# Hauptsatz der Analysis Teil 2: bestimmte Integrale berechnen

> Hauptsatz Teil 2: Das bestimmte Integral von f über [a, b] ist F(b) − F(a) für jede Stammfunktion F. Aussage, Graph, Gegenbeispiel und Rechenbeispiele.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/saetze/hauptsatz-der-analysis-teil-2
Aktualisiert: 2026-11-03

$$ \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) $$

## Auf einen Blick

- **Auch genannt:** Zweiter Hauptsatz, Newton-Leibniz-Formel
- **Voraussetzungen:** $f$ ist stetig auf $[a, b]$, und $F$ ist irgendeine Stammfunktion von $f$ dort ($F' = f$)
- **Aussage:** $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$
- **Schreibweise:** $\big[F(x)\big]_a^b = F(b) - F(a)$
- **Form als Gesamtänderung:** $\int_a^b F'(x)\,dx = F(b) - F(a)$
- **Kurs:** Analysis 1

## Das Wichtigste

- Um $\int_a^b f(x)\,dx$ zu berechnen, bestimmst du irgendeine Stammfunktion $F$ und rechnest $F(b) - F(a)$.
- Das $+ C$ fällt bei der Subtraktion weg, du kannst es also weglassen.
- $f$ muss auf dem ganzen Intervall $[a, b]$ stetig sein. Eine Polstelle im Inneren macht das Ergebnis der Formel unsinnig.
- Das Integral einer Änderungsrate ist die Gesamtänderung: $\int_a^b F'(x)\,dx = F(b) - F(a)$.

Der **Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, Teil 2** (auch zweiter Hauptsatz oder Newton-Leibniz-Formel) besagt, dass man ein bestimmtes Integral berechnen kann, indem man eine Stammfunktion sucht und ihre Werte an den Intervallgrenzen voneinander abzieht. Er ersetzt den Grenzwert von Riemann-Summen durch eine einzige Zeile Algebra.

## Aussage des Hauptsatzes, Teil 2

Es gelte:

1. $f$ ist **stetig** auf $[a, b]$, und
2. $F$ ist **irgendeine Stammfunktion** von $f$ auf $[a, b]$, also $F'(x) = f(x)$.

Dann gilt

$$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$$

Die rechte Seite schreibt man oft als $\big[F(x)\big]_a^b$ oder $F(x)\Big|_a^b$.

## Was der zweite Hauptsatz bedeutet

Das bestimmte Integral summiert $f(x)\,dx$ über das ganze Intervall auf. Ist $f$ die Änderungsrate von $F$, dann ergibt das Aufsummieren aller kleinen Änderungen $F'(x)\,dx$ die Gesamtänderung von $F$, also $F(b) - F(a)$. Das ist der **Satz über die Gesamtänderung**: Integriert man die Geschwindigkeit, erhält man die zurückgelegte Strecke, integriert man eine Durchflussrate, erhält man das Gesamtvolumen.

```graph
title: 'Hauptsatz Teil 2: Fläche unter y = sin(x) von 0 bis π ist 2'
caption: 'Mit der Stammfunktion $F(x) = -\cos x$ ist die schraffierte Fläche $F(\pi) - F(0) = 1 - (-1) = 2$.'
x: [-0.5, 3.6]
y: [-0.5, 1.4]
functions:
  - expr: sin(x)
    label: y = sin(x)
shade: {expr: sin(x), from: 0, to: 3.14159}
vertical:
  - {x: 3.14159, label: 'x = π'}
```

## Warum die Stetigkeit wichtig ist

Betrachte $\int_{-1}^{1}\frac{1}{x^2}\,dx$. Eine Stammfunktion von $x^{-2}$ ist $-\frac{1}{x}$, und wendet man die Formel blind an, erhält man

$$\left[-\frac{1}{x}\right]_{-1}^{1} = -1 - 1 = -2$$

Aber $\frac{1}{x^2} > 0$ überall, also kann das Integral nicht negativ sein. Der Fehler: $\frac{1}{x^2}$ ist auf $[-1, 1]$ nicht stetig, weil die Funktion bei $x = 0$ gegen unendlich geht, daher ist der Hauptsatz nicht anwendbar. Richtig als [uneigentliches Integral](/blog/improper-integrals) behandelt, divergiert es gegen $\infty$. Prüfe also immer, ob es im Inneren des Intervalls Unstetigkeitsstellen gibt, bevor du die Grenzen einsetzt.

## Rechenbeispiele

**Beispiel 1: ein Polynom.** Berechne $\int_1^3 (2x + 1)\,dx$.

**Schritt 1.** Eine Stammfunktion ist $F(x) = x^2 + x$.

**Schritt 2.** $F(3) = 9 + 3 = 12$ und $F(1) = 1 + 1 = 2$.

**Schritt 3.** $\int_1^3 (2x + 1)\,dx = 12 - 2 = 10$.

Kontrolle mit Geometrie: Die Fläche ist ein Trapez mit den parallelen Seiten $f(1) = 3$ und $f(3) = 7$ und der Breite $2$, ihr Inhalt ist also $\frac{3 + 7}{2}\cdot 2 = 10$.

**Beispiel 2: ein trigonometrisches Integral.** Berechne $\int_0^\pi \sin x\,dx$.

$$\int_0^\pi \sin x\,dx = \big[-\cos x\big]_0^\pi = -\cos\pi - (-\cos 0) = 1 + 1 = 2$$

Das ist die Fläche unter einem Bogen der Sinuskurve, wie im Graphen oben gezeigt.

**Beispiel 3: ein Logarithmus.** Berechne $\int_1^e \frac{1}{x}\,dx$.

$\frac{1}{x}$ ist stetig auf $[1, e]$, und eine Stammfunktion ist $\ln x$. Also

$$\int_1^e \frac{1}{x}\,dx = \ln e - \ln 1 = 1 - 0 = 1$$

**Beispiel 4: Gesamtänderung.** Ein Tank wird mit $r(t) = 3t^2$ Litern pro Minute gefüllt. Zwischen $t = 1$ und $t = 2$ Minuten nimmt das Volumen zu um

$$\int_1^2 3t^2\,dt = \big[t^3\big]_1^2 = 8 - 1 = 7 \text{ liters}$$

## Häufige Fehler

1. **Falsche Reihenfolge beim Subtrahieren.** Es heißt $F(b) - F(a)$, die obere Grenze zuerst.
2. **Vergessene Klammern.** Mit $F(x) = x^2 - 3x$ schreibst du $F(b) - F(a) = (b^2 - 3b) - (a^2 - 3a)$. Ohne Klammern drehen sich Vorzeichen um.
3. **Unstetigkeiten übersehen.** Wie oben gezeigt, braucht ein Integrand, der im Inneren von $[a, b]$ gegen unendlich geht, die Methoden für uneigentliche Integrale.
4. **Fläche und orientierte Fläche verwechseln.** Der Hauptsatz liefert die orientierte Fläche: Teile unterhalb der $x$-Achse zählen negativ. Für die Gesamtfläche teilst du dort auf, wo $f$ das Vorzeichen wechselt, wie bei der [Fläche zwischen Kurven](/blog/area-between-curves).

## Zusammenhang mit Teil 1

[Teil 1 des Hauptsatzes](/theorems/fundamental-theorem-of-calculus-part-1) besagt, dass $G(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ eine Stammfunktion von $f$ ist. Jede andere Stammfunktion unterscheidet sich von $G$ nur um eine Konstante (eine Folgerung aus dem [Mittelwertsatz](/theorems/mean-value-theorem)), also gilt $F(b) - F(a) = G(b) - G(a) = \int_a^b f(t)\,dt$. Das ist schon der ganze Beweis von Teil 2.

Wie man Stammfunktionen findet, erfährst du bei [Stammfunktionen](/blog/antiderivatives) und der [Substitutionsregel](/blog/u-substitution). Beide Teile des Satzes mit weiteren Beispielen findest du im [Leitfaden zum Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung](/blog/fundamental-theorem-of-calculus).

## Häufig gestellte Fragen

### Was besagt der zweite Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung?

Ist $f$ stetig auf $[a, b]$ und $F$ irgendeine Stammfunktion von $f$, dann gilt $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$. Ein bestimmtes Integral lässt sich also mit einer Stammfunktion berechnen statt über einen Grenzwert von Riemann-Summen.

### Warum braucht man beim bestimmten Integral kein +C?

Verwendest du $F(x) + C$, ergibt sich $(F(b) + C) - (F(a) + C) = F(b) - F(a)$. Die Konstante hebt sich weg, daher liefert jede Stammfunktion dasselbe Ergebnis.

### Kann der Hauptsatz ein falsches Ergebnis liefern?

Nur wenn man seine Voraussetzung ignoriert. Bei $\int_{-1}^{1}\frac{1}{x^2}\,dx$ liefert die naive Rechnung $-2$, was bei einem positiven Integranden unmöglich ist. Der Integrand ist bei $0$ nicht stetig, also gilt der Satz nicht, und das Integral divergiert tatsächlich.

### Berechnet man Integrale mit Teil 1 oder Teil 2 des Hauptsatzes?

Mit Teil 2. Teil 1 handelt vom Ableiten eines Integrals mit variabler Grenze, Teil 2 ist die Formel $F(b) - F(a)$, mit der man bestimmte Integrale auswertet.