# Ableitung der Arkusfunktionen: Aufgaben mit Lösungen

> 12 Aufgaben zur Ableitung der Arkusfunktionen mit Lösungen und vollständigem Lösungsweg: arcsin, arccos, arctan und arcsec mit Ketten- und Produktregel.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/uebungsaufgaben/aufgaben-ableitung-arkusfunktionen
Aktualisiert: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \qquad \frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1 + x^2} $$

## Auf einen Blick

- **Aufgaben:** 12, mit Lösungen und vollständigem Lösungsweg
- **Niveau:** Calculus 1 und AP Calculus AB, Unit 3
- **Du brauchst:** Die [Kettenregel](/practice-problems/chain-rule) und die vier Ableitungen der Arkusfunktionen
- **Grundidee:** Die Formel mit u statt x verwenden und dann mit u' multiplizieren
- **Mit neuen Zahlen üben:** [Lektion zur Ableitung der Arkusfunktionen](/learn/calculus-1/derivative-rules/inverse-trig-derivatives)

## Das Wichtigste

- Die Ableitungen von Arkussinus und Arkuskosinus unterscheiden sich nur im Vorzeichen. Dasselbe gilt für Arkustangens und Arkuskotangens.
- Bei einer inneren Funktion ersetzt du $x$ überall in der Formel durch $u$, auch unter der Wurzel, und multiplizierst dann mit $u'$.
- Ergibt sich als Ableitung $0$, ist die Funktion konstant. Aufgabe 11 zeigt $\arctan x + \arctan\frac{1}{x} = \frac{\pi}{2}$ für $x > 0$.

Diese **Aufgaben zur Ableitung der Arkusfunktionen** beginnen mit den Grundformeln, nutzen dann die Kettenregel, die Produktregel und einen Logarithmus und enden mit zwei Aufgaben, die sich überraschend vereinfachen, sowie einer Tangente. Versuche jede Aufgabe zuerst selbst. Die Ergebnisse folgen direkt nach der Liste, danach die ausführlichen Lösungswege.

Die Formeln, die du brauchst:

| Funktion | Ableitung |
| --- | --- |
| $\arcsin x$ | $\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ |
| $\arccos x$ | $-\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ |
| $\arctan x$ | $\dfrac{1}{1 + x^2}$ |
| $\operatorname{arcsec} x$ | $\dfrac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{x^2 - 1}}$ |

Jede dieser Formeln folgt aus dem [impliziten Differenzieren](/practice-problems/implicit-differentiation). Die vollständigen Herleitungen findest du bei der [Ableitung von arcsin x](/derivatives/arcsin-x), der [Ableitung von arctan x](/derivatives/arctan-x) und der [Ableitung von arcsec x](/derivatives/arcsec-x).

## Aufgaben

**Grundformeln**

1. $y = 3\arctan x - 2\arcsin x$
2. $y = \arctan(3x)$
3. $y = \arccos(2x)$

**Kettenregel**

4. $y = \arcsin(x^2)$
5. $y = \arctan\!\left(\sqrt{x}\right)$
6. $y = \arctan(e^x)$
7. $y = \operatorname{arcsec}(3x)$ für $x > \frac{1}{3}$

**Mit anderen Regeln**

8. $y = x\arctan x$
9. $y = \ln(\arctan x)$ für $x > 0$
10. $y = \arcsin x + \sqrt{1 - x^2}$

**Vereinfachen und anwenden**

11. $y = \arctan x + \arctan\!\left(\dfrac{1}{x}\right)$ für $x > 0$
12. Bestimme die Tangente an $y = \arctan x$ an der Stelle $x = 1$.

## Lösungen

| Aufgabe | Lösung |
| --- | --- |
| 1 | $\dfrac{3}{1 + x^2} - \dfrac{2}{\sqrt{1 - x^2}}$ |
| 2 | $\dfrac{3}{1 + 9x^2}$ |
| 3 | $-\dfrac{2}{\sqrt{1 - 4x^2}}$ |
| 4 | $\dfrac{2x}{\sqrt{1 - x^4}}$ |
| 5 | $\dfrac{1}{2\sqrt{x}\,(1 + x)}$ |
| 6 | $\dfrac{e^x}{1 + e^{2x}}$ |
| 7 | $\dfrac{1}{x\sqrt{9x^2 - 1}}$ |
| 8 | $\arctan x + \dfrac{x}{1 + x^2}$ |
| 9 | $\dfrac{1}{(1 + x^2)\arctan x}$ |
| 10 | $\dfrac{1 - x}{\sqrt{1 - x^2}} = \sqrt{\dfrac{1 - x}{1 + x}}$ |
| 11 | $0$ |
| 12 | $y = \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{2} + \dfrac{\pi}{4}$ |

## Lösungswege Schritt für Schritt

**1.** Verwende für jeden Summanden die Tabelle:

$$y' = \frac{3}{1 + x^2} - \frac{2}{\sqrt{1 - x^2}}$$

**2.** Mit $u = 3x$ gilt $u' = 3$ und $u^2 = 9x^2$:

$$y' = \frac{3}{1 + (3x)^2} = \frac{3}{1 + 9x^2}$$

**3.** Mit $u = 2x$ gilt $u' = 2$ und $u^2 = 4x^2$. Behalte das Minuszeichen von arccos:

$$y' = -\frac{2}{\sqrt{1 - 4x^2}}$$

**4.** Mit $u = x^2$ gilt $u' = 2x$ und $u^2 = x^4$:

$$y' = \frac{2x}{\sqrt{1 - x^4}}$$

**5.** Mit $u = \sqrt{x}$ gilt $u' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ und $u^2 = x$:

$$y' = \frac{1}{1 + x}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}\,(1 + x)}$$

**6.** Mit $u = e^x$ gilt $u' = e^x$ und $u^2 = e^{2x}$:

$$y' = \frac{e^x}{1 + e^{2x}}$$

**7.** Mit $u = 3x > 1$ gilt $|u| = 3x$ und $u' = 3$:

$$y' = \frac{3}{3x\sqrt{9x^2 - 1}} = \frac{1}{x\sqrt{9x^2 - 1}}$$

**8.** Verwende die [Produktregel](/rules/product-rule):

$$y' = 1\cdot\arctan x + x\cdot\frac{1}{1 + x^2} = \arctan x + \frac{x}{1 + x^2}$$

**9.** Verwende $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$ mit $u = \arctan x$:

$$y' = \frac{\frac{1}{1 + x^2}}{\arctan x} = \frac{1}{(1 + x^2)\arctan x}$$

**10.** Die Ableitung von $\sqrt{1 - x^2}$ ist $\frac{-2x}{2\sqrt{1 - x^2}} = -\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$. Addiere die beiden Teile:

$$y' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} - \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} = \frac{1 - x}{\sqrt{1 - x^2}}$$

Wegen $1 - x^2 = (1 - x)(1 + x)$ vereinfacht sich das für $-1 < x < 1$ zu $\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}$.

**11.** Für den zweiten Summanden ist $u = \frac{1}{x}$ und $u' = -\frac{1}{x^2}$:

$$\frac{d}{dx}\arctan\frac{1}{x} = \frac{-\frac{1}{x^2}}{1 + \frac{1}{x^2}} = -\frac{1}{x^2 + 1}$$

Also ist $y' = \frac{1}{1 + x^2} - \frac{1}{1 + x^2} = 0$. Die Funktion ist für $x > 0$ konstant. An der Stelle $x = 1$ hat sie den Wert $\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$, also gilt $\arctan x + \arctan\frac{1}{x} = \frac{\pi}{2}$ für alle $x > 0$.

**12.** Der Punkt ist $\arctan 1 = \frac{\pi}{4}$. Die Steigung ist $\frac{1}{1 + 1^2} = \frac{1}{2}$:

$$y - \frac{\pi}{4} = \frac{1}{2}(x - 1) \quad\Rightarrow\quad y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} + \frac{\pi}{4}$$

## Typische Fehler bei diesen Aufgaben

- **Nur $x$ quadrieren statt der ganzen inneren Funktion.** In Aufgabe 2 lautet der Nenner $1 + (3x)^2 = 1 + 9x^2$, nicht $1 + 3x^2$.
- **Das $u'$ im Zähler vergessen.** $\frac{d}{dx}\arcsin(x^2)$ braucht das $2x$ im Zähler.
- **$\arcsin x$ mit $\frac{1}{\sin x}$ verwechseln.** $\arcsin x$ ist die Umkehrfunktion, $\frac{1}{\sin x}$ dagegen ist $\csc x$. Ihre Ableitungen sind völlig verschieden.
- **Das Minuszeichen bei arccos weglassen.** Aufgabe 3 hat ein negatives Ergebnis, weil $(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ gilt.

## Weiter üben

Diese 12 Aufgaben haben feste Zahlen. Für unbegrenztes Üben mit neuen Funktionen und sofortigem Feedback probiere die [Lektion zur Ableitung der Arkusfunktionen](/learn/calculus-1/derivative-rules/inverse-trig-derivatives) und die [Lektion zur Ableitung von Umkehrfunktionen](/learn/calculus-1/derivative-rules/inverse-function-derivatives). Wenn du zuerst die gewöhnlichen trigonometrischen Funktionen wiederholen willst, nutze die [Aufgaben zur Ableitung trigonometrischer Funktionen](/practice-problems/derivatives-of-trig-functions).

## Häufig gestellte Fragen

### Wie lauten die Ableitungen der Arkusfunktionen?

$(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$, $(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$, $(\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}$, $(\operatorname{arccot} x)' = -\frac{1}{1+x^2}$, $(\operatorname{arcsec} x)' = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$ und $(\operatorname{arccsc} x)' = -\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$.

### Wie leitet man arcsin(u) ab?

Mit der Kettenregel: $\frac{d}{dx}\arcsin u = \frac{u'}{\sqrt{1 - u^2}}$. Für $\arcsin(x^2)$ ist $u = x^2$ und $u' = 2x$, die Ableitung ist also $\frac{2x}{\sqrt{1 - x^4}}$.

### Wie wird die Ableitung von arcsin x hergeleitet?

Schreibe $y = \arcsin x$ als $\sin y = x$ und differenziere implizit: $\cos y\,y' = 1$. Da auf dem Wertebereich von arcsin $\cos y = \sqrt{1 - \sin^2 y} = \sqrt{1 - x^2}$ gilt, folgt $y' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$.