# Mittelwertsatz der Differentialrechnung: Aussage und Beispiele > Der Mittelwertsatz: Eine glatte Funktion auf [a, b] hat einen Punkt, an dem die Tangentensteigung gleich der mittleren Steigung ist. Aussage, Graph, Beispiele. Quelle: https://practicecalculus.com/de/saetze/mittelwertsatz-der-differentialrechnung Aktualisiert: 2026-11-03 $$ f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} $$ ## Auf einen Blick - **Voraussetzungen:** $f$ stetig auf $[a, b]$ und differenzierbar auf $(a, b)$ - **Aussage:** Für ein $c$ in $(a, b)$ gilt $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ - **Geometrische Bedeutung:** Eine Tangente ist parallel zur Sekante durch die Randpunkte - **Physikalische Bedeutung:** In einem Moment ist die Momentangeschwindigkeit gleich der Durchschnittsgeschwindigkeit - **Spezialfall:** Satz von Rolle, wenn $f(a) = f(b)$ - **Kurs:** Analysis 1 ## Das Wichtigste - Irgendwo zwischen $a$ und $b$ ist die momentane Änderungsrate gleich der mittleren Änderungsrate. - Die Funktion muss stetig auf $[a, b]$ und differenzierbar auf $(a, b)$ sein. Ein Knick oder ein Sprung kann die Aussage zerstören. - Mit dem Mittelwertsatz werden Schranken für $f'$ zu Schranken dafür, wie stark sich $f$ ändern kann. - Ist $f'(x) = 0$ auf einem Intervall, beweist der Mittelwertsatz, dass $f$ dort konstant ist. Der **Mittelwertsatz der Differentialrechnung** (kurz Mittelwertsatz) besagt, dass bei einer glatten Funktion die mittlere Änderungsrate über ein Intervall an einer Stelle im Inneren als momentane Änderungsrate erreicht wird. Geometrisch heißt das: Eine Tangente ist parallel zur Sekante, die die Randpunkte verbindet. ## Aussage des Mittelwertsatzes Die Funktion $f$ erfülle beide Voraussetzungen: 1. $f$ ist **stetig** auf dem abgeschlossenen Intervall $[a, b]$; 2. $f$ ist **differenzierbar** auf dem offenen Intervall $(a, b)$. Dann gibt es mindestens eine Zahl $c$ in $(a, b)$ mit $$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$ Gleichwertig gilt $f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)$. Diese zweite Form verwendet man in Beweisen: Sie übersetzt Informationen über die Ableitung in Informationen über die Funktion. ## Was der Mittelwertsatz bedeutet Der Bruch $\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ ist die Steigung der Sekante, also die **mittlere** Änderungsrate. $f'(c)$ ist die Steigung der Tangente, eine **momentane** Änderungsrate. Der Mittelwertsatz sagt, dass beide irgendwo übereinstimmen. War deine Durchschnittsgeschwindigkeit auf einer Fahrt 60 km/h, dann bist du in irgendeinem Moment genau 60 km/h gefahren. ```graph title: 'Mittelwertsatz: Tangente an y = x³ parallel zur Sekante auf [0, 2]' caption: 'Die Sekante von $(0, 0)$ nach $(2, 8)$ hat die Steigung $4$. Bei $c = \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1.155$ hat die Tangente dieselbe Steigung.' x: [-0.5, 2.5] y: [-4, 10] functions: - expr: x^3 label: y = x³ - expr: 4x label: Sekante, Steigung 4 domain: [0, 2] - expr: 4x - 3.0792 label: Tangente bei c dashed: true points: - [0, 0, 'a = 0'] - [2, 8, 'b = 2'] - [1.1547, 1.5396, 'c ≈ 1.155'] ``` ## Warum jede Voraussetzung wichtig ist **Differenzierbarkeit.** Nimm $f(x) = |x|$ auf $[-1, 2]$. Die Funktion ist stetig, und die Sekantensteigung ist $\frac{2 - 1}{2 - (-1)} = \frac{1}{3}$. Aber $f'(x)$ ist $-1$ für $x < 0$ und $1$ für $x > 0$, nie $\frac{1}{3}$. Schuld ist der Knick bei $0$. **Stetigkeit.** Nimm $f(x) = \frac{1}{x}$ auf $[-1, 1]$. Die Sekantensteigung ist $\frac{1 - (-1)}{2} = 1$, doch $f'(x) = -\frac{1}{x^2}$ ist immer negativ. Die Funktion ist bei $0$ nicht stetig, also ist der Mittelwertsatz nicht anwendbar. ## Rechenbeispiele **Beispiel 1: Bestimme $c$ für $f(x) = x^3$ auf $[0, 2]$.** **Schritt 1.** $f$ ist ein Polynom, also sind beide Voraussetzungen erfüllt. **Schritt 2.** Mittlere Steigung: $\frac{f(2) - f(0)}{2 - 0} = \frac{8}{2} = 4$. **Schritt 3.** Löse $f'(c) = 3c^2 = 4$, das ergibt $c = \pm\frac{2}{\sqrt{3}}$. Nur $c = \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1.155$ liegt in $(0, 2)$. **Beispiel 2: Bestimme $c$ für $f(x) = \sqrt{x}$ auf $[1, 4]$.** $f$ ist stetig auf $[1, 4]$ und differenzierbar auf $(1, 4)$. Die mittlere Steigung ist $\frac{2 - 1}{4 - 1} = \frac{1}{3}$. Löse $$\frac{1}{2\sqrt{c}} = \frac{1}{3} \implies \sqrt{c} = \frac{3}{2} \implies c = \frac{9}{4}$$ und $\frac{9}{4} = 2.25$ liegt in $(1, 4)$. **Beispiel 3: eine Funktion abschätzen.** Angenommen, $f(0) = 1$ und $f'(x) \le 3$ für alle $x$. Wie groß kann $f(2)$ höchstens sein? Nach dem Mittelwertsatz auf $[0, 2]$ gilt $f(2) - f(0) = f'(c) \cdot 2$ für ein $c$. Wegen $f'(c) \le 3$ folgt $$f(2) \le 1 + 3 \cdot 2 = 7$$ Du erfährst etwas über $f(2)$, ohne die Funktion zu kennen. So wird der Mittelwertsatz in Beweisen und bei Fehlerabschätzungen der [linearen Approximation](/blog/linear-approximation) eingesetzt. ## Wichtige Folgerungen - **Ableitung null heißt konstant.** Ist $f'(x) = 0$ auf einem Intervall, dann gilt für je zwei Punkte $f(x_2) - f(x_1) = 0 \cdot (x_2 - x_1) = 0$, also ist $f$ konstant. - **Gleiche Ableitung heißt Unterschied um eine Konstante.** Ist $f' = g'$, dann ist $f - g$ konstant. Deshalb hat jede [Stammfunktion](/blog/antiderivatives) ein $+ C$. - **Das Vorzeichen von $f'$ bestimmt die Monotonie.** Ist $f' > 0$ auf einem Intervall, ist $f$ dort streng monoton wachsend. Darauf beruht das Monotoniekriterium mit der ersten Ableitung. ## Häufige Fehler 1. **Ein $c$ außerhalb von $(a, b)$ angeben.** Löse $f'(c) = \text{slope}$ und verwirf dann die Lösungen, die nicht im offenen Intervall liegen. 2. **Die Voraussetzungen nicht prüfen.** Bei Funktionen mit Wurzeln, Beträgen oder Brüchen prüfst du zuerst Stetigkeit und Differenzierbarkeit. 3. **Glauben, der Mittelwertsatz bestimme $c$.** Er garantiert nur, dass es existiert. In vielen Anwendungen, wie in Beispiel 3, bestimmst du $c$ überhaupt nicht. ## Verwandte Sätze Der Mittelwertsatz wird aus dem [Satz von Rolle](/theorems/rolles-theorem) bewiesen, indem man die Sekante von $f$ abzieht. Sein Gegenstück für Integrale ist der [Mittelwertsatz der Integralrechnung](/theorems/mean-value-theorem-for-integrals), und der [Satz von Taylor](/theorems/taylors-theorem) ist eine Version höherer Ordnung. Weitere Anwendungen und Übungen findest du im ausführlichen [Leitfaden zum Mittelwertsatz](/blog/mean-value-theorem). ## Häufig gestellte Fragen ### Was besagt der Mittelwertsatz der Differentialrechnung? Ist $f$ stetig auf $[a, b]$ und differenzierbar auf $(a, b)$, dann gibt es eine Zahl $c$ in $(a, b)$ mit $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$. Die Steigung der Tangente bei $c$ ist gleich der Steigung der Sekante von $a$ nach $b$. ### Wie bestimmt man c im Mittelwertsatz? Berechne die mittlere Änderungsrate $\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$, setze $f'(c)$ gleich diesem Wert, löse nach $c$ auf und behalte nur die Lösungen, die im offenen Intervall $(a, b)$ liegen. ### Gibt es ein Beispiel für den Mittelwertsatz aus dem Alltag? Fährst du 120 km in 2 Stunden, beträgt deine Durchschnittsgeschwindigkeit 60 km/h. Der Mittelwertsatz sagt dann, dass dein Tacho irgendwann während der Fahrt genau 60 km/h angezeigt hat. ### Warum braucht der Mittelwertsatz die Differenzierbarkeit? Ohne sie kann der Graph einen Knick haben, und keine Tangente passt zur Sekantensteigung. Für $f(x) = |x|$ auf $[-1, 2]$ ist die Sekantensteigung $\frac{1}{3}$, die Ableitung ist aber immer nur $-1$ oder $1$.