# Zwischenwertsatz: Aussage, Graph und Beispiele

> Der Zwischenwertsatz: Eine stetige Funktion auf [a, b] nimmt jeden Wert zwischen f(a) und f(b) an. Aussage, Graph, Gegenbeispiele und Rechenbeispiele.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/saetze/zwischenwertsatz
Aktualisiert: 2026-11-03

$$ f(c) = N \text{ für ein } c \in (a, b) $$

## Auf einen Blick

- **Voraussetzungen:** $f$ ist stetig auf dem abgeschlossenen Intervall $[a, b]$, und $N$ liegt echt zwischen $f(a)$ und $f(b)$
- **Aussage:** Es gibt mindestens ein $c$ in $(a, b)$ mit $f(c) = N$
- **Typ:** Existenzsatz: Er sagt, dass $c$ existiert, aber nicht wo
- **Geeignet für:** Beweisen, dass eine Gleichung eine Lösung hat, Nullstellen eingrenzen
- **Nullstellenversion:** Haben $f(a)$ und $f(b)$ verschiedene Vorzeichen, hat $f$ eine Nullstelle in $(a, b)$
- **Kurs:** Analysis 1

## Das Wichtigste

- Eine stetige Funktion auf $[a, b]$ nimmt jeden Wert zwischen $f(a)$ und $f(b)$ mindestens einmal an.
- Haben $f(a)$ und $f(b)$ verschiedene Vorzeichen, hat die Gleichung $f(x) = 0$ eine Lösung in $(a, b)$.
- Stetigkeit auf dem ganzen abgeschlossenen Intervall ist unverzichtbar. Ein einziger Sprung oder eine Polstelle macht den Satz ungültig.
- Der Satz beweist, dass eine Lösung existiert. Er sagt nicht, wie viele es gibt oder wo sie liegen.

Der **Zwischenwertsatz** besagt, dass eine stetige Funktion keine Werte überspringen kann. Beginnt sie auf einer Höhe und endet auf einer anderen, muss sie jede Höhe dazwischen durchlaufen. Er ist das Standardwerkzeug, um zu beweisen, dass eine Gleichung eine Lösung hat, ohne sie zu lösen.

## Aussage des Zwischenwertsatzes

Es gelte:

1. $f$ ist **stetig auf dem abgeschlossenen Intervall** $[a, b]$, und
2. $N$ ist irgendeine Zahl, die **echt zwischen** $f(a)$ und $f(b)$ liegt.

Dann gibt es mindestens eine Zahl $c$ im offenen Intervall $(a, b)$ mit

$$f(c) = N$$

Der häufigste Spezialfall betrifft Nullstellen: Ist $f$ stetig auf $[a, b]$ und haben $f(a)$ und $f(b)$ verschiedene Vorzeichen, dann gilt $f(c) = 0$ für ein $c$ in $(a, b)$. Diese Version heißt auch Nullstellensatz von Bolzano.

## Was der Zwischenwertsatz bedeutet

Zeichne eine stetige Kurve vom Punkt $(a, f(a))$ zum Punkt $(b, f(b))$, ohne den Stift abzusetzen. Jede waagerechte Gerade $y = N$ zwischen den beiden Höhen muss dabei gekreuzt werden. Der Zwischenwertsatz ist die präzise Fassung dieser Zeichnung.

```graph
title: 'Zwischenwertsatz: y = x³ − x − 1 schneidet null zwischen x = 1 und x = 2'
caption: 'Wegen $f(1) = -1 < 0$ und $f(2) = 5 > 0$ und weil $f$ stetig ist, muss die Kurve $y = 0$ irgendwo in $(1, 2)$ schneiden. Der Schnittpunkt liegt bei etwa $x \approx 1.32$.'
x: [0, 2.4]
y: [-2.5, 6]
functions:
  - expr: x^3 - x - 1
    label: y = x³ − x − 1
points:
  - [1, -1, 'f(1) = −1']
  - [2, 5, 'f(2) = 5']
  - [1.3247, 0, 'c ≈ 1.32']
vertical:
  - {x: 1, label: 'a = 1'}
  - {x: 2, label: 'b = 2'}
```

Beachte, was der Satz nicht sagt. Er sagt nicht, wo $c$ liegt, und er sagt nicht, dass $c$ eindeutig ist. Er ist ein **Existenzsatz**.

## Warum Stetigkeit wichtig ist: Gegenbeispiele

**Eine Polstelle.** Sei $f(x) = \frac{1}{x}$ auf $[-1, 1]$. Dann ist $f(-1) = -1$ und $f(1) = 1$, also liegt $0$ dazwischen, und doch ist $\frac{1}{x}$ nie $0$. Der Zwischenwertsatz ist nicht anwendbar, weil $f$ bei $x = 0$ nicht einmal definiert ist, geschweige denn stetig.

**Ein Sprung.** Sei $f(x) = 0$ für $x < 1$ und $f(x) = 2$ für $x \ge 1$, auf $[0, 2]$. Die Funktion geht von $0$ nach $2$, ist aber nie gleich $1$. Der Sprung bei $x = 1$ verletzt die Stetigkeit.

**Stetigkeit auf einem Teil des Intervalls reicht nicht.** Vorausgesetzt ist Stetigkeit auf ganz $[a, b]$, einschließlich der Randpunkte. Ein paar Punkte zu prüfen beweist nichts. Wie man Stetigkeit nachweist, steht im Leitfaden zur [Stetigkeit](/blog/continuity).

## Rechenbeispiele

**Beispiel 1: Zeige, dass $x^3 - x - 1 = 0$ eine Lösung zwischen $1$ und $2$ hat.**

**Schritt 1.** $f(x) = x^3 - x - 1$ ist ein Polynom, also stetig auf $[1, 2]$.

**Schritt 2.** $f(1) = 1 - 1 - 1 = -1$ und $f(2) = 8 - 2 - 1 = 5$.

**Schritt 3.** Wegen $-1 < 0 < 5$ liefert der Zwischenwertsatz ein $c$ in $(1, 2)$ mit $f(c) = 0$.

**Schritt 4 (weiter eingrenzen).** $f(1.5) = 3.375 - 1.5 - 1 = 0.875 > 0$, also liegt der Vorzeichenwechsel und damit eine Nullstelle in $(1, 1.5)$. Wiederholt man dieses Halbieren, erhält man das **Bisektionsverfahren** (Intervallhalbierung), das die Nullstelle auf $c \approx 1.3247$ eingrenzt.

**Beispiel 2: Zeige, dass $\cos x = x$ eine Lösung hat.**

Bringe alles auf eine Seite: $g(x) = \cos x - x$ ist überall stetig. Dann gilt

$$g(0) = 1 > 0, \qquad g\left(\tfrac{\pi}{2}\right) = 0 - \tfrac{\pi}{2} < 0$$

Nach dem Zwischenwertsatz gilt $g(c) = 0$ für ein $c$ in $(0, \frac{\pi}{2})$, also $\cos c = c$. Algebraisch könntest du diese Gleichung nie lösen, aber der Zwischenwertsatz beweist, dass die Lösung existiert.

**Beispiel 3: ein anderer Wert als null.** Zeige, dass $f(x) = x^2 + x$ auf $[1, 2]$ den Wert $4$ annimmt. $f$ ist stetig, $f(1) = 2$ und $f(2) = 6$. Wegen $2 < 4 < 6$ gibt es ein $c$ in $(1, 2)$ mit $c^2 + c = 4$. (Auflösen ergibt $c = \frac{-1 + \sqrt{17}}{2} \approx 1.56$, das tatsächlich im Intervall liegt.)

## So schreibst du eine Begründung mit dem Zwischenwertsatz

Eine vollständige Antwort in der Klausur nennt alle drei Teile:

1. **Stetigkeit:** Begründe, warum $f$ auf $[a, b]$ stetig ist (Polynom, Summe stetiger Funktionen und so weiter).
2. **Werte an den Rändern:** Berechne $f(a)$ und $f(b)$.
3. **Schluss:** Stelle fest, dass $N$ zwischen ihnen liegt, also gibt es nach dem Zwischenwertsatz ein $c$ in $(a, b)$ mit $f(c) = N$.

## Häufige Fehler

1. **Die Stetigkeitsprüfung auslassen.** Ohne sie ist die Begründung unvollständig, und bei Funktionen wie $\tan x$ oder $\frac{1}{x}$ kann die Aussage falsch sein.
2. **Genau eine Lösung behaupten.** Der Zwischenwertsatz liefert mindestens eine. Eindeutigkeit braucht ein eigenes Argument, zum Beispiel dass $f$ streng monoton wachsend ist.
3. **Die Umkehrung verwenden.** Eine Funktion, die jeden Zwischenwert annimmt, ist nicht unbedingt stetig. Der Zwischenwertsatz gilt nur in eine Richtung.

## Verwandte Sätze

Der Zwischenwertsatz ist ein Begleiter des [Satzes vom Maximum und Minimum](/theorems/extreme-value-theorem): Beide beruhen auf Stetigkeit auf einem abgeschlossenen Intervall. Um zu zeigen, dass eine Nullstelle die einzige ist, kombinierst du den Zwischenwertsatz mit dem [Satz von Rolle](/theorems/rolles-theorem). Zu den Grenzwerttechniken hinter der Stetigkeit siehe [Grenzwerte berechnen](/blog/how-to-evaluate-limits) und den [Sandwich-Satz](/theorems/squeeze-theorem).

## Häufig gestellte Fragen

### Was besagt der Zwischenwertsatz?

Ist $f$ stetig auf $[a, b]$ und $N$ irgendeine Zahl zwischen $f(a)$ und $f(b)$, dann gilt $f(c) = N$ für mindestens ein $c$ zwischen $a$ und $b$. Ein stetiger Graph kann nicht von einer Höhe zu einer anderen gelangen, ohne jede Höhe dazwischen zu durchlaufen.

### Wie zeigt man mit dem Zwischenwertsatz, dass eine Nullstelle existiert?

Prüfe, dass $f$ auf $[a, b]$ stetig ist, berechne $f(a)$ und $f(b)$ und stelle fest, dass sie verschiedene Vorzeichen haben. Dann liegt $0$ dazwischen, und der Zwischenwertsatz garantiert ein $c$ in $(a, b)$ mit $f(c) = 0$.

### Sagt der Zwischenwertsatz, wie viele Nullstellen es gibt?

Nein. Er garantiert mindestens eine. Es könnten drei sein oder hundert. Um genau eine nachzuweisen, kombiniert man den Zwischenwertsatz mit einer Eigenschaft wie strenger Monotonie von $f$, die man oft mit dem [Satz von Rolle](/theorems/rolles-theorem) beweist.

### Was passiert, wenn die Funktion nicht stetig ist?

Dann kann die Aussage falsch werden. Zum Beispiel hat $f(x) = \frac{1}{x}$ die Werte $f(-1) = -1$ und $f(1) = 1$, ist aber nie $0$, weil sie bei $x = 0$ nicht stetig ist.