# Satz von Stokes: Aussage, Orientierung und Rechenbeispiele > Satz von Stokes: Die Zirkulation eines Feldes längs einer geschlossenen Kurve ist gleich dem Fluss seiner Rotation durch jede berandete Fläche. Quelle: https://practicecalculus.com/de/saetze/satz-von-stokes Aktualisiert: 2026-11-03 $$ \oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla\times\mathbf{F})\cdot d\mathbf{S} $$ ## Auf einen Blick - **Voraussetzungen:** $S$ ist eine orientierte, stückweise glatte Fläche, berandet von einer einfachen, geschlossenen, stückweise glatten Kurve $C$ mit positiver Orientierung, und $\mathbf{F}$ hat stetige partielle Ableitungen auf einem offenen Gebiet, das $S$ enthält - **Positive Orientierung:** Rechte-Hand-Regel: Zeigt dein Daumen in Richtung der Normalen von $S$, krümmen sich deine Finger in Richtung von $C$ - **Rotation:** $\nabla\times\mathbf{F} = \langle R_y - Q_z,\; P_z - R_x,\; Q_x - P_y \rangle$ - **Wichtige Folgerung:** Der Fluss der Rotation hängt nur von der Randkurve ab, nicht davon, welche Fläche du wählst - **Spezialfall:** Der Satz von Green, wenn $S$ ein ebenes Gebiet in der $xy$-Ebene ist - **Kurs:** Analysis 3 ## Das Wichtigste - Die Zirkulation von $\mathbf{F}$ längs einer geschlossenen Kurve ist gleich dem Fluss von $\nabla\times\mathbf{F}$ durch jede Fläche, die von dieser Kurve berandet wird. - Die Orientierungen müssen nach der Rechte-Hand-Regel zusammenpassen. Ist sie verkehrt herum, kehrt sich das Vorzeichen um. - Da nur der Rand zählt, kannst du eine gekrümmte Fläche durch eine ebene mit demselben Rand ersetzen. - $\mathbf{F}$ muss auf der ganzen Fläche glatt sein. Eine singuläre Linie, die durch die Fläche verläuft, bringt den Satz zu Fall. Der **Satz von Stokes** besagt, dass die Zirkulation eines Vektorfeldes längs einer geschlossenen Kurve im Raum gleich der gesamten Rotation ist, die durch eine beliebige Fläche mit dieser Kurve als Rand fließt. Er ist der [Satz von Green](/theorems/greens-theorem), gelöst von der flachen Ebene und übertragen auf gekrümmte Flächen. ## Aussage des Satzes von Stokes Es sei 1. $S$ eine **orientierte, stückweise glatte Fläche** mit Einheitsnormale $\mathbf{n}$, 2. $C$ der Rand von $S$, eine **einfache, geschlossene, stückweise glatte Kurve** mit **positiver Orientierung** (Rechte-Hand-Regel bezüglich $\mathbf{n}$), und 3. $\mathbf{F} = \langle P, Q, R \rangle$ ein Feld mit **stetigen partiellen Ableitungen** auf einem offenen Gebiet, das $S$ enthält. Dann gilt $$\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla\times\mathbf{F})\cdot d\mathbf{S}$$ mit $\nabla\times\mathbf{F} = \langle R_y - Q_z,\; P_z - R_x,\; Q_x - P_y \rangle$ und $d\mathbf{S} = \mathbf{n}\,dS$. ## Was der Satz von Stokes bedeutet Die Rotation an einem Punkt misst, wie stark das Feld um diesen Punkt wirbelt, wie ein winziges Schaufelrad. Überdecke die Fläche mit kleinen Flächenstücken und addiere die Wirbelung um jedes Stück. Auf jeder gemeinsamen Kante laufen benachbarte Stücke in entgegengesetzte Richtungen und heben sich auf, sodass nur die Wirbelung um den äußeren Rand übrig bleibt, die Zirkulation längs $C$. Eine bemerkenswerte Folgerung: Die Fläche selbst spielt keine Rolle, nur ihr Rand. Eine Halbkugel und eine ebene Kreisscheibe mit demselben kreisförmigen Rand haben denselben Fluss der Rotation. ## Warum jede Voraussetzung wichtig ist **Passende Orientierung.** Läuft $C$ entgegen der Rechte-Hand-Regel, ändert das Kurvenintegral sein Vorzeichen, das Flächenintegral aber nicht, und die Gleichung ist um den Faktor $-1$ falsch. **Glattheit auf der Fläche.** Das Feld $\mathbf{F} = \left\langle \frac{-y}{x^2 + y^2}, \frac{x}{x^2 + y^2}, 0 \right\rangle$ hat überall, wo es definiert ist, $\nabla\times\mathbf{F} = \mathbf{0}$, aber seine Zirkulation längs des Einheitskreises in der $xy$-Ebene beträgt $2\pi$. Jede von diesem Kreis berandete Fläche muss die $z$-Achse schneiden, wo $\mathbf{F}$ nicht definiert ist, also ist der Satz von Stokes nicht anwendbar. **Eine Randkurve.** Eine geschlossene Fläche wie eine Kugel hat keinen Rand, also gilt für sie $\iint_S (\nabla\times\mathbf{F})\cdot d\mathbf{S} = 0$. Das passt zum [Divergenzsatz](/theorems/divergence-theorem), denn $\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{F}) = 0$. ## Rechenbeispiele **Beispiel 1: eine Halbkugel und ihr Rand.** Sei $\mathbf{F} = \langle -y, x, z \rangle$ und $S$ die obere Hälfte der Einheitskugel mit nach oben zeigender Normalen. Dann ist $C$ der Einheitskreis in der $xy$-Ebene, von oben gesehen gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen. **Kurvenintegral.** Mit $\mathbf{r}(t) = \langle \cos t, \sin t, 0 \rangle$: $$\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \int_0^{2\pi} \left((-\sin t)(-\sin t) + (\cos t)(\cos t)\right) dt = \int_0^{2\pi} 1\,dt = 2\pi$$ **Flächenintegral.** $\nabla\times\mathbf{F} = \langle 0 - 0,\; 0 - 0,\; 1 - (-1) \rangle = \langle 0, 0, 2 \rangle$. Da nur der Rand zählt, ersetze die Halbkugel durch die ebene Einheitskreisscheibe mit Normale $\mathbf{k}$: Der Fluss ist $2 \cdot \pi = 2\pi$. Beide Seiten stimmen überein. **Beispiel 2: ein Dreieck im Raum.** Berechne $\oint_C z\,dx + x\,dy + y\,dz$, wobei $C$ das Dreieck mit den Ecken $(1, 0, 0)$, $(0, 1, 0)$, $(0, 0, 1)$ ist, von oben gesehen gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen. **Schritt 1.** Für $\mathbf{F} = \langle z, x, y \rangle$ gilt $\nabla\times\mathbf{F} = \langle 1 - 0,\; 1 - 0,\; 1 - 0 \rangle = \langle 1, 1, 1 \rangle$. **Schritt 2.** Wähle als $S$ das ebene Dreieck auf der Ebene $z = 1 - x - y$ mit nach oben zeigender Normalen. Für einen Graphen $z = g(x, y)$ gilt $d\mathbf{S} = \langle -g_x, -g_y, 1 \rangle\,dA = \langle 1, 1, 1 \rangle\,dA$. **Schritt 3.** $(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\langle 1, 1, 1 \rangle = 3$, integriert über die Projektion, das Dreieck $x, y \ge 0$, $x + y \le 1$ mit Flächeninhalt $\frac{1}{2}$: $$\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = 3\cdot\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$$ Ein Flächenintegral ersetzt drei Kurvenintegrale entlang der Kanten. **Beispiel 3: konservative Felder.** Ist $\mathbf{F} = \nabla f$, wobei $f$ stetige zweite partielle Ableitungen hat, dann gilt nach dem [Satz von Schwarz](/theorems/clairauts-theorem) $\nabla\times\mathbf{F} = \mathbf{0}$, und Stokes liefert $\oint_C \nabla f\cdot d\mathbf{r} = 0$ für jede geschlossene Kurve, die eine Fläche berandet. Gradientenfelder verrichten längs geschlossener Wege insgesamt keine Arbeit. ## Häufige Fehler 1. **Unpassende Orientierung.** Lege zuerst die Normale fest und orientiere dann $C$ mit der Rechte-Hand-Regel. 2. **Die Rotation falsch berechnen.** Schreibe die Determinante sorgfältig aus; die mittlere Komponente ist $P_z - R_x$, nicht $R_x - P_z$. 3. **Die schwierige Fläche verwenden.** Ist die Rotation einfach, ist eine ebene Fläche mit demselben Rand meist viel leichter. ## Verwandte Sätze und Leitfäden Der Satz von Stokes verallgemeinert den [Satz von Green](/theorems/greens-theorem) und steht neben dem [Divergenzsatz](/theorems/divergence-theorem) als einer der drei großen Integralsätze der Vektoranalysis. Alle drei sind höherdimensionale Versionen des [Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung](/theorems/fundamental-theorem-of-calculus-part-2). Zum Kreuzprodukt hinter der Rotation siehe [Vektoren, Skalarprodukt und Kreuzprodukt](/blog/vectors-dot-and-cross-product), und zu partiellen Ableitungen siehe [partielle Ableitungen](/blog/partial-derivatives). ## Häufig gestellte Fragen ### Was besagt der Satz von Stokes? Ist $S$ eine orientierte, stückweise glatte Fläche mit Randkurve $C$, orientiert nach der Rechte-Hand-Regel, und hat $\mathbf{F}$ stetige partielle Ableitungen in der Nähe von $S$, dann gilt $\oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla\times\mathbf{F})\cdot d\mathbf{S}$. ### Wie orientiert man die Kurve im Satz von Stokes? Richte den rechten Daumen entlang des gewählten Normalenvektors von $S$ aus. Deine Finger krümmen sich in die positive Richtung von $C$. Gleichwertig: Läufst du auf $C$ entlang und zeigt dein Kopf in Richtung der Normalen, liegt die Fläche links von dir. ### Warum darf man im Satz von Stokes die Fläche wechseln? Die rechte Seite ist gleich dem Kurvenintegral längs $C$, das nur von der Kurve abhängt. Zwei Flächen mit demselben Rand und passender Orientierung haben also denselben Fluss der Rotation, und du kannst die einfachste wählen, oft eine ebene Kreisscheibe. ### Wie hängt der Satz von Stokes mit dem Satz von Green zusammen? Ist $S$ ein ebenes Gebiet in der $xy$-Ebene mit nach oben zeigender Normalen $\mathbf{k}$, dann gilt $(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{k} = Q_x - P_y$, und der Satz von Stokes wird zum Satz von Green.