# Gaußscher Integralsatz (Divergenzsatz): Aussage und Beispiele > Gaußscher Integralsatz: Der Fluss eines Vektorfelds durch eine geschlossene Fläche ist gleich dem Dreifachintegral der Divergenz. Aussage und Beispiele. Quelle: https://practicecalculus.com/de/saetze/gaussscher-integralsatz Aktualisiert: 2026-11-03 $$ \iint_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iiint_E \nabla\cdot\mathbf{F}\,dV $$ ## Auf einen Blick - **Auch genannt:** Divergenzsatz, Satz von Gauß, Satz von Gauß-Ostrogradski - **Voraussetzungen:** $E$ ist ein Körper, dessen Rand $S$ eine geschlossene, stückweise glatte, nach außen orientierte Fläche ist, und $\mathbf{F}$ hat stetige partielle Ableitungen auf einem offenen Gebiet, das $E$ enthält - **Divergenz:** $\nabla\cdot\mathbf{F} = P_x + Q_y + R_z$ für $\mathbf{F} = \langle P, Q, R \rangle$ - **In Worten:** Der gesamte Ausfluss durch die Fläche ist gleich der gesamten Quellstärke im Inneren - **2D-Version:** Die Flussform des Satzes von Green - **Kurs:** Analysis 3 ## Das Wichtigste - Der nach außen gerichtete Fluss durch eine geschlossene Fläche ist gleich dem Dreifachintegral der Divergenz über den eingeschlossenen Körper. - Die Fläche muss geschlossen und nach außen orientiert sein. Eine offene Fläche schließt man zuerst und zieht den Fluss durch das hinzugefügte Stück wieder ab. - $\mathbf{F}$ muss im ganzen Körper glatt sein. Eine Punktquelle im Inneren, etwa bei einem Feld, das mit dem Quadrat des Abstands abfällt, macht den Satz ungültig. - Verwende ihn, wenn die Divergenz einfacher ist als das Feld oder wenn die Fläche aus vielen Stücken besteht. Der **Gaußsche Integralsatz**, auch Divergenzsatz oder Satz von Gauß genannt, besagt, dass der gesamte Fluss eines Vektorfelds aus einer geschlossenen Fläche heraus gleich der gesamten Divergenz des Felds im Inneren ist. Was durch die Hülle nach außen strömt, muss von Quellen im Inneren erzeugt werden. ## Aussage des Gaußschen Integralsatzes Sei 1. $E$ ein Körper im Raum, dessen Rand $S$ eine **geschlossene, stückweise glatte Fläche** ist, 2. $S$ mit dem **nach außen** zeigenden Normalenvektor $\mathbf{n}$ orientiert, und 3. $\mathbf{F} = \langle P, Q, R \rangle$ ein Feld mit **stetigen partiellen Ableitungen** auf einem offenen Gebiet, das $E$ enthält. Dann gilt $$\iint_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iiint_E \nabla\cdot\mathbf{F}\,dV, \qquad \nabla\cdot\mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$$ Dabei ist $\iint_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iint_S \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS$ der nach außen gerichtete Fluss. ## Was der Gaußsche Integralsatz bedeutet Stell dir $\mathbf{F}$ als Geschwindigkeitsfeld einer Flüssigkeit vor. Die Divergenz in einem Punkt ist die Rate, mit der dort pro Volumeneinheit Flüssigkeit entsteht: positiv an einer Quelle, negativ an einer Senke. Summiert man alles, was im Inneren des Körpers entsteht, erhält man die Gesamtmenge, die durch seine Oberfläche austritt. Wie beim [Satz von Green](/theorems/greens-theorem) heben sich die Flüsse durch alle inneren Wände zwischen winzigen Quadern gegenseitig auf, und nur der äußere Rand bleibt übrig. ## Warum jede Voraussetzung wichtig ist **Glattheit im Inneren.** Das Feld $\mathbf{F} = \frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|^3}$ mit $\mathbf{r} = \langle x, y, z \rangle$, dessen Stärke mit dem Quadrat des Abstands abnimmt, hat überall $\nabla\cdot\mathbf{F} = 0$, außer im Ursprung, wo die Divergenz nicht definiert ist. Auf der Einheitskugel gilt jedoch $\mathbf{F}\cdot\mathbf{n} = 1$, also ist der Fluss gleich dem Flächeninhalt $4\pi$ und nicht $0$. Der Satz versagt, weil $E$ den singulären Punkt enthält. Genau das ist das Gaußsche Gesetz: Der Fluss misst die Punktladung im Inneren. **Eine geschlossene Fläche.** Der Fluss durch eine offene Fläche wie eine Halbkugel ist nicht allein durch die Divergenz bestimmt. Schließe die Fläche zuerst. **Orientierung nach außen.** Mit nach innen zeigenden Normalen ändert der Fluss sein Vorzeichen. ## Rechenbeispiele **Beispiel 1: $\mathbf{F} = \langle x, y, z \rangle$ durch eine Kugel mit Radius $R$.** **Schritt 1.** $\nabla\cdot\mathbf{F} = 1 + 1 + 1 = 3$. **Schritt 2.** $\iiint_E 3\,dV = 3\cdot\frac{4}{3}\pi R^3 = 4\pi R^3$. **Direkte Probe.** Auf der Kugel ist $\mathbf{n} = \frac{\mathbf{r}}{R}$, also $\mathbf{F}\cdot\mathbf{n} = \frac{x^2 + y^2 + z^2}{R} = R$. Der Fluss ist $R$ mal der Flächeninhalt $4\pi R^2$, also $4\pi R^3$. **Beispiel 2: $\mathbf{F} = \langle x^3, y^3, z^3 \rangle$ durch die Einheitskugel.** $\nabla\cdot\mathbf{F} = 3x^2 + 3y^2 + 3z^2 = 3\rho^2$ in Kugelkoordinaten. Dann gilt $$\iiint_E 3\rho^2\,dV = \int_0^{2\pi}\int_0^{\pi}\int_0^1 3\rho^2\cdot\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta = 3\cdot\frac{1}{5}\cdot 2\cdot 2\pi = \frac{12\pi}{5}$$ Diesen Fluss als Oberflächenintegral zu berechnen, wäre deutlich aufwendiger. **Beispiel 3: ein Würfel mit sechs Seitenflächen.** Bestimme den nach außen gerichteten Fluss von $\mathbf{F} = \langle x^2, yz, z \rangle$ durch die Oberfläche des Einheitswürfels $[0, 1]^3$. **Schritt 1.** $\nabla\cdot\mathbf{F} = 2x + z + 1$. **Schritt 2.** Integriere Term für Term über den Würfel (jede andere Variable liefert beim Integrieren $1$): $$\iiint_E (2x + z + 1)\,dV = 1 + \frac{1}{2} + 1 = \frac{5}{2}$$ Ein Dreifachintegral ersetzt sechs einzelne Oberflächenintegrale. ## Häufige Fehler 1. **Den Satz auf eine offene Fläche anwenden.** Der Satz braucht den geschlossenen Rand eines Körpers. 2. **Eine Singularität übersehen.** Prüfe, ob $\mathbf{F}$ in jedem Punkt im Inneren definiert und glatt ist, besonders im Ursprung. 3. **Divergenz und Rotation verwechseln.** Die Divergenz ist ein Skalar, $P_x + Q_y + R_z$; die Rotation ist ein Vektor und gehört zum [Satz von Stokes](/theorems/stokes-theorem). ## Verwandte Sätze und Anleitungen Der Gaußsche Integralsatz, der [Satz von Stokes](/theorems/stokes-theorem) und der [Satz von Green](/theorems/greens-theorem) sind alle Varianten einer Idee: Das Integral einer Ableitung über ein Gebiet ist gleich dem Integral des ursprünglichen Felds über den Rand, genau wie beim [Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung](/theorems/fundamental-theorem-of-calculus-part-2). Für die Seite mit dem Dreifachintegral beginne mit [Doppelintegralen](/blog/double-integrals), und zu Vektoroperationen siehe [Vektoren, Skalarprodukt und Kreuzprodukt](/blog/vectors-dot-and-cross-product). ## Häufig gestellte Fragen ### Was besagt der Gaußsche Integralsatz? Ist $E$ ein Körper mit geschlossener, nach außen orientierter Randfläche $S$ und hat $\mathbf{F}$ stetige partielle Ableitungen auf einem Gebiet, das $E$ enthält, dann gilt $\iint_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iiint_E \nabla\cdot\mathbf{F}\,dV$. ### Wann verwendet man den Gaußschen Integralsatz? Man berechnet damit den Fluss durch eine geschlossene Fläche wie eine Kugel, einen Würfel oder einen Zylinder mit Deckeln, besonders wenn die Divergenz ein einfacher Ausdruck ist. Ein Dreifachintegral ersetzt dann mehrere Oberflächenintegrale. ### Kann man den Gaußschen Integralsatz auf eine offene Fläche anwenden? Nicht direkt. Füge eine Fläche hinzu, die sie schließt, etwa eine ebene Kreisscheibe bei einer Halbkugel, wende den Satz auf die geschlossene Fläche an und ziehe dann den Fluss durch das hinzugefügte Stück ab. ### Was ist der Unterschied zwischen dem Gaußschen Integralsatz und dem Satz von Stokes? Der Gaußsche Integralsatz verknüpft den Fluss durch eine geschlossene Fläche mit der Divergenz im eingeschlossenen Volumen. Der Satz von Stokes verknüpft die Zirkulation längs einer geschlossenen Kurve mit dem Fluss der Rotation durch eine von dieser Kurve berandete Fläche.