# Satz von Schwarz: Vertauschbarkeit gemischter partieller Ableitungen > Satz von Schwarz (Satz von Clairaut): Sind f_xy und f_yx stetig, dann sind sie gleich. Aussage, klassisches Gegenbeispiel, Graph und Rechenbeispiele. Quelle: https://practicecalculus.com/de/saetze/satz-von-schwarz Aktualisiert: 2026-11-03 $$ f_{xy}(a, b) = f_{yx}(a, b) $$ ## Auf einen Blick - **Auch genannt:** Satz von Clairaut, Satz von Clairaut/Schwarz, Symmetrie der zweiten Ableitungen - **Voraussetzungen:** $f$ ist auf einer Kreisscheibe um $(a, b)$ definiert, und $f_{xy}$ und $f_{yx}$ sind beide auf dieser Kreisscheibe stetig - **Aussage:** $f_{xy}(a, b) = f_{yx}(a, b)$ - **In der Praxis:** In der Reihenfolge ableiten, die einfacher ist - **Anwendung:** Prüfen, ob ein Vektorfeld konservativ ist, die Hesse-Matrix - **Kurs:** Analysis 3 ## Das Wichtigste - Sind beide gemischten partiellen Ableitungen in der Nähe eines Punktes stetig, spielt die Reihenfolge des Ableitens dort keine Rolle. - Polynome, Exponentialfunktionen, Sinus und Kosinus sowie ihre Kombinationen erfüllen die Voraussetzungen überall, wo sie definiert sind. - Ohne Stetigkeit können die gemischten Ableitungen verschieden sein, wie das klassische Gegenbeispiel im Ursprung zeigt. - Der Satz liefert einen schnellen Test: Ein Feld $\langle P, Q \rangle$ mit $P_y \ne Q_x$ kann kein Gradient sein. Der **Satz von Schwarz** (auch Satz von Clairaut oder Satz von Clairaut/Schwarz genannt) besagt, dass bei einer gutartigen Funktion zweier Variablen die Reihenfolge der gemischten partiellen Ableitungen keine Rolle spielt: Erst nach $x$ und dann nach $y$ abzuleiten liefert dasselbe wie erst nach $y$ und dann nach $x$. Deshalb hat eine Funktion genau eine Hesse-Matrix und nicht zwei. ## Aussage des Satzes von Schwarz Sei $f(x, y)$ auf einer offenen Kreisscheibe $D$ definiert, die den Punkt $(a, b)$ enthält. Sind die gemischten partiellen Ableitungen $f_{xy}$ und $f_{yx}$ beide **stetig** auf $D$, dann gilt $$f_{xy}(a, b) = f_{yx}(a, b)$$ Schreibweise: $f_{xy} = (f_x)_y$ bedeutet, zuerst nach $x$ und dann nach $y$ abzuleiten. In Leibniz-Form ist $f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}$. Der Satz lässt sich auf mehr Variablen und höhere Ordnungen übertragen: Bei stetigen partiellen Ableitungen kommt es nur darauf an, wie oft nach jeder Variablen abgeleitet wird. ## Was der Satz von Schwarz bedeutet $f_{xy}$ misst, wie sich die $x$-Steigung der Fläche ändert, wenn man sich in $y$-Richtung bewegt. $f_{yx}$ misst, wie sich die $y$-Steigung ändert, wenn man sich in $x$-Richtung bewegt. Der Satz sagt, dass diese beiden "Verdrehungen" der Fläche dieselbe Zahl sind. Nimm $f(x, y) = x^2 y$. Schneidet man die Fläche bei festem $y$, erhält man die Kurven $y = 1$: $x^2$, $y = 2$: $2x^2$, $y = 3$: $3x^2$. ```graph title: 'Satz von Schwarz: Schnitte von f(x, y) = x²y bei y = 1, 2, 3' caption: 'Bei $x = 1$ haben die Schnitte die $x$-Steigungen $2$, $4$ und $6$, also wächst $f_x$ um $2$ pro Einheit in $y$: $f_{xy}(1, y) = 2$. Berechnet man zuerst $f_y = x^2$ und dann $f_{yx} = 2x = 2$, erhält man dieselbe Zahl.' x: [-2, 2] y: [-0.5, 8] functions: - expr: x^2 label: Schnitt y = 1 - expr: 2x^2 label: Schnitt y = 2 - expr: 3x^2 label: Schnitt y = 3 points: - [1, 1, 'Steigung 2'] - [1, 2, 'Steigung 4'] - [1, 3, 'Steigung 6'] vertical: - {x: 1, label: 'x = 1'} ``` ## Warum die Stetigkeit wichtig ist: das klassische Gegenbeispiel Definiere $$f(x, y) = \begin{cases} \dfrac{xy(x^2 - y^2)}{x^2 + y^2} & (x, y) \ne (0, 0) \\ 0 & (x, y) = (0, 0) \end{cases}$$ Entlang der Achsen liefert eine direkte Rechnung mit der Grenzwertdefinition $f_x(0, y) = -y$ und $f_y(x, 0) = x$. Daher gilt $$f_{xy}(0, 0) = \frac{\partial}{\partial y}(-y) = -1, \qquad f_{yx}(0, 0) = \frac{\partial}{\partial x}(x) = 1$$ Die gemischten Ableitungen stimmen nicht überein. Das widerspricht dem Satz von Schwarz nicht: $f_{xy}$ und $f_{yx}$ sind im Ursprung nicht stetig, also ist die Voraussetzung verletzt. ## Rechenbeispiele **Beispiel 1: Den Satz für $f(x, y) = x^3 y^2 + \sin(xy)$ überprüfen.** **Schritt 1.** Erste partielle Ableitungen: $$f_x = 3x^2 y^2 + y\cos(xy), \qquad f_y = 2x^3 y + x\cos(xy)$$ **Schritt 2.** $f_x$ nach $y$ ableiten (Produktregel bei $y\cos(xy)$): $$f_{xy} = 6x^2 y + \cos(xy) - xy\sin(xy)$$ **Schritt 3.** $f_y$ nach $x$ ableiten (Produktregel bei $x\cos(xy)$): $$f_{yx} = 6x^2 y + \cos(xy) - xy\sin(xy)$$ Sie stimmen überein, wie es der Satz von Schwarz für eine Funktion aus Polynomen und Sinusfunktionen vorhersagt. **Beispiel 2: die einfachere Reihenfolge wählen.** Bestimme $f_{xy}$ für $f(x, y) = y e^{x^2} + x\ln(1 + y^4)$ für beliebige $(x, y)$. Erst nach $x$ abzuleiten heißt, die Kettenregel auf $e^{x^2}$ und danach auf $\ln(1 + y^4)$ anzuwenden. Nutze stattdessen $f_{xy} = f_{yx}$: $$f_y = e^{x^2} + \frac{4xy^3}{1 + y^4}, \qquad f_{yx} = 2xe^{x^2} + \frac{4y^3}{1 + y^4}$$ Alle partiellen Ableitungen sind überall stetig, also ist $f_{xy} = 2xe^{x^2} + \frac{4y^3}{1 + y^4}$. **Beispiel 3: Test auf ein konservatives Feld.** Ist $\mathbf{F} = \langle P, Q \rangle = \nabla f$, dann gilt $P = f_x$ und $Q = f_y$, also erzwingt der Satz von Schwarz $P_y = f_{xy} = f_{yx} = Q_x$. - $\mathbf{F} = \langle 2xy,\; x^2 + 3y^2 \rangle$: $P_y = 2x = Q_x$, verträglich mit einem Gradienten, und tatsächlich ist $\mathbf{F} = \nabla(x^2 y + y^3)$. - $\mathbf{F} = \langle y,\; -x \rangle$: $P_y = 1$, aber $Q_x = -1$, also ist $\mathbf{F}$ nicht der Gradient irgendeiner Funktion. ## Häufige Fehler 1. **Leibniz-Schreibweise in der falschen Reihenfolge lesen.** $\frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}$ bedeutet, zuerst nach $x$ abzuleiten. Wenn der Satz von Schwarz gilt, spielt die Reihenfolge keine Rolle, im Gegenbeispiel aber schon. 2. **Gleichheit ohne Stetigkeit annehmen.** Abschnittsweise definierte Funktionen mit einem gesondert festgelegten Wert in einem Punkt sind genau die Stellen, an denen der Satz versagen kann. 3. **Glauben, dass $P_y = Q_x$ allein beweist, dass ein Feld konservativ ist.** Die Bedingung ist notwendig, hinreichend ist sie nur auf einem einfach zusammenhängenden Gebiet, eine Feinheit, die mit dem [Satz von Green](/theorems/greens-theorem) zusammenhängt. ## Verwandte Sätze und Anleitungen Wie man partielle Ableitungen berechnet, erfährst du unter [partielle Ableitungen](/blog/partial-derivatives). Der Satz von Schwarz steckt hinter dem Rotationstest für konservative Felder, der beim [Satz von Green](/theorems/greens-theorem) und beim [Satz von Stokes](/theorems/stokes-theorem) verwendet wird, und er macht die mehrdimensionale [Taylor-Entwicklung](/theorems/taylors-theorem) symmetrisch. ## Häufig gestellte Fragen ### Was besagt der Satz von Schwarz? Ist $f(x, y)$ auf einer Kreisscheibe um $(a, b)$ definiert und sind die gemischten partiellen Ableitungen $f_{xy}$ und $f_{yx}$ beide auf dieser Kreisscheibe stetig, dann gilt $f_{xy}(a, b) = f_{yx}(a, b)$. ### Sind gemischte partielle Ableitungen immer gleich? Nein. Sie sind gleich, wenn sie stetig sind, und das trifft auf fast jede Funktion zu, die dir im Studium begegnet. Die Funktion $f = \frac{xy(x^2 - y^2)}{x^2 + y^2}$ mit $f(0, 0) = 0$ hat $f_{xy}(0, 0) = -1$, aber $f_{yx}(0, 0) = 1$. ### Was bedeutet f_xy? Es bedeutet: zuerst nach $x$ ableiten, dann nach $y$, also $f_{xy} = (f_x)_y$. In Leibniz-Schreibweise ist das $\frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}$, wobei die Variablen von rechts nach links gelesen werden. ### Gilt der Satz von Schwarz auch für dritte Ableitungen? Ja. Sind alle beteiligten partiellen Ableitungen stetig, hängt jede gemischte Ableitung nur davon ab, wie oft nach jeder Variablen abgeleitet wird, nicht von der Reihenfolge. Zum Beispiel gilt $f_{xyy} = f_{yxy} = f_{yyx}$.