# Mittelwertsatz der Integralrechnung: Aussage und Beispiele > Der Mittelwertsatz der Integralrechnung: Eine stetige Funktion auf [a, b] nimmt in einem Punkt c ihren Mittelwert an. Aussage, Graph, Gegenbeispiel, Beispiele. Quelle: https://practicecalculus.com/de/saetze/mittelwertsatz-der-integralrechnung Aktualisiert: 2026-11-03 $$ f(c) = \frac{1}{b - a} \int_a^b f(x)\,dx $$ ## Auf einen Blick - **Voraussetzungen:** $f$ ist stetig auf $[a, b]$ - **Aussage:** Für ein $c$ in $[a, b]$ gilt $f(c) = \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx$ - **Mittelwert:** $f_{\text{avg}} = \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx$ - **Geometrische Bedeutung:** Ein Rechteck der Höhe $f(c)$ über $[a, b]$ hat denselben Flächeninhalt wie die Fläche unter $f$ - **Zusammenhang:** Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung, angewendet auf $F(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ - **Kurs:** Analysis 1 ## Das Wichtigste - Eine stetige Funktion nimmt ihren Mittelwert irgendwo im Intervall tatsächlich an. - Der Mittelwert von $f$ auf $[a, b]$ ist $\frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx$. - Um $c$ zu finden, berechnest du den Mittelwert, löst $f(c) = f_{\text{avg}}$ und behältst die Lösungen in $[a, b]$. - Stetigkeit ist unverzichtbar: Eine Funktion mit Sprung kann ihren Mittelwert einfach überspringen. Der **Mittelwertsatz der Integralrechnung** besagt, dass eine stetige Funktion ihren eigenen Mittelwert mindestens einmal annimmt. Wenn du die Fläche unter der Kurve zu einem Rechteck derselben Breite plattdrückst, ist die Höhe dieses Rechtecks ein Wert, den die Funktion tatsächlich annimmt. ## Aussage des Mittelwertsatzes der Integralrechnung Ist $f$ **stetig** auf dem abgeschlossenen Intervall $[a, b]$, dann gibt es eine Zahl $c$ in $[a, b]$ mit $$f(c) = \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx$$ oder gleichwertig $$\int_a^b f(x)\,dx = f(c)\,(b - a)$$ Die Größe auf der rechten Seite der ersten Gleichung ist der **Mittelwert** von $f$ auf $[a, b]$, geschrieben $f_{\text{avg}}$. ## Was der Satz bedeutet Die Fläche unter $y = f(x)$ von $a$ bis $b$ ist gleich der Fläche eines Rechtecks mit derselben Grundseite $b - a$ und der Höhe $f_{\text{avg}}$. Der Satz sagt, dass diese Höhe nicht irgendeine Zahl ist: Die Kurve erreicht sie. Stell dir Wasser in einem Becken mit welliger Oberfläche vor. Kommt das Wasser zur Ruhe und wird glatt, steht es auf der mittleren Höhe, und die ursprüngliche wellige Oberfläche war irgendwo genau auf dieser Höhe. ```graph title: 'Mittelwertsatz der Integralrechnung: y = x² auf [0, 3] erreicht den Mittelwert 3 bei x = √3' caption: 'Die Fläche unter $y = x^2$ auf $[0, 3]$ ist $9$, also ist der Mittelwert $\frac{9}{3} = 3$. Die Kurve hat bei $c = \sqrt{3} \approx 1.732$ den Wert $3$.' x: [-0.3, 3.3] y: [-0.5, 9.5] functions: - expr: x^2 label: y = x² - expr: '3' label: Mittelwert y = 3 dashed: true domain: [0, 3] shade: {expr: x^2, from: 0, to: 3} points: - [1.732, 3, 'c = √3'] ``` ## Warum Stetigkeit wichtig ist Sei $f(x) = 0$ für $0 \le x < 1$ und $f(x) = 1$ für $1 \le x \le 2$. Das Integral über $[0, 2]$ ist $1$, also ist der Mittelwert $\frac{1}{2}$. Aber $f$ nimmt nur die Werte $0$ und $1$ an, nie $\frac{1}{2}$. Durch den Sprung bei $x = 1$ kann die Funktion ihren Mittelwert überspringen. Bei Stetigkeit schließt der [Zwischenwertsatz](/theorems/intermediate-value-theorem) das aus. ## Warum der Satz gilt Nach dem [Satz vom Maximum und Minimum](/theorems/extreme-value-theorem) hat $f$ auf $[a, b]$ ein Minimum $m$ und ein Maximum $M$. Wegen $m \le f(x) \le M$ gilt $$m(b - a) \le \int_a^b f(x)\,dx \le M(b - a) \implies m \le f_{\text{avg}} \le M$$ Also liegt $f_{\text{avg}}$ zwischen zwei Werten, die $f$ annimmt, und der Zwischenwertsatz liefert ein $c$ mit $f(c) = f_{\text{avg}}$. ## Rechenbeispiele **Beispiel 1: $f(x) = x^2$ auf $[0, 3]$.** **Schritt 1.** Mittelwert: $\frac{1}{3 - 0}\int_0^3 x^2\,dx = \frac{1}{3}\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3 = \frac{1}{3}\cdot 9 = 3$. **Schritt 2.** Löse $c^2 = 3$, also $c = \pm\sqrt{3}$. **Schritt 3.** Nur $c = \sqrt{3} \approx 1.732$ liegt in $[0, 3]$. **Beispiel 2: $f(x) = \sin x$ auf $[0, \pi]$.** **Schritt 1.** $f_{\text{avg}} = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi \sin x\,dx = \frac{1}{\pi}\cdot 2 = \frac{2}{\pi} \approx 0.637$. **Schritt 2.** Löse $\sin c = \frac{2}{\pi}$. Auf $[0, \pi]$ gibt es zwei Lösungen: $$c = \arcsin\frac{2}{\pi} \approx 0.690 \qquad \text{und} \qquad c = \pi - \arcsin\frac{2}{\pi} \approx 2.452$$ Der Satz verspricht mindestens eine, hier sind es zwei. **Beispiel 3: eine lineare Funktion.** Für $f(x) = 2x + 1$ auf $[0, 4]$ ist $\int_0^4 (2x + 1)\,dx = \big[x^2 + x\big]_0^4 = 20$, also $f_{\text{avg}} = \frac{20}{4} = 5$. Aus $2c + 1 = 5$ folgt $c = 2$, die Intervallmitte. Bei jeder linearen Funktion wird der Mittelwert in der Intervallmitte angenommen. ## Häufige Fehler 1. **Vergessen, durch $b - a$ zu teilen.** Das Integral ist die Fläche, der Mittelwert ist die Fläche geteilt durch die Breite. 2. **Lösungen außerhalb des Intervalls behalten.** In Beispiel 1 muss $c = -\sqrt{3}$ verworfen werden. 3. **Verwechslung mit dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung.** Jener setzt $f'(c)$ gleich der mittleren Steigung von $f$. Dieser setzt $f(c)$ gleich dem Mittelwert von $f$. ## Verwandte Sätze Dieser Satz ist der [Mittelwertsatz der Differentialrechnung](/theorems/mean-value-theorem), angewendet auf $F(x) = \int_a^x f(t)\,dt$, wobei man [Teil 1 des Hauptsatzes](/theorems/fundamental-theorem-of-calculus-part-1) für $F' = f$ und [Teil 2 des Hauptsatzes](/theorems/fundamental-theorem-of-calculus-part-2) zum Auswerten des Integrals verwendet. Mehr zu Integralen als aufsummierter Fläche findest du bei [Riemann-Summen](/blog/riemann-sums) und im [Leitfaden zum Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung](/blog/fundamental-theorem-of-calculus). ## Häufig gestellte Fragen ### Was ist der Mittelwertsatz der Integralrechnung? Ist $f$ stetig auf $[a, b]$, dann gibt es eine Zahl $c$ in $[a, b]$ mit $f(c) = \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx$. Mit anderen Worten: $f$ nimmt seinen Mittelwert mindestens einmal an. ### Wie berechnet man den Mittelwert einer Funktion? Integriere die Funktion über das Intervall und teile durch die Intervalllänge: $f_{\text{avg}} = \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx$. Für $x^2$ auf $[0, 3]$ ergibt das $\frac{1}{3}\cdot 9 = 3$. ### Wie hängt der Mittelwertsatz der Integralrechnung mit dem der Differentialrechnung zusammen? Sei $F(x) = \int_a^x f(t)\,dt$. Wendet man den Mittelwertsatz auf $F$ an, erhält man $F'(c) = \frac{F(b) - F(a)}{b - a}$, und wegen $F' = f$ ist das genau $f(c) = \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx$. ### Liegt c im offenen oder im abgeschlossenen Intervall? Lehrbücher formulieren meist $c \in [a, b]$, denn das liefert der Beweis mit dem Satz vom Maximum und Minimum und dem Zwischenwertsatz direkt. Ein etwas schärferes Argument zeigt, dass man $c$ immer im offenen Intervall $(a, b)$ wählen kann.