# Summenregel und Differenzregel beim Ableiten: Formel und Beispiele

> Die Summen- und Differenzregel: Summen und Differenzen werden gliedweise abgeleitet. Die Formel, Rechenbeispiele, ein Beweis und typische Fehler.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/regeln/summenregel
Aktualisiert: 2026-11-03

$$ \frac{d}{dx}\,[f(x) \pm g(x)] = f'(x) \pm g'(x) $$

## Auf einen Blick

- **Anwendbar auf:** Jede Summe oder Differenz differenzierbarer Funktionen, mit beliebig vielen Summanden
- **In Worten:** Gliedweise ableiten und die Plus- und Minuszeichen beibehalten
- **Kombiniert mit:** Der Faktorregel, was $(af + bg)' = af' + bg'$ ergibt
- **Nicht anwendbar auf:** Produkte und Quotienten, dafür brauchst du die Produkt- und Quotientenregel
- **Gegenstück beim Integrieren:** $\int [f(x) \pm g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx$

## Das Wichtigste

- Die Ableitung einer Summe ist die Summe der Ableitungen, und dasselbe gilt für Differenzen.
- Sie gilt für beliebig viele Summanden, deshalb kannst du Polynome gliedweise ableiten.
- Für Produkte gibt es keine entsprechende Abkürzung: $(fg)' \ne f'g'$.

Die **Summen- und Differenzregel** besagt, dass du eine Summe oder Differenz Summand für Summand ableiten darfst. Die Ableitung von $f + g$ ist $f' + g'$, und die Ableitung von $f - g$ ist $f' - g'$. Diese Regel macht Polynome einfach.

## Die Formel der Summen- und Differenzregel

Sind $f$ und $g$ differenzierbar, dann gilt

$$\frac{d}{dx}\,[f(x) + g(x)] = f'(x) + g'(x)$$

$$\frac{d}{dx}\,[f(x) - g(x)] = f'(x) - g'(x)$$

Die Regel gilt für beliebig viele Summanden. Zusammen mit der [Faktorregel](/rules/constant-multiple-rule) besagt sie, dass das Ableiten **linear** ist:

$$\frac{d}{dx}\,[a\,f(x) + b\,g(x)] = a\,f'(x) + b\,g'(x)$$

## Beispiele

**Beispiel 1: ein Polynom.** Verwende auf jeden Summanden die [Potenzregel](/rules/power-rule) und auf die Konstante die [Konstantenregel](/rules/constant-rule):

$$\frac{d}{dx}\left(3x^2 - 5x + 8\right) = 6x - 5 + 0 = 6x - 5$$

**Beispiel 2: verschiedene Funktionstypen.** Jeder Summand verwendet seine eigene Regel:

$$\frac{d}{dx}\left(x^4 + \sin x - e^x\right) = 4x^3 + \cos x - e^x$$

**Beispiel 3: eine Differenz mit einem Logarithmus.**

$$\frac{d}{dx}\left(2\ln x - \sqrt{x}\right) = \frac{2}{x} - \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

**Beispiel 4: zuerst einen Bruch aufteilen.** Besteht der Nenner aus einem einzigen Term, teilst du jeden Summanden des Zählers durch ihn und verwendest dann die Summenregel:

$$\frac{x^2 + 1}{x} = x + x^{-1} \quad\Rightarrow\quad \frac{d}{dx}\left(x + x^{-1}\right) = 1 - x^{-2} = 1 - \frac{1}{x^2}$$

So umgehst du die [Quotientenregel](/rules/quotient-rule) komplett.

```graph
title: 'Graph von y = x³ − 3x und seiner Ableitung y = 3x² − 3'
caption: 'Gliedweises Ableiten liefert $3x^2 - 3$. Das ist null bei $x = \pm 1$, genau dort, wo $x^3 - 3x$ seine Extrempunkte hat.'
x: [-2.5, 2.5]
y: [-4, 6]
functions:
  - expr: x^3 - 3x
    label: y = x³ − 3x
  - expr: 3x^2 - 3
    label: y = 3x² − 3 (Ableitung)
    dashed: true
points:
  - [-1, 2, '(−1, 2)']
  - [1, -2, '(1, −2)']
```

## Warum die Summenregel gilt

Zerlege in der [Definition der Ableitung über den Grenzwert](/blog/limit-definition-of-the-derivative) den Differenzenquotienten in zwei Differenzenquotienten:

$$\frac{[f(x+h) + g(x+h)] - [f(x) + g(x)]}{h} = \frac{f(x+h) - f(x)}{h} + \frac{g(x+h) - g(x)}{h}$$

Für $h \to 0$ macht die Summenregel für Grenzwerte (siehe die [Grenzwertsätze](/rules/limit-laws)) aus der rechten Seite $f'(x) + g'(x)$. Die Differenzregel folgt mit demselben Argument und einem Minuszeichen.

## Was die Summenregel nicht abdeckt

Die Summenregel ist so naheliegend, dass manche annehmen, Produkte und Quotienten verhielten sich genauso. Das tun sie nicht:

| Ausdruck | Richtige Regel | Richtige Ableitung |
| --- | --- | --- |
| $x^2 + \sin x$ | Summenregel | $2x + \cos x$ |
| $x^2 \sin x$ | [Produktregel](/rules/product-rule) | $2x\sin x + x^2\cos x$ |
| $\frac{x^2}{\sin x}$ | [Quotientenregel](/rules/quotient-rule) | $\frac{2x\sin x - x^2\cos x}{\sin^2 x}$ |
| $\sin(x^2)$ | [Kettenregel](/rules/chain-rule) | $2x\cos(x^2)$ |

Prüfe nach, dass die Ableitung von $x^2 \sin x$ nicht $2x\cos x$ ist: Zum Beispiel ist bei $x = \frac{\pi}{2}$ die richtige Ableitung $\pi$, während $2x\cos x$ den Wert $0$ liefert.

## Häufige Fehler

1. **Ein Minuszeichen verlieren.** In $\frac{d}{dx}(x^3 - \cos x)$ ist die Ableitung von $\cos x$ gleich $-\sin x$, also lautet das Ergebnis $3x^2 + \sin x$. Achte auf beide Vorzeichen.
2. **Die Regel auf Produkte übertragen.** $(fg)' \ne f'g'$. Verwende die Produktregel.
3. **Einen Bruch mit einer Summe im Nenner aufteilen.** $\frac{1}{x + 1} \ne \frac{1}{x} + 1$. Aufteilen darfst du nur, wenn der Nenner aus einem einzigen Term besteht.

Eine vollständige Sammlung von Beispielen zu Polynomen und zur Potenzregel findest du im vollständigen Leitfaden zur [Potenzregel](/blog/power-rule).

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist die Summenregel beim Ableiten?

Die Summenregel besagt $\frac{d}{dx}[f(x) + g(x)] = f'(x) + g'(x)$. Du leitest jeden Summanden einzeln ab und addierst die Ergebnisse.

### Gilt die Summenregel auch für mehr als zwei Summanden?

Ja. Wendest du sie wiederholt an, wird jeder Summand für sich abgeleitet. Deshalb lässt sich ein Polynom gliedweise ableiten.

### Ist die Ableitung eines Produkts das Produkt der Ableitungen?

Nein. Zur Summenregel gibt es keine Version für Produkte. Die Ableitung von $f(x)g(x)$ ist nach der Produktregel $f'g + fg'$.

### Darf ich einen Bruch aufteilen, um die Summenregel zu verwenden?

Ja, wenn der Nenner aus einem einzigen Term besteht. Zum Beispiel ist $\frac{x^3 + 2}{x} = x^2 + 2x^{-1}$, und das ergibt abgeleitet $2x - 2x^{-2}$.