# Satz von Rolle: Aussage, Voraussetzungen und Rechenbeispiele

> Satz von Rolle: Ist f stetig auf [a, b], differenzierbar auf (a, b) und f(a) = f(b), so gibt es ein c mit f'(c) = 0. Graph, Gegenbeispiele, Beispiele.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/saetze/satz-von-rolle
Aktualisiert: 2026-11-03

$$ f'(c) = 0 \text{ für ein } c \in (a, b) $$

## Auf einen Blick

- **Voraussetzungen:** $f$ stetig auf $[a, b]$, differenzierbar auf $(a, b)$ und $f(a) = f(b)$
- **Aussage:** Es gibt ein $c$ in $(a, b)$ mit $f'(c) = 0$
- **Geometrische Bedeutung:** Irgendwo zwischen zwei gleich hohen Punkten verläuft die Tangente waagerecht
- **Verallgemeinerung:** Der Mittelwertsatz
- **Anwendung:** Zeigen, dass eine Gleichung höchstens eine Nullstelle hat, Beweis des Mittelwertsatzes
- **Kurs:** Analysis 1

## Das Wichtigste

- Hat eine glatte Funktion an beiden Enden eines Intervalls denselben Wert, so ist ihre Ableitung irgendwo dazwischen null.
- Alle drei Voraussetzungen sind nötig: Stetigkeit auf $[a, b]$, Differenzierbarkeit auf $(a, b)$ und $f(a) = f(b)$.
- Der Satz von Rolle ist der Spezialfall des Mittelwertsatzes, bei dem die Sekante waagerecht ist.
- Zusammen mit dem Zwischenwertsatz beweist er, dass eine Gleichung genau eine Lösung hat.

Der **Satz von Rolle** besagt: Beginnt und endet eine glatte Funktion auf derselben Höhe, dann hat ihr Graph irgendwo dazwischen eine waagerechte Tangente. Er ist der einfachste der Mittelwertsätze und der Schritt, mit dem die anderen bewiesen werden.

## Aussage des Satzes von Rolle

Sei $f$ eine Funktion, die alle drei Voraussetzungen erfüllt:

1. $f$ ist **stetig** auf dem abgeschlossenen Intervall $[a, b]$;
2. $f$ ist **differenzierbar** auf dem offenen Intervall $(a, b)$;
3. $f(a) = f(b)$.

Dann gibt es mindestens eine Zahl $c$ in $(a, b)$ mit

$$f'(c) = 0$$

## Was der Satz von Rolle bedeutet

Wirf einen Ball nach oben und fang ihn auf derselben Höhe wieder. Irgendwann zwischen Wurf und Fang war seine vertikale Geschwindigkeit genau null: am höchsten Punkt der Flugbahn. Der Satz von Rolle ist diese Beobachtung für jede glatte Funktion. Steigt der Graph an, muss er umkehren, um wieder herunterzukommen, und am Umkehrpunkt ist die Steigung null. Ist die Funktion konstant, ist die Steigung überall null.

```graph
title: 'Satz von Rolle: y = x³ − 4x auf [−2, 2] hat zwei waagerechte Tangenten'
caption: 'Wegen $f(-2) = f(2) = 0$ garantiert der Satz von Rolle eine waagerechte Tangente in $(-2, 2)$. Hier gibt es zwei, bei $x = \pm\frac{2}{\sqrt{3}} \approx \pm 1.15$.'
x: [-2.5, 2.5]
y: [-4.5, 4.5]
functions:
  - expr: x^3 - 4x
    label: y = x³ − 4x
  - expr: '3.079'
    label: waagerechte Tangenten
    dashed: true
    domain: [-1.9, -0.4]
  - expr: '-3.079'
    dashed: true
    domain: [0.4, 1.9]
points:
  - [-2, 0, 'f(−2) = 0']
  - [2, 0, 'f(2) = 0']
  - [-1.1547, 3.079, 'c ≈ −1.15']
  - [1.1547, -3.079, 'c ≈ 1.15']
```

## Warum jede Voraussetzung wichtig ist

**Differenzierbarkeit.** $f(x) = |x|$ auf $[-1, 1]$ ist stetig und $f(-1) = f(1) = 1$, aber der Graph ist ein spitzes V. Seine Ableitung ist links $-1$ und rechts $1$ und nie $0$. Der Knick bei $x = 0$, wo $f$ nicht differenzierbar ist, bringt den Satz zu Fall.

**Stetigkeit an den Randpunkten.** Sei $f(x) = x$ für $0 \le x < 1$ und $f(1) = 0$. Dann ist $f(0) = f(1) = 0$ und $f$ ist auf $(0, 1)$ differenzierbar, aber im Inneren gilt überall $f'(x) = 1$. Der Sprung bei $x = 1$ verletzt die Stetigkeit auf $[a, b]$.

**Gleiche Randwerte.** $f(x) = x$ auf $[0, 1]$ ist völlig glatt, aber $f(0) \ne f(1)$ und $f'(x) = 1$ ist nie null. Bei ungleichen Randwerten brauchst du stattdessen den [Mittelwertsatz](/theorems/mean-value-theorem).

## Rechenbeispiele

**Beispiel 1: Bestimme das $c$ für $f(x) = x^2 - 4x + 3$ auf $[1, 3]$.**

**Schritt 1.** Prüfe die Voraussetzungen. $f$ ist ein Polynom, also überall stetig und differenzierbar. $f(1) = 1 - 4 + 3 = 0$ und $f(3) = 9 - 12 + 3 = 0$, also $f(1) = f(3)$.

**Schritt 2.** Löse $f'(c) = 2c - 4 = 0$. Das ergibt $c = 2$, und das liegt in $(1, 3)$. Der Scheitelpunkt der Parabel ist der garantierte Punkt.

**Beispiel 2: $f(x) = x^3 - 4x$ auf $[-2, 2]$.**

$f(-2) = -8 + 8 = 0$ und $f(2) = 8 - 8 = 0$, und $f$ ist ein Polynom. Löse

$$f'(c) = 3c^2 - 4 = 0 \implies c = \pm\frac{2}{\sqrt{3}} \approx \pm 1.155$$

Beide Werte liegen in $(-2, 2)$, also hat diese Funktion zwei Stellen, an denen die Aussage des Satzes von Rolle gilt. Versprochen hat der Satz mindestens eine.

**Beispiel 3: Zeige, dass $x^3 + x - 1 = 0$ genau eine reelle Lösung hat.**

**Schritt 1 (mindestens eine).** $f(x) = x^3 + x - 1$ ist stetig, $f(0) = -1 < 0$ und $f(1) = 1 > 0$. Nach dem [Zwischenwertsatz](/theorems/intermediate-value-theorem) gibt es eine Nullstelle in $(0, 1)$.

**Schritt 2 (höchstens eine).** Angenommen, es gäbe zwei Nullstellen $r_1 < r_2$. Dann wäre $f(r_1) = f(r_2) = 0$, und der Satz von Rolle lieferte ein $c$ dazwischen mit $f'(c) = 0$. Aber $f'(x) = 3x^2 + 1 \ge 1$ für jedes $x$, also ist $f'$ nie null. Dieser Widerspruch zeigt, dass es keine zwei Nullstellen geben kann.

Die Gleichung hat also genau eine reelle Lösung. Dieses Argument aus Zwischenwertsatz und Satz von Rolle ist die häufigste Anwendung des Satzes in Klausuren.

## Wie man den Satz von Rolle beweist

Nach dem [Satz vom Maximum und Minimum](/theorems/extreme-value-theorem) hat $f$ auf $[a, b]$ ein Maximum und ein Minimum. Liegen beide an den Randpunkten, ist die Funktion wegen $f(a) = f(b)$ konstant und überall gilt $f' = 0$. Andernfalls liegt eines davon an einer inneren Stelle $c$, und der [Satz von Fermat](/theorems/fermats-theorem) liefert $f'(c) = 0$.

## Häufige Fehler

1. **Die Voraussetzungen nicht prüfen.** In Klausuren wird oft gefragt, ob der Satz von Rolle anwendbar ist. Prüfe Stetigkeit, Differenzierbarkeit und $f(a) = f(b)$ ausdrücklich.
2. **Ein $c$ außerhalb von $(a, b)$ angeben.** Eine Lösung von $f'(c) = 0$ außerhalb des offenen Intervalls zählt nicht.
3. **Glauben, der Satz finde jeden kritischen Punkt.** Er garantiert nur mindestens einen zwischen $a$ und $b$.

## Verwandte Sätze

Kippst du das Bild, sodass die Randpunkte auf verschiedenen Höhen liegen, erhältst du den [Mittelwertsatz](/theorems/mean-value-theorem). Eine ausführliche Behandlung mit Anwendungen findest du im [Leitfaden zum Mittelwertsatz](/blog/mean-value-theorem), und unter [Kurvendiskussion mit Ableitungen](/blog/curve-sketching-with-derivatives) siehst du, wo waagerechte Tangenten eine Rolle spielen.

## Häufig gestellte Fragen

### Welche drei Voraussetzungen hat der Satz von Rolle?

Die Funktion muss auf dem abgeschlossenen Intervall $[a, b]$ stetig sein, auf dem offenen Intervall $(a, b)$ differenzierbar sein und an den Randpunkten gleiche Werte haben, $f(a) = f(b)$. Gelten alle drei, so ist $f'(c) = 0$ für ein $c$ in $(a, b)$.

### Was ist der Unterschied zwischen dem Satz von Rolle und dem Mittelwertsatz?

Der Satz von Rolle verlangt $f(a) = f(b)$ und folgert $f'(c) = 0$. Der Mittelwertsatz verzichtet auf diese Bedingung und folgert $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$. Der Satz von Rolle ist der Spezialfall, in dem diese Steigung null ist.

### Kann es beim Satz von Rolle mehr als ein c geben?

Ja. Der Satz garantiert mindestens eines. Zum Beispiel hat $f(x) = x^3 - 4x$ auf $[-2, 2]$ zwei, nämlich $c = \pm\frac{2}{\sqrt{3}}$.

### Warum gilt der Satz von Rolle nicht für |x| auf [-1, 1]?

Weil $|x|$ bei $x = 0$ nicht differenzierbar ist. Die Randwerte sind gleich, aber die Ableitung ist überall, wo sie existiert, $-1$ oder $1$, also nie $0$.