsetzen zurück. Die **Substitutionsregel** ist die [Kettenregel](/rules/chain-rule) rückwärts angewendet. Enthält ein Integrand eine Funktion in einer anderen Funktion und dazu die Ableitung dieser inneren Funktion, dann verwandelt ein einziger Variablenwechsel ihn in ein Grundintegral. ## Die Formel der Substitutionsregel Ist $u = g(x)$ differenzierbar und $f$ stetig, so gilt $$\int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du$$ Der Trick steckt im Differential: Aus $u = g(x)$ folgt $du = g'(x)\,dx$, und das ersetzt den übrigen Faktor und das $dx$ gemeinsam. Bei einem bestimmten Integral ändern sich die Grenzen mit der Variablen: $$\int_a^b f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\,du$$ ## Die Schritte 1. **$u$ wählen**: die innere Funktion einer Verkettung. 2. **$du$ berechnen**: $du = g'(x)\,dx$, dann nach $dx$ oder nach dem benötigten Faktor auflösen. 3. **Substituieren**: das ganze Integral in $u$ umschreiben. Es darf kein $x$ übrig bleiben. 4. **Integrieren** in $u$ mit einer Grundregel wie der [umgekehrten Potenzregel](/rules/reverse-power-rule). 5. **Zurücksubstituieren** mit $u = g(x)$ oder bei einem bestimmten Integral die neuen Grenzen verwenden. ## Woran man sie erkennt | Muster im Integranden | Gute Wahl für $u$ | | --- | --- | | $(\text{etwas})^n \cdot (\text{seine Ableitung})$ | das „etwas“ | | $e^{g(x)}\,g'(x)$ | der Exponent $g(x)$ | | $\sin(g(x))\,g'(x)$, $\cos(g(x))\,g'(x)$ | das Argument $g(x)$ | | $\frac{g'(x)}{g(x)}$ | der Nenner $g(x)$, ergibt $\ln\lvert g(x)\rvert$ | | $f(ax + b)$ | der lineare innere Term $ax + b$ | ## Rechenbeispiele **Beispiel 1: eine Potenz.** Bei $\int 2x\,(x^2 + 1)^5\,dx$ setzt du $u = x^2 + 1$, also $du = 2x\,dx$: $$\int u^5\,du = \frac{u^6}{6} + C = \frac{(x^2+1)^6}{6} + C$$ **Beispiel 2: eine Konstante ausgleichen.** Bei $\int x\,e^{x^2}\,dx$ setzt du $u = x^2$, also $du = 2x\,dx$ und $x\,dx = \frac{1}{2}du$: $$\int e^{u}\cdot\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}e^{x^2} + C$$ **Beispiel 3: ein linearer innerer Term.** Bei $\int \cos(3x)\,dx$ setzt du $u = 3x$, also $dx = \frac{1}{3}du$: $$\int \cos(3x)\,dx = \frac{1}{3}\sin(3x) + C$$ **Beispiel 4: ein Logarithmus entsteht.** Bei $\int \tan x\,dx = \int \frac{\sin x}{\cos x}\,dx$ setzt du $u = \cos x$, also $\sin x\,dx = -du$: $$\int -\frac{1}{u}\,du = -\ln\lvert \cos x\rvert + C$$ **Beispiel 5: ein bestimmtes Integral.** Bei $\int_0^1 2x\,(x^2+1)^3\,dx$ setzt du $u = x^2 + 1$. Für $x = 0$ ist $u = 1$, für $x = 1$ ist $u = 2$: $$\int_1^2 u^3\,du = \left[\frac{u^4}{4}\right]_1^2 = \frac{16}{4} - \frac{1}{4} = \frac{15}{4}$$ ## Das Ergebnis überprüfen Leite das Ergebnis ab, dann solltest du den ursprünglichen Integranden samt innerer Ableitung zurückerhalten. Für Beispiel 1 liefert die Kettenregel $$\frac{d}{dx}\left[\frac{(x^2+1)^6}{6}\right] = (x^2+1)^5 \cdot 2x$$ und das passt. Weicht deine Probe um einen konstanten Faktor ab, hast du höchstwahrscheinlich vergessen, $du$ anzupassen. Weicht sie um einen Faktor ab, der $x$ enthält, war die Substitution von vornherein nicht zulässig, und du brauchst ein anderes $u$ oder eine andere Technik. ## Häufige Fehler 1. **$x$ im Integral stehen lassen.** Bei $\int x^2 e^{x^2}\,dx$ mit $u = x^2$ bleibt ein zusätzliches $x$ übrig, das sich nicht entfernen lässt. Hier versagt die Substitution, und keine Konstante hilft. 2. **Vergessen, $dx$ zu ersetzen.** $\int (2x+1)^3\,dx$ ist nicht $\frac{(2x+1)^4}{4} + C$. Mit $du = 2\,dx$ lautet das Ergebnis $\frac{(2x+1)^4}{8} + C$. 3. **Grenzen vermischen.** Nach dem Umschreiben in $u$ verwendest du die $u$-Grenzen. Setzt du die alten $x$-Grenzen in einen Ausdruck in $u$ ein, erhältst du eine falsche Zahl. 4. **Nicht zurücksubstituieren.** Das Ergebnis eines unbestimmten Integrals muss in $x$ angegeben werden. ## Wo sie einzuordnen ist Die Substitution ist die erste Technik, die du nach den Grundregeln und der [Linearität](/rules/integral-linearity-rules) ausprobierst. Ist der Integrand ein Produkt zweier unabhängiger Funktionen, etwa $x\,e^{x}$, gibt es keine innere Ableitung, die passt, und meist ist die [partielle Integration](/rules/integration-by-parts-rule) das richtige Werkzeug. Eine Schritt-für-Schritt-Anleitung mit weiteren Beispielen findest du im ausführlichen Leitfaden zur [Substitutionsregel](/blog/u-substitution). ## Häufig gestellte Fragen ### Was ist die Substitutionsregel? Es ist die Regel $\int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du$ mit $u = g(x)$. Sie verwandelt ein Integral, das aus der Kettenregel entstanden ist, in ein einfacheres Integral in $u$. ### Wie wählt man u bei der Substitution? Wähle den inneren Teil einer Verkettung, etwa den Ausdruck in einer Potenz, Wurzel, Exponential- oder Winkelfunktion, dessen Ableitung bis auf eine Konstante ebenfalls im Integranden steht. ### Was, wenn das Differential du um einen konstanten Faktor abweicht? Das ist in Ordnung. Ist $du = 3\,dx$, das Integral enthält aber nur $dx$, schreibst du $dx = \frac{1}{3}du$. So lassen sich nur konstante Abweichungen ausgleichen, keine fehlenden Variablen. ### Muss man bei der Substitution die Grenzen ändern? Ja. Bei einem bestimmten Integral rechnest du entweder die Grenzen mit $u = g(a)$ und $u = g(b)$ um, oder du substituierst $x$ zurück, bevor du die ursprünglichen Grenzen einsetzt. Vermische beides nicht.