# Potenzregel für Integrale: Formel, Beispiele und n = −1 > Die umgekehrte Potenzregel: Das Integral von x^n ist x^(n+1)/(n+1) + C für n ≠ −1. Formel, Beispiele mit Wurzeln und negativen Exponenten, Sonderfall ln|x|. Quelle: https://practicecalculus.com/de/regeln/umgekehrte-potenzregel Aktualisiert: 2026-11-03 $$ \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \ne -1 $$ ## Auf einen Blick - **Gilt für:** Jede Potenz von $x$ mit konstantem Exponenten $n \ne -1$ - **In Worten:** Den Exponenten um eins erhöhen, dann durch den neuen Exponenten teilen - **Ausnahme:** $\int x^{-1}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C$ - **Probe:** Leite das Ergebnis mit der Potenzregel ab; du solltest $x^n$ zurückerhalten - **Verwandte Regeln:** Potenzregel, Linearität des Integrals, Substitutionsregel ## Das Wichtigste - Die Stammfunktion von $x^n$ ist $\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ für jede Konstante $n \ne -1$. - Schreibe Wurzeln und Brüche zuerst als Potenzen: $\sqrt{x} = x^{1/2}$ und $\frac{1}{x^2} = x^{-2}$. - Der Fall $n = -1$ ist besonders: $\int \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C$. - Jedes unbestimmte Integral braucht ein $+ C$. Mit der **umgekehrten Potenzregel** findest du die Stammfunktion jeder Potenz von $x$. Sie ist die [Potenzregel](/rules/power-rule) rückwärts angewendet: Statt den Exponenten zu verringern und zu multiplizieren, erhöhst du den Exponenten und teilst. ## Die Formel der umgekehrten Potenzregel Für jeden konstanten Exponenten $n \ne -1$ gilt: $$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$$ Zwei Schritte: Den Exponenten **um eins erhöhen**, dann **durch den neuen Exponenten teilen**. Das $+C$ steht da, weil jede Funktion unendlich viele Stammfunktionen hat, die sich um eine Konstante unterscheiden. Das Ergebnis kannst du immer durch Ableiten überprüfen: $$\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right) = \frac{(n+1)x^{n}}{n+1} = x^n$$ ```graph title: 'Graph von y = x² und seinen Stammfunktionen y = x³/3 + C' caption: 'Jede gestrichelte Kurve ist $\frac{x^3}{3} + C$ für ein anderes $C$. Sie sind senkrecht gegeneinander verschoben und haben an jeder Stelle $x$ die Steigung $x^2$.' x: [-2.5, 2.5] y: [-4, 5] functions: - expr: x^2 label: y = x² - expr: x^3/3 label: y = x³/3 dashed: true - expr: x^3/3 + 2 label: y = x³/3 + 2 dashed: true - expr: x^3/3 - 2 label: y = x³/3 − 2 dashed: true ``` ## Beispiele | Integrand | Umgeschrieben | Stammfunktion | | --- | --- | --- | | $x^4$ | $x^4$ | $\frac{x^5}{5} + C$ | | $x$ | $x^1$ | $\frac{x^2}{2} + C$ | | $5$ | $5x^0$ | $5x + C$ | | $\sqrt{x}$ | $x^{1/2}$ | $\frac{2}{3}x^{3/2} + C$ | | $\frac{1}{x^3}$ | $x^{-3}$ | $-\frac{1}{2x^2} + C$ | | $\frac{1}{\sqrt{x}}$ | $x^{-1/2}$ | $2\sqrt{x} + C$ | | $\frac{1}{x}$ | $x^{-1}$ | $\ln\lvert x\rvert + C$ (Ausnahme) | **Beispiel: ein Polynom.** Kombiniere die Regel mit der [Linearität](/rules/integral-linearity-rules) und integriere Glied für Glied: $$\int \left(6x^2 - 4x + 3\right)dx = 2x^3 - 2x^2 + 3x + C$$ **Beispiel: ein negativer Exponent.** Schreibe $\frac{4}{x^5}$ als $4x^{-5}$: $$\int 4x^{-5}\,dx = 4 \cdot \frac{x^{-4}}{-4} + C = -\frac{1}{x^4} + C$$ Der Exponent geht von $-5$ auf $-4$. Addiert man eins zu einer negativen Zahl, wird sie weniger negativ. **Beispiel: ein gebrochener Exponent.** Bei $\int \sqrt[3]{x}\,dx$ schreibst du $x^{1/3}$. Der neue Exponent ist $\frac{4}{3}$, und durch $\frac{4}{3}$ zu teilen heißt, mit $\frac{3}{4}$ zu multiplizieren: $$\int x^{1/3}\,dx = \frac{3}{4}x^{4/3} + C$$ ## Die Ausnahme n = −1 Für $n = -1$ verlangt die Formel eine Division durch null, sie versagt also. Die Stammfunktion von $x^{-1}$ ist der natürliche Logarithmus: $$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C$$ Durch den Betrag gilt das Ergebnis auch für negative $x$. Deshalb hat $\frac{1}{x}$ in jeder Integraltabelle eine eigene Zeile. ## Wann man die umgekehrte Potenzregel verwendet Verwende sie, wenn der Integrand eine Summe von Termen der Form $kx^n$ ist, eventuell nach dem Umschreiben: - Polynome, Glied für Glied; - Wurzeln, nach dem Umschreiben in gebrochene Exponenten; - Terme mit $x$ im Nenner, nach dem Umschreiben in negative Exponenten; - Produkte oder Quotienten, die du zuerst **ausmultiplizieren oder aufteilen** kannst, etwa $\frac{x^3 + 1}{x} = x^2 + x^{-1}$. Ist die Basis etwas anderes als einfach $x$, etwa $(3x-2)^5$, brauchst du die [Substitutionsregel](/rules/u-substitution-rule). Steht die Variable im Exponenten, wie bei $2^x$, brauchst du die Exponentialregel $\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$. ## Häufige Fehler 1. **Durch den alten Exponenten teilen.** $\int x^3\,dx = \frac{x^4}{4} + C$, nicht $\frac{x^4}{3} + C$. 2. **Die Regel auf Produkte anwenden.** $\int x(x+1)\,dx$ ist nicht $\frac{x^2}{2}\cdot\left(\frac{x^2}{2}+x\right)$. Multipliziere zuerst zu $x^2 + x$ aus. 3. **Die Regel auf $\frac{1}{x}$ anwenden.** $\int x^{-1}\,dx$ ist $\ln\lvert x\rvert + C$, nicht $\frac{x^0}{0}$. 4. **Das $+C$ vergessen.** Ein unbestimmtes Integral ist eine ganze Schar von Funktionen. 5. **Die Potenz eines Binoms wie eine Potenz von $x$ behandeln.** $\int (2x+1)^3\,dx \ne \frac{(2x+1)^4}{4} + C$. Leitet man dieses Ergebnis ab, erhält man einen zusätzlichen Faktor $2$. Den Gesamtüberblick über Stammfunktionen, einschließlich der Regeln für Winkel- und Exponentialfunktionen, gibt der ausführliche Leitfaden zu [Stammfunktionen](/blog/antiderivatives). ## Häufig gestellte Fragen ### Was ist die umgekehrte Potenzregel? Sie ist die Integrationsversion der Potenzregel: $\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ für $n \ne -1$. Du erhöhst den Exponenten um eins und teilst durch den neuen Exponenten. ### Warum funktioniert die umgekehrte Potenzregel nicht für 1/x? Für $n = -1$ müsste die Formel durch $n + 1 = 0$ teilen. Die Stammfunktion von $\frac{1}{x}$ ist stattdessen $\ln\lvert x\rvert + C$. ### Wie integriert man eine Wurzel mit der Potenzregel? Schreibe $\sqrt{x}$ als $x^{1/2}$. Dann ist $\int x^{1/2}\,dx = \frac{x^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3}x^{3/2} + C$. ### Was ist das Integral einer Konstanten? Eine Konstante $k$ ist $kx^0$, also liefert die Regel $\int k\,dx = kx + C$. ### Darf ich die umgekehrte Potenzregel auf (2x + 1)^3 anwenden? Nicht direkt, denn die Basis ist nicht einfach $x$. Verwende die Substitutionsregel mit $u = 2x + 1$, das ergibt $\frac{(2x+1)^4}{8} + C$, oder multipliziere die dritte Potenz zuerst aus.