# Satz von Fermat über lokale Extrema: Aussage und Beispiele

> Satz von Fermat: Hat f in c ein lokales Maximum oder Minimum und existiert f'(c), dann ist f'(c) = 0. Aussage, Graph, Umkehrung und Rechenbeispiele.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/saetze/satz-von-fermat
Aktualisiert: 2026-11-03

$$ f'(c) = 0 $$

## Auf einen Blick

- **Auch genannt:** Notwendige Bedingung für Extrema, Satz von Fermat über stationäre Punkte
- **Voraussetzungen:** $f$ hat in einem inneren Punkt $c$ ein lokales Maximum oder Minimum, und $f'(c)$ existiert
- **Aussage:** $f'(c) = 0$
- **Umkehrung:** Falsch: $f'(c) = 0$ garantiert kein Extremum, wie $x^3$ bei $0$ zeigt
- **Anwendung:** Kritische Punkte finden, Methode für abgeschlossene Intervalle, Extremwertaufgaben
- **Kurs:** Analysis 1

## Das Wichtigste

- An einem lokalen Maximum oder Minimum, an dem die Ableitung existiert, ist die Tangente waagerecht.
- Also liegt jedes lokale Extremum an einem kritischen Punkt: $f'(c) = 0$ oder $f'(c)$ existiert nicht.
- Die Umkehrung ist falsch. Ein kritischer Punkt muss weder Maximum noch Minimum sein, wie $x = 0$ bei $x^3$.
- Der Satz handelt von inneren Punkten. Extremwerte an den Rändern eines Intervalls müssen keine Steigung null haben.

Der **Satz von Fermat** (über lokale Extrema) besagt, dass auf der Spitze eines Hügels oder am Boden eines Tals eines glatten Graphen die Tangente waagerecht ist. Er steckt hinter dem häufigsten Schritt der Analysis: Um ein Maximum oder Minimum zu finden, setzt man die Ableitung gleich null.

## Aussage des Satzes von Fermat

Angenommen,

1. $f$ hat in $c$ ein **lokales Maximum oder lokales Minimum**, das heißt $f(c) \ge f(x)$ (bzw. $f(c) \le f(x)$) für alle $x$ in einem offenen Intervall um $c$, und
2. $f'(c)$ **existiert**.

Dann gilt

$$f'(c) = 0$$

Da die Definition eines lokalen Extremums ein offenes Intervall um $c$ verwendet, muss $c$ ein innerer Punkt des Definitionsbereichs sein und kein Randpunkt.

## Was der Satz von Fermat bedeutet

An einem lokalen Maximum steigt die Funktion bis $c$ an und fällt danach. Direkt rechts von $c$ ist der Differenzenquotient $\frac{f(c + h) - f(c)}{h}$ stets $\le 0$, direkt links davon ist er stets $\ge 0$. Existiert die Ableitung, sind beide einseitigen Grenzwerte dieselbe Zahl, und die einzige Zahl, die zugleich $\le 0$ und $\ge 0$ ist, ist $0$.

```graph
title: 'Satz von Fermat: waagerechte Tangenten am lokalen Max. und Min. von y = x³ − 3x'
caption: 'Das lokale Maximum bei $x = -1$ und das lokale Minimum bei $x = 1$ haben beide waagerechte Tangenten, also gilt $f''(-1) = f''(1) = 0$.'
x: [-2.5, 2.5]
y: [-4, 4]
functions:
  - expr: x^3 - 3x
    label: y = x³ − 3x
  - expr: '2'
    label: waagerechte Tangenten
    dashed: true
    domain: [-2, 0]
  - expr: '-2'
    dashed: true
    domain: [0, 2]
points:
  - [-1, 2, 'lokales Max. (−1, 2)']
  - [1, -2, 'lokales Min. (1, −2)']
```

## Warum jede Voraussetzung wichtig ist und warum die Umkehrung nicht gilt

**Die Ableitung muss existieren.** $f(x) = |x|$ hat bei $x = 0$ ein Minimum, aber $f'(0)$ existiert wegen des Knicks nicht. Der Satz von Fermat sagt dort nichts aus. Deshalb zählen auch Stellen, an denen $f'$ nicht definiert ist, zu den kritischen Punkten.

**Der Punkt muss im Inneren liegen.** Auf $[0, 1]$ hat $f(x) = x$ sein Maximum am Randpunkt $x = 1$, und doch ist $f'(1) = 1 \ne 0$. Randextrema deckt der Satz nicht ab, deshalb prüft die Methode für abgeschlossene Intervalle die Randpunkte gesondert.

**Die Umkehrung ist falsch.** $f(x) = x^3$ hat $f'(0) = 0$, aber $x^3$ ist links von $0$ negativ und rechts davon positiv, also ist $0$ kein lokales Extremum. Eine waagerechte Tangente macht $c$ zu einem **Kandidaten**, mehr nicht. Du brauchst trotzdem noch das Vorzeichenwechselkriterium oder die zweite Ableitung.

## Kritische Punkte

Der Satz von Fermat rechtfertigt diese Definition: Ein **kritischer Punkt** von $f$ ist eine Zahl $c$ im Definitionsbereich, an der $f'(c) = 0$ gilt oder $f'(c)$ nicht existiert. Anders gesagt: Jedes lokale Extremum von $f$ liegt an einem kritischen Punkt.

## Rechenbeispiele

**Beispiel 1: $f(x) = x^4 - 4x^3$.**

**Schritt 1.** $f'(x) = 4x^3 - 12x^2 = 4x^2(x - 3)$.

**Schritt 2.** Kritische Punkte: $x = 0$ und $x = 3$. Nach dem Satz von Fermat sind das die einzig möglichen lokalen Extrema.

**Schritt 3.** Einordnen. Es gilt $f'(x) < 0$ für $x < 0$ und für $0 < x < 3$, und $f'(x) > 0$ für $x > 3$. Die Funktion fällt durch $x = 0$ hindurch, also ist $x = 0$ kein Extremum, genau wie bei $x^3$. Bei $x = 3$ wechselt sie von fallend zu steigend, also ist $f(3) = 81 - 108 = -27$ ein lokales Minimum.

**Beispiel 2: ein kritischer Punkt, an dem $f'$ nicht existiert.** Für $f(x) = x^{2/3}$ gilt

$$f'(x) = \frac{2}{3}x^{-1/3} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$$

Das ist nie $0$ und bei $x = 0$ nicht definiert. Also ist $x = 0$ der einzige kritische Punkt, und da $f(x) \ge 0 = f(0)$ für alle $x$ gilt, ist er ein Minimum. Nur $f'(x) = 0$ zu setzen, würde ihn übersehen.

**Beispiel 3: Extremwertaufgabe.** Zwei Zahlen haben die Summe $10$. Maximiere ihr Produkt $P(x) = x(10 - x)$. Da das Maximum an einem inneren Punkt liegt und $P$ differenzierbar ist, liefert der Satz von Fermat $P'(x) = 10 - 2x = 0$, also $x = 5$, und das maximale Produkt ist $25$. Mehr dazu unter [Extremwertaufgaben](/blog/optimization-problems).

## Häufige Fehler

1. **Annehmen, dass $f'(c) = 0$ ein Extremum bedeutet.** Ordne kritische Punkte immer mit einer Vorzeichentabelle oder der zweiten Ableitung ein.
2. **Stellen ignorieren, an denen $f'$ nicht definiert ist.** Knicke und Spitzen sind ebenfalls kritische Punkte.
3. **Randpunkte vergessen.** Auf einem abgeschlossenen Intervall können die globalen Extrema an den Randpunkten liegen, wo der Satz von Fermat nicht gilt.

## Verwandte Sätze

Zusammen mit dem [Satz vom Maximum und Minimum](/theorems/extreme-value-theorem) ergibt der Satz von Fermat die Methode für abgeschlossene Intervalle, und er ist der entscheidende Schritt beim Beweis des [Satzes von Rolle](/theorems/rolles-theorem) und damit des [Mittelwertsatzes](/theorems/mean-value-theorem). Zum Einordnen kritischer Punkte und Skizzieren von Graphen lies [Kurvendiskussion mit Ableitungen](/blog/curve-sketching-with-derivatives).

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist der Satz von Fermat in der Analysis?

Er besagt: Hat $f$ in $c$ ein lokales Maximum oder lokales Minimum und ist $f$ in $c$ differenzierbar, dann gilt $f'(c) = 0$. Deshalb sucht man Extrema, indem man die Ableitung gleich null setzt.

### Gilt die Umkehrung des Satzes von Fermat?

Nein. $f(x) = x^3$ hat $f'(0) = 0$, aber $x = 0$ ist weder lokales Maximum noch Minimum, weil die Funktion auf beiden Seiten wächst. Eine Ableitung von null macht $c$ nur zu einem Kandidaten.

### Ist das dasselbe wie der große Fermatsche Satz?

Nein. Der große Fermatsche Satz ist ein Ergebnis der Zahlentheorie über die Gleichung $x^n + y^n = z^n$. In der Analysis meint der Satz von Fermat das Ergebnis über lokale Extrema, $f'(c) = 0$.

### Was ist ein kritischer Punkt?

Ein kritischer Punkt von $f$ ist eine Zahl $c$ im Definitionsbereich, an der $f'(c) = 0$ gilt oder $f'(c)$ nicht existiert. Der Satz von Fermat sagt, dass jedes lokale Extremum an einem kritischen Punkt liegt.