# Satz von Green: Aussage, Orientierung und Rechenbeispiele > Der Satz von Green macht aus einem Kurvenintegral über eine geschlossene Kurve ein Doppelintegral über das Innere. Aussage, Voraussetzungen, Flächenformel. Quelle: https://practicecalculus.com/de/saetze/satz-von-green Aktualisiert: 2026-11-03 $$ \oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dA $$ ## Auf einen Blick - **Voraussetzungen:** $C$ ist eine positiv orientierte, stückweise glatte, einfach geschlossene Kurve, die ein Gebiet $D$ berandet, und $P$, $Q$ haben stetige partielle Ableitungen auf einem offenen Gebiet, das $D$ enthält - **Positive Orientierung:** Gegen den Uhrzeigersinn, sodass das Gebiet links liegt - **Integrand:** $Q_x - P_y$, die skalare Rotation von $\langle P, Q \rangle$ - **Flächenformel:** $A = \frac{1}{2}\oint_C x\,dy - y\,dx$ - **Verallgemeinerung:** Satz von Stokes im Dreidimensionalen - **Kurs:** Analysis 3 ## Das Wichtigste - Der Satz von Green wandelt ein geschlossenes Kurvenintegral in ein Doppelintegral von $Q_x - P_y$ über das eingeschlossene Gebiet um. - Die Kurve muss gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen werden; im Uhrzeigersinn dreht sich das Vorzeichen um. - $P$ und $Q$ brauchen stetige partielle Ableitungen auf dem ganzen Gebiet, auch in eventuellen Löchern. Eine Singularität im Inneren macht den Satz ungültig. - Wählt man $Q_x - P_y = 1$, wird aus einem Kurvenintegral eine Flächenformel. Der **Satz von Green** verknüpft ein Kurvenintegral über eine geschlossene Kurve in der Ebene mit einem Doppelintegral über das Gebiet, das sie einschließt. Er besagt, dass die gesamte Zirkulation entlang des Randes gleich der Summe aller kleinen Zirkulationen im Inneren ist. ## Aussage des Satzes von Green Es seien 1. $C$ eine **positiv orientierte** (gegen den Uhrzeigersinn durchlaufene), **stückweise glatte**, **einfach geschlossene** Kurve in der Ebene, und 2. $D$ das von $C$ berandete Gebiet, und 3. $P(x, y)$ und $Q(x, y)$ Funktionen mit **stetigen partiellen Ableitungen** auf einem offenen Gebiet, das $D$ enthält. Dann gilt $$\oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dA$$ In Vektorschreibweise mit $\mathbf{F} = \langle P, Q \rangle$ ist die linke Seite die Zirkulation $\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$, und der Integrand rechts ist die skalare Rotation $Q_x - P_y$. ## Was der Satz von Green bedeutet Zerlege $D$ in winzige Quadrate und addiere die Zirkulation von $\mathbf{F}$ um jedes einzelne. Jede innere Kante wird von zwei benachbarten Quadraten in entgegengesetzter Richtung durchlaufen, diese Beiträge heben sich also auf. Übrig bleibt nur der äußere Rand. Gleichzeitig ist die Zirkulation um ein winziges Quadrat ungefähr $(Q_x - P_y)$ mal seine Fläche. Wenn man auf beide Arten aufsummiert, erhält man den Satz von Green. ```graph title: 'Gebiet für den Satz von Green: zwischen y = x² und y = x für 0 ≤ x ≤ 1' caption: 'Der Rand $C$ wird gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen: entlang der Parabel $y = x^2$ von $(0, 0)$ nach $(1, 1)$, dann zurück entlang der Geraden $y = x$. Das Gebiet $D$ liegt links.' x: [-0.2, 1.3] y: [-0.2, 1.3] functions: - expr: x label: y = x (oben, von rechts nach links durchlaufen) domain: [0, 1] - expr: x^2 label: y = x² (unten, von links nach rechts durchlaufen) domain: [0, 1] shade: {expr: x, from: 0, to: 1, below: x^2} points: - [0, 0, '(0, 0)'] - [1, 1, '(1, 1)'] ``` ## Warum jede Voraussetzung wichtig ist **Orientierung.** Durchläuft man $C$ im Uhrzeigersinn, kehrt sich das Vorzeichen des Kurvenintegrals um, während das Doppelintegral gleich bleibt. Prüfe also immer die Richtung. **Stetigkeit im ganzen Inneren.** Das Wirbelfeld $$\mathbf{F} = \left\langle \frac{-y}{x^2 + y^2},\; \frac{x}{x^2 + y^2} \right\rangle$$ hat $Q_x - P_y = 0$ in jedem Punkt außer dem Ursprung, wo es nicht definiert ist. Über den Einheitskreis $x = \cos t$, $y = \sin t$ ergibt das Kurvenintegral $\int_0^{2\pi} (\sin^2 t + \cos^2 t)\,dt = 2\pi$, nicht $0$. Der Satz von Green ist nicht anwendbar, weil der Ursprung im Inneren von $D$ liegt und $P$ und $Q$ dort nicht einmal definiert sind. **Geschlossene Kurve.** Eine Kurve, die sich nicht schließt, umrandet kein Gebiet, also sagt der Satz darüber nichts aus. ## Rechenbeispiele **Beispiel 1: Berechne $\oint_C xy\,dx + x^2\,dy$ um das Gebiet im Graphen.** **Schritt 1.** $P = xy$ und $Q = x^2$, also $Q_x - P_y = 2x - x = x$. **Schritt 2.** Das Gebiet ist $x^2 \le y \le x$ für $0 \le x \le 1$: $$\iint_D x\,dA = \int_0^1 \int_{x^2}^{x} x\,dy\,dx = \int_0^1 (x^2 - x^3)\,dx = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$$ **Direkte Kontrolle.** Entlang $y = x^2$ ($x = t$, $0 \to 1$) ist der Integrand $t^3\,dt + t^2(2t\,dt) = 3t^3\,dt$, das liefert $\frac{3}{4}$. Entlang $y = x$ zurück von $(1, 1)$ nach $(0, 0)$ ist er $2t^2\,dt$ mit $t$ von $1$ bis $0$, das liefert $-\frac{2}{3}$. Insgesamt ergibt sich $\frac{3}{4} - \frac{2}{3} = \frac{1}{12}$. Dasselbe Ergebnis, aber mehr Arbeit. **Beispiel 2: Fläche einer Ellipse.** Wähle $P = -\frac{y}{2}$ und $Q = \frac{x}{2}$, dann ist $Q_x - P_y = 1$ und das Doppelintegral ist die Fläche: $$A = \frac{1}{2}\oint_C x\,dy - y\,dx$$ Für die Ellipse $x = a\cos t$, $y = b\sin t$, $0 \le t \le 2\pi$ gilt $x\,dy - y\,dx = (ab\cos^2 t + ab\sin^2 t)\,dt = ab\,dt$. Also ist $A = \frac{1}{2}\cdot 2\pi ab = \pi ab$. **Beispiel 3: ein kompliziertes Feld, eine einfache Antwort.** Berechne $\oint_C (x^2 - y)\,dx + (x + y^3)\,dy$ über den Einheitskreis gegen den Uhrzeigersinn. Hier ist $Q_x - P_y = 1 - (-1) = 2$, also ist das Integral $2 \cdot \text{area} = 2\pi$. ## Häufige Fehler 1. **Reihenfolge im Integranden vertauschen.** Es heißt $Q_x - P_y$, nicht $P_y - Q_x$ oder $P_x - Q_y$. 2. **Orientierung ignorieren.** Eine Kurve im Uhrzeigersinn liefert das Negative des Doppelintegrals. 3. **Den Satz über eine Singularität hinweg anwenden.** Prüfe, dass $P$ und $Q$ auf ganz $D$ glatt sind, nicht nur auf $C$. ## Verwandte Sätze und Leitfäden Der Satz von Green ist der ebene Spezialfall des [Satzes von Stokes](/theorems/stokes-theorem), und seine Flussform ist der zweidimensionale [Gaußsche Integralsatz](/theorems/divergence-theorem). Da für Gradientenfelder nach dem [Satz von Schwarz](/theorems/clairauts-theorem) $Q_x - P_y = 0$ gilt, haben konservative Felder die Zirkulation null. Zu den Doppelintegralen auf der rechten Seite siehe [Doppelintegrale](/blog/double-integrals). ## Häufig gestellte Fragen ### Was besagt der Satz von Green? Für eine positiv orientierte, stückweise glatte, einfach geschlossene Kurve $C$, die ein Gebiet $D$ berandet, und für $P$, $Q$ mit stetigen partiellen Ableitungen in der Nähe von $D$ gilt $\oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_D (Q_x - P_y)\,dA$. ### Was bedeutet positive Orientierung beim Satz von Green? Gegen den Uhrzeigersinn um das Gebiet herum, oder allgemeiner die Richtung, bei der das Gebiet beim Entlanglaufen der Kurve links von dir liegt. Im Uhrzeigersinn wird das Kurvenintegral mit $-1$ multipliziert. ### Wann sollte ich den Satz von Green verwenden? Wenn ein Kurvenintegral über eine geschlossene Kurve mühsam ist, besonders wenn die Kurve aus mehreren Stücken besteht, und $Q_x - P_y$ einfach ist. Umgekehrt kannst du damit Flächen über ein Kurvenintegral berechnen. ### Warum versagt der Satz von Green beim Wirbelfeld um den Ursprung? Das Feld $\left\langle \frac{-y}{x^2 + y^2}, \frac{x}{x^2 + y^2} \right\rangle$ hat $Q_x - P_y = 0$ außerhalb des Ursprungs, ist aber im Ursprung nicht definiert. Umschließt die Kurve den Ursprung, ist die Voraussetzung verletzt, und tatsächlich ist das Kurvenintegral über den Einheitskreis $2\pi$, nicht $0$.