# Satz von Taylor: Restglied und Fehlerabschätzung mit Beispielen > Satz von Taylor mit Lagrange-Restglied: wie nah ein Taylorpolynom an f(x) liegt. Aussage, Fehlerabschätzung, Graph und Beispiele mit e und sin x. Quelle: https://practicecalculus.com/de/saetze/satz-von-taylor Aktualisiert: 2026-11-03 $$ f(x) = P_n(x) + \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x - a)^{n+1} $$ ## Auf einen Blick - **Voraussetzungen:** $f$ ist auf einem offenen Intervall $I$, das $a$ enthält, $n + 1$-mal differenzierbar, und $x$ liegt in $I$ - **Taylorpolynom:** $P_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x - a)^k$ - **Restglied (Lagrange-Form):** $R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x - a)^{n+1}$ für ein $c$ zwischen $a$ und $x$ - **Fehlerabschätzung:** $|R_n(x)| \le \frac{M}{(n+1)!}|x - a|^{n+1}$ mit $|f^{(n+1)}| \le M$ - **Fall n = 0:** Der Mittelwertsatz - **Kurs:** Analysis 2 ## Das Wichtigste - Der Satz von Taylor besagt, dass $f(x)$ gleich seinem Taylorpolynom vom Grad $n$ plus einem Restglied ist, das du abschätzen kannst. - Das Lagrange-Restglied sieht aus wie der nächste Term der Reihe, nur dass die Ableitung an einer unbekannten Stelle $c$ ausgewertet wird. - Schätze $|f^{(n+1)}|$ auf dem Intervall durch $M$ ab, dann erhältst du die Fehlerschranke $\frac{M}{(n+1)!}|x - a|^{n+1}$. - Eine Taylorreihe ist genau dann gleich $f$, wenn das Restglied für $n \to \infty$ gegen $0$ geht. Der **Satz von Taylor** besagt, dass eine glatte Funktion gleich ihrem Taylorpolynom plus einem Fehlerterm ist, und er gibt diesem Fehlerterm eine exakte Form. Damit wird aus "das Taylorpolynom ist eine gute Näherung" eine garantierte Anzahl korrekter Nachkommastellen. ## Aussage des Satzes von Taylor Die Funktion $f$ besitze Ableitungen bis zur Ordnung $n + 1$ auf einem offenen Intervall $I$, das $a$ enthält. Sei $$P_n(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n$$ das Taylorpolynom vom Grad $n$ von $f$ an der Stelle $a$. Dann gibt es für jedes $x$ in $I$ eine Zahl $c$ **zwischen $a$ und $x$** mit $$f(x) = P_n(x) + R_n(x), \qquad R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x - a)^{n+1}$$ Das ist die **Lagrange-Form des Restglieds**. Für $a = 0$ heißt das Polynom Maclaurin-Polynom. ## Die Taylor-Ungleichung (die Fehlerabschätzung) Die Stelle $c$ kennst du fast nie, also schätzt du stattdessen die Ableitung ab. Gilt $|f^{(n+1)}(t)| \le M$ für jedes $t$ zwischen $a$ und $x$, dann ist $$|f(x) - P_n(x)| = |R_n(x)| \le \frac{M}{(n+1)!}|x - a|^{n+1}$$ Die Schranke wird schnell klein, weil $(n+1)!$ schneller wächst als jede Potenz. ## Was der Satz von Taylor bedeutet Das Restglied sieht genau aus wie der nächste Term der Taylorreihe, nur dass die Ableitung an einer Stelle $c$ statt an $a$ ausgewertet wird. Für $n = 0$ lautet die Aussage $f(x) = f(a) + f'(c)(x - a)$, und das ist der [Mittelwertsatz](/theorems/mean-value-theorem). Der Satz von Taylor ist seine Version höherer Ordnung. ```graph title: 'Satz von Taylor: Taylorpolynome von sin(x) bei 0 schmiegen sich nahe 0 an die Kurve' caption: 'Die Maclaurin-Polynome vom Grad 1, 3 und 5 von $\sin x$. Nahe $x = 0$ ist der Fehler winzig; er wächst mit $|x|$ und schrumpft, wenn der Grad steigt.' x: [-4, 4] y: [-2, 2] functions: - expr: sin(x) label: y = sin(x) - expr: x label: Grad 1, y = x dashed: true - expr: x - x^3/6 label: Grad 3, y = x − x³/6 dashed: true - expr: x - x^3/6 + x^5/120 label: Grad 5 dashed: true ``` ## Warum die Voraussetzungen wichtig sind **Genügend Ableitungen.** Die Restgliedformel verwendet $f^{(n+1)}$. Für $f(x) = |x|$ bei $a = 0$ existiert $f'(0)$ nicht, also gibt es nicht einmal ein Taylorpolynom vom Grad 1. **Ein Restglied, das nicht schrumpft.** Der Satz von Taylor gilt immer, wenn seine Voraussetzungen erfüllt sind, aber er verspricht nicht, dass der Fehler gegen $0$ geht. Die Funktion $f(x) = e^{-1/x^2}$ (mit $f(0) = 0$) hat bei $x = 0$ lauter Ableitungen gleich $0$, also ist jedes Taylorpolynom bei $0$ das Nullpolynom. Das Restglied $R_n(x) = f(x)$ schrumpft nie, und die Taylorreihe konvergiert gegen $0$, nicht gegen $f$. Eine Funktion ist nur dann gleich ihrer [Taylorreihe](/blog/taylor-series), wenn $R_n(x) \to 0$. ## Rechenbeispiele **Beispiel 1: Nähere $e$ mit $P_4$ an und schätze den Fehler ab.** **Schritt 1.** Für $f(x) = e^x$ bei $a = 0$ ist jede Ableitung $e^x$ und hat an der Stelle $0$ den Wert $1$. Also $$P_4(1) = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} = \frac{65}{24} \approx 2.70833$$ **Schritt 2.** Auf $[0, 1]$ gilt $f^{(5)}(t) = e^t \le e < 3$, also nimm $M = 3$. **Schritt 3.** $|R_4(1)| \le \frac{3}{5!}\cdot 1^5 = \frac{3}{120} = 0.025$. Der tatsächliche Fehler ist $e - 2.70833 \approx 0.00995$, also bequem innerhalb der Schranke. **Beispiel 2: $\sin(0.1)$ mit hoher Genauigkeit.** Das Maclaurin-Polynom $P_3(x) = x - \frac{x^3}{6}$ liefert $\sin(0.1) \approx 0.1 - \frac{0.001}{6} \approx 0.0998333$. Da der Koeffizient von $x^4$ beim Sinus $0$ ist, gilt $P_4 = P_3$, und wir dürfen $R_4$ verwenden. Jede Ableitung von $\sin$ ist durch $M = 1$ beschränkt: $$|R_4(0.1)| \le \frac{1}{5!}(0.1)^5 = \frac{0.00001}{120} \approx 8.3 \times 10^{-8}$$ Also ist $0.0998333$ auf mindestens sechs Nachkommastellen genau. **Beispiel 3: Wie viele Terme braucht man für $e^{0.5}$ mit Genauigkeit $0.001$?** Auf $[0, 0.5]$ gilt $e^t \le e^{0.5} < 2$, also $|R_n(0.5)| \le \frac{2\,(0.5)^{n+1}}{(n+1)!}$. | $n$ | Schranke $\frac{2\,(0.5)^{n+1}}{(n+1)!}$ | | --- | --- | | $2$ | $\frac{2(0.125)}{6} \approx 0.042$ | | $3$ | $\frac{2(0.0625)}{24} \approx 0.0052$ | | $4$ | $\frac{2(0.03125)}{120} \approx 0.00052$ | Die Schranke fällt erstmals bei $n = 4$ unter $0.001$, also ist $P_4(0.5)$ genau genug. ## Häufige Fehler 1. **$(n)!$ statt $(n+1)!$ verwenden.** Das Restglied nach einem Polynom vom Grad $n$ verwendet die $(n+1)$-te Ableitung und $(n+1)!$. 2. **Die Ableitung nur an der Stelle $a$ abschätzen.** $M$ muss $|f^{(n+1)}|$ auf dem ganzen Intervall zwischen $a$ und $x$ beschränken. 3. **Annehmen, die Taylorreihe sei immer gleich $f$.** Das gilt nur, wenn das Restglied gegen $0$ strebt. ## Verwandte Sätze und Leitfäden Der Satz von Taylor verallgemeinert den [Mittelwertsatz](/theorems/mean-value-theorem). Wie man die Polynome und Reihen selbst aufstellt, findest du unter [Taylorreihen](/blog/taylor-series) und [Potenzreihen](/blog/power-series). In mehreren Variablen verwendet die Taylorentwicklung zweiter Ordnung gemischte partielle Ableitungen, die man nach dem [Satz von Schwarz](/theorems/clairauts-theorem) in beliebiger Reihenfolge bilden darf. ## Häufig gestellte Fragen ### Was besagt der Satz von Taylor? Ist $f$ auf einem Intervall, das $a$ und $x$ enthält, $n + 1$-mal differenzierbar, dann gilt $f(x) = P_n(x) + R_n(x)$, wobei $P_n$ das Taylorpolynom vom Grad $n$ an der Stelle $a$ ist und $R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x - a)^{n+1}$ für ein $c$ zwischen $a$ und $x$. ### Was ist die Lagrange-Fehlerabschätzung? Gilt $|f^{(n+1)}(t)| \le M$ für alle $t$ zwischen $a$ und $x$, dann ist der Fehler bei der Näherung von $f(x)$ durch $P_n(x)$ höchstens $\frac{M}{(n+1)!}|x - a|^{n+1}$. Das ist dasselbe wie die Taylor-Ungleichung. ### Woher weiß man, wie viele Terme des Taylorpolynoms man braucht? Schreibe die Fehlerschranke als Funktion von $n$ und erhöhe $n$, bis die Schranke kleiner ist als die geforderte Genauigkeit. Die Fakultät im Nenner lässt die Schranke schnell schrumpfen. ### Was ist der Unterschied zwischen dem Satz von Taylor und einer Taylorreihe? Eine Taylorreihe ist die unendliche Summe aller Terme. Der Satz von Taylor handelt von einem endlichen Polynom und liefert eine exakte Formel für den verbleibenden Fehler. Damit beweist man, dass eine Taylorreihe gegen die Funktion konvergiert.