# Hauptsatz der Analysis Teil 1: Ableitung eines Integrals > Hauptsatz Teil 1: Ist f stetig, dann ist die Ableitung des Integrals von a bis x über f(t) dt gleich f(x). Aussage, Graph, Kettenregel und Rechenbeispiele. Quelle: https://practicecalculus.com/de/saetze/hauptsatz-der-analysis-teil-1 Aktualisiert: 2026-11-03 $$ \frac{d}{dx} \int_a^x f(t)\,dt = f(x) $$ ## Auf einen Blick - **Voraussetzungen:** $f$ ist stetig auf $[a, b]$, und $F(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ für $x$ in $[a, b]$ - **Aussage:** $F$ ist stetig auf $[a, b]$, differenzierbar auf $(a, b)$, und $F'(x) = f(x)$ - **In Worten:** Die Rate, mit der die aufsummierte Fläche wächst, ist die Höhe der Kurve - **Version mit Kettenregel:** $\frac{d}{dx}\int_a^{g(x)} f(t)\,dt = f(g(x))\,g'(x)$ - **Wichtige Folgerung:** Jede stetige Funktion hat eine Stammfunktion - **Kurs:** Analysis 1 ## Das Wichtigste - Leitet man ein Integral mit variabler oberer Grenze ab, erhält man den Integranden an dieser Grenze ausgewertet. - Ist die obere Grenze eine Funktion $g(x)$, multipliziert man mit $g'(x)$: Das ist die Kettenregel. - Die untere Grenze $a$ beeinflusst die Ableitung nicht, solange sie konstant ist. - Der erste Hauptsatz zeigt, dass Differenzieren und Integrieren Umkehrprozesse sind. Der **Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, Teil 1** (kurz: erster Hauptsatz) besagt: Baut man eine Funktion auf, indem man die Fläche unter einer stetigen Kurve aufsummiert, dann ist die Ableitung dieser Funktion die Kurve selbst. Er ist die erste Hälfte der Verbindung zwischen Ableitungen und Integralen. ## Aussage des ersten Hauptsatzes Sei $f$ **stetig** auf $[a, b]$, und definiere die **Integralfunktion** $$F(x) = \int_a^x f(t)\,dt, \qquad a \le x \le b$$ Dann ist $F$ stetig auf $[a, b]$, differenzierbar auf $(a, b)$, und $$F'(x) = f(x)$$ In Leibniz-Schreibweise: $\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x)$. Die Variable $t$ ist eine Integrationsvariable ohne eigene Bedeutung, und $x$ ist die obere Grenze. ## Was der erste Hauptsatz bedeutet $F(x)$ ist die orientierte Fläche unter $y = f(t)$ von $a$ bis $x$. Schiebt man $x$ um ein kleines $h$ nach rechts, kommt ein schmaler Streifen der Breite $h$ und ungefähr der Höhe $f(x)$ hinzu. Also gilt $$\frac{F(x + h) - F(x)}{h} \approx \frac{f(x)\,h}{h} = f(x)$$ und die Näherung wird für $h \to 0$ exakt. Die Rate, mit der sich die Fläche aufsummiert, ist gleich der Höhe der Kurve. ```graph title: 'Hauptsatz Teil 1: Fläche unter y = x² von 0 bis x wächst wie F(x) = x³/3' caption: 'Die schattierte Fläche bis $x = 1.5$ ist $F(1.5) = \frac{1.5^3}{3} = 1.125$. Die gestrichelte Kurve $F(x) = \frac{x^3}{3}$ folgt dieser Fläche, und ihre Steigung in jedem $x$ ist gleich der Höhe $x^2$.' x: [0, 2.2] y: [0, 4.5] functions: - expr: x^2 label: y = f(x) = x² - expr: x^3/3 label: F(x) = x³/3 (aufsummierte Fläche) dashed: true shade: {expr: x^2, from: 0, to: 1.5} points: - [1.5, 1.125, 'F(1.5) = 1.125'] ``` ## Warum die Stetigkeit wichtig ist Sei $f(t) = 0$ für $t < 0$ und $f(t) = 1$ für $t \ge 0$, und sei $F(x) = \int_{-1}^x f(t)\,dt$. Die aufsummierte Fläche ist $$F(x) = \begin{cases} 0 & x < 0 \\ x & x \ge 0 \end{cases}$$ und hat bei $x = 0$ einen Knick. Also existiert $F'(0)$ nicht und ist erst recht nicht gleich $f(0) = 1$. Das Integral ist weiterhin sinnvoll, aber an der Sprungstelle gilt die Aussage $F' = f$ nicht. Abseits der Sprungstelle, wo $f$ stetig ist, gilt $F' = f$ weiterhin. ## Rechenbeispiele **Beispiel 1: die Grundform.** $$\frac{d}{dx}\int_1^x \sqrt{1 + t^3}\,dt = \sqrt{1 + x^3}$$ Keine Integration nötig, und mit elementaren Funktionen auch gar nicht möglich. Ersetze $t$ durch $x$, und du bist fertig. **Beispiel 2: Die obere Grenze ist eine Funktion von $x$ (Kettenregel).** Bestimme $\frac{d}{dx}\int_0^{x^2}\cos t\,dt$. **Schritt 1.** Setze $u = x^2$. Dann ist das Integral $G(u) = \int_0^u \cos t\,dt$, und nach dem ersten Hauptsatz gilt $G'(u) = \cos u$. **Schritt 2.** Nach der [Kettenregel](/blog/chain-rule) ist $\frac{d}{dx}G(x^2) = \cos(x^2)\cdot 2x$. $$\frac{d}{dx}\int_0^{x^2}\cos t\,dt = 2x\cos(x^2)$$ Probe: Das Integral ist gleich $\sin(x^2)$, und dessen Ableitung ist $2x\cos(x^2)$. **Beispiel 3: Beide Grenzen hängen von $x$ ab.** Bestimme $\frac{d}{dx}\int_x^{2x} e^{t^2}\,dt$. **Schritt 1.** An einer Konstanten aufteilen: $\int_x^{2x} = \int_0^{2x} - \int_0^{x}$. **Schritt 2.** Jedes Teilintegral mit dem ersten Hauptsatz und der Kettenregel ableiten: $$\frac{d}{dx}\int_x^{2x} e^{t^2}\,dt = e^{(2x)^2}\cdot 2 - e^{x^2}\cdot 1 = 2e^{4x^2} - e^{x^2}$$ **Beispiel 4: eine untere Grenze mit $x$.** Vertausche zuerst die Grenzen: $\frac{d}{dx}\int_x^5 \sin(t^2)\,dt = \frac{d}{dx}\left(-\int_5^x \sin(t^2)\,dt\right) = -\sin(x^2)$. ## Häufige Fehler 1. **Den Faktor aus der Kettenregel vergessen.** $\frac{d}{dx}\int_0^{x^2}\cos t\,dt$ ist $2x\cos(x^2)$, nicht $\cos(x^2)$. 2. **Auch die untere Grenze einsetzen.** Für $\int_a^x f(t)\,dt$ mit konstantem $a$ lautet die Antwort einfach $f(x)$. Die konstante untere Grenze verschiebt $F$ nur um eine Konstante. 3. **Das Vorzeichen vergessen, wenn $x$ in der unteren Grenze steht.** Beim Vertauschen der Grenzen kommt ein Minuszeichen hinzu. 4. **Zuerst integrieren wollen, wenn das unmöglich ist.** Integranden wie $e^{t^2}$ haben keine elementare Stammfunktion, aber der erste Hauptsatz leitet das Integral trotzdem sofort ab. ## Warum der erste Hauptsatz wichtig ist Der erste Hauptsatz beweist, dass jede stetige Funktion eine Stammfunktion hat, nämlich $\int_a^x f(t)\,dt$. Genau das sorgt dafür, dass der [Hauptsatz Teil 2](/theorems/fundamental-theorem-of-calculus-part-2) funktioniert und bestimmte Integrale zu einer einfachen Subtraktion werden. Außerdem definiert er wichtige Funktionen wie $\ln x = \int_1^x \frac{1}{t}\,dt$. Die ganze Geschichte beider Teile findest du im [Leitfaden zum Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung](/blog/fundamental-theorem-of-calculus), und unter [Riemann-Summen](/blog/riemann-sums) die Definition des Integrals, auf der er beruht. ## Häufig gestellte Fragen ### Was besagt der erste Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung? Ist $f$ stetig und $F(x) = \int_a^x f(t)\,dt$, dann gilt $F'(x) = f(x)$. Die Ableitung der Flächenfunktion ist die ursprüngliche Funktion. ### Wie leitet man ein Integral mit x in der oberen Grenze ab? Ersetze $t$ im Integranden durch die obere Grenze. Ist die obere Grenze $g(x)$ statt $x$, multipliziere zusätzlich mit $g'(x)$. Zum Beispiel gilt $\frac{d}{dx}\int_0^{x^2}\cos t\,dt = 2x\cos(x^2)$. ### Was, wenn beide Integrationsgrenzen x enthalten? Teile das Integral an einer Konstanten auf oder verwende die Formel $\frac{d}{dx}\int_{h(x)}^{g(x)} f(t)\,dt = f(g(x))\,g'(x) - f(h(x))\,h'(x)$. ### Was ist der Unterschied zwischen Teil 1 und Teil 2 des Hauptsatzes? Teil 1 leitet ein Integral ab: $\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x)$. Teil 2 berechnet ein bestimmtes Integral mit einer Stammfunktion: $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$.