# Aufgaben: e-Funktion und ln ableiten mit Lösungen

> 12 Aufgaben zur Ableitung von Exponential- und Logarithmusfunktionen mit Lösungen und Lösungsweg: e^x, a^x, ln x, Logarithmusgesetze und x^x.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/uebungsaufgaben/aufgaben-ableitung-exponential-logarithmusfunktion
Aktualisiert: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}e^x = e^x, \qquad \frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x} $$

## Auf einen Blick

- **Aufgaben:** 12, mit Lösungen und vollständigem Lösungsweg
- **Niveau:** Calculus 1 und AP Calculus AB, Unit 2 und Unit 3
- **Du brauchst:** Die Logarithmusgesetze und die [Kettenregel](/practice-problems/chain-rule)
- **Grundidee:** e^u wird zu e^u mal u', und ln u wird zu u' durch u
- **Mit neuen Zahlen üben:** [Lektion zur Ableitung von Exponential- und Logarithmusfunktionen](/learn/calculus-1/derivative-rules/exponential-and-log-derivatives)

## Das Wichtigste

- $e^x$ ist seine eigene Ableitung, und jede andere Basis bekommt einen Faktor ihres natürlichen Logarithmus: $(a^x)' = a^x\ln a$.
- Zerlege einen Logarithmus mit den Logarithmusgesetzen, bevor du ableitest. So werden aus Quotienten und Wurzeln einfache Summen.
- Steht die Variable sowohl in der Basis als auch im Exponenten, wie bei $x^x$, wendest du zuerst auf beiden Seiten $\ln$ an.

Diese **Aufgaben zur Ableitung von Exponential- und Logarithmusfunktionen** beginnen mit den Grundregeln und nutzen dann die Kettenregel, die Logarithmusgesetze und das logarithmische Differenzieren. Versuche jede Aufgabe zuerst selbst. Die Ergebnisse stehen direkt nach der Liste, danach folgen die vollständigen Lösungswege.

Die Regeln, die du brauchst:

| Funktion | Ableitung |
| --- | --- |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $a^x$ | $a^x\ln a$ |
| $\ln x$ | $\dfrac{1}{x}$ |
| $\log_a x$ | $\dfrac{1}{x\ln a}$ |

Mit einer inneren Funktion $u$: $(e^u)' = e^u u'$ und $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$. Die Herleitungen findest du bei der [Ableitung von e^x](/derivatives/e-to-the-x), der [Ableitung von ln x](/derivatives/ln-x) und der [Ableitung von 2^x](/derivatives/2-to-the-x).

## Aufgaben

**Grundregeln**

1. $y = 5e^x - \ln x$
2. $y = 2^x$
3. $y = \log_{10} x$

**Kettenregel**

4. $y = e^{3x}$
5. $y = \ln(x^2 + 1)$
6. $y = 5^{x^2}$

**Zuerst die Logarithmusgesetze anwenden**

7. $y = \ln(5x)$
8. $y = \ln\sqrt{x^2 + 4}$
9. $y = \ln\!\left(\dfrac{x + 1}{x - 1}\right)$

**Mit anderen Regeln**

10. $y = x^2\ln x$
11. $y = \dfrac{e^x}{1 + e^x}$
12. $y = x^x$ für $x > 0$

## Lösungen

| Aufgabe | Ergebnis |
| --- | --- |
| 1 | $5e^x - \dfrac{1}{x}$ |
| 2 | $2^x\ln 2$ |
| 3 | $\dfrac{1}{x\ln 10}$ |
| 4 | $3e^{3x}$ |
| 5 | $\dfrac{2x}{x^2 + 1}$ |
| 6 | $2x\ln 5\cdot 5^{x^2}$ |
| 7 | $\dfrac{1}{x}$ |
| 8 | $\dfrac{x}{x^2 + 4}$ |
| 9 | $-\dfrac{2}{x^2 - 1}$ |
| 10 | $2x\ln x + x$ |
| 11 | $\dfrac{e^x}{(1 + e^x)^2}$ |
| 12 | $x^x(\ln x + 1)$ |

## Lösungswege Schritt für Schritt

**1.** Leite jeden Summanden einzeln ab:

$$y' = 5e^x - \frac{1}{x}$$

**2.** Verwende $(a^x)' = a^x\ln a$ mit $a = 2$:

$$y' = 2^x\ln 2$$

**3.** Verwende $(\log_a x)' = \frac{1}{x\ln a}$ mit $a = 10$, oder schreibe zuerst $\log_{10} x = \frac{\ln x}{\ln 10}$:

$$y' = \frac{1}{x\ln 10}$$

**4.** Die innere Funktion ist $3x$ mit der Ableitung $3$:

$$y' = e^{3x}\cdot 3 = 3e^{3x}$$

**5.** Verwende $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$ mit $u = x^2 + 1$:

$$y' = \frac{2x}{x^2 + 1}$$

**6.** Verwende $(a^u)' = a^u\ln a\cdot u'$ mit $a = 5$ und $u = x^2$:

$$y' = 5^{x^2}\ln 5\cdot 2x = 2x\ln 5\cdot 5^{x^2}$$

**7.** Zerlege den Logarithmus: $\ln(5x) = \ln 5 + \ln x$. Der erste Summand ist eine Konstante:

$$y' = 0 + \frac{1}{x} = \frac{1}{x}$$

Die Kettenregel liefert dasselbe: $\frac{5}{5x} = \frac{1}{x}$.

**8.** Eine Quadratwurzel ist eine Potenz mit Exponent $\frac{1}{2}$, und der Logarithmus holt Exponenten nach vorne:

$$y = \frac{1}{2}\ln(x^2 + 4) \quad\Rightarrow\quad y' = \frac{1}{2}\cdot\frac{2x}{x^2 + 4} = \frac{x}{x^2 + 4}$$

**9.** Zerlege den Quotienten: $y = \ln(x + 1) - \ln(x - 1)$. Dann gilt

$$y' = \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x - 1} = \frac{(x - 1) - (x + 1)}{(x + 1)(x - 1)} = -\frac{2}{x^2 - 1}$$

Das ist viel kürzer als die Quotientenregel innerhalb der Kettenregel.

**10.** Verwende die [Produktregel](/rules/product-rule):

$$y' = 2x\ln x + x^2\cdot\frac{1}{x} = 2x\ln x + x$$

**11.** Verwende die [Quotientenregel](/rules/quotient-rule). Zähler und Nenner haben beide die Ableitung $e^x$:

$$y' = \frac{e^x(1 + e^x) - e^x\cdot e^x}{(1 + e^x)^2} = \frac{e^x + e^{2x} - e^{2x}}{(1 + e^x)^2} = \frac{e^x}{(1 + e^x)^2}$$

**12.** Weder die Potenzregel noch die Regel für Exponentialfunktionen passt, denn $x$ steht an beiden Stellen. Verwende das [logarithmische Differenzieren](/rules/logarithmic-differentiation): Wende auf beiden Seiten $\ln$ an.

$$\ln y = x\ln x$$

Leite beide Seiten ab, rechts mit der Produktregel:

$$\frac{y'}{y} = \ln x + x\cdot\frac{1}{x} = \ln x + 1 \quad\Rightarrow\quad y' = x^x(\ln x + 1)$$

## Typische Fehler bei diesen Aufgaben

- **Die Potenzregel auf $e^x$ oder $2^x$ anwenden.** $(2^x)'$ ist nicht $x\cdot 2^{x-1}$. Die Variable steht im Exponenten, also brauchst du $2^x\ln 2$.
- **$\ln(x^2 + 1)' = \frac{1}{x^2 + 1}$ schreiben.** Dabei fehlt die innere Ableitung $2x$ im Zähler.
- **Einen Logarithmus falsch zerlegen.** $\ln(x + 1) \ne \ln x + \ln 1$. Die Logarithmusgesetze zerlegen Produkte und Quotienten, keine Summen.
- **$x^x$ wie $x\cdot x^{x-1}$ behandeln.** Aufgabe 12 braucht das logarithmische Differenzieren. Mehr dazu bei der [Ableitung von x^x](/derivatives/x-to-the-x).

## Weiter üben

Diese 12 Aufgaben haben feste Zahlen. Für beliebig viele Übungen mit neuen Funktionen und sofortiger Rückmeldung probiere die [Lektion zur Ableitung von Exponential- und Logarithmusfunktionen](/learn/calculus-1/derivative-rules/exponential-and-log-derivatives) und danach die [Lektion zur Kettenregel mit Exponentialfunktionen](/learn/calculus-1/derivative-rules/chain-rule-exponentials). Weitere Rechenbeispiele findest du im [Leitfaden zu Ableitungen von Exponential- und Logarithmusfunktionen](/blog/derivatives-of-exponential-and-logarithmic-functions).

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist die Ableitung von e hoch x?

$\frac{d}{dx}e^x = e^x$. Steht etwas im Exponenten, brauchst du die Kettenregel: $\frac{d}{dx}e^{u} = e^{u}u'$, also $\frac{d}{dx}e^{3x} = 3e^{3x}$.

### Was ist die Ableitung von ln x?

$\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}$ für $x > 0$. Mit einer inneren Funktion gilt $\frac{d}{dx}\ln u = \frac{u'}{u}$. Beachte, dass auch $\ln(5x)$ die Ableitung $\frac{1}{x}$ hat, denn $\ln(5x) = \ln 5 + \ln x$.

### Was ist die Ableitung von a hoch x?

$\frac{d}{dx}a^x = a^x\ln a$ für jede positive Basis $a$. Zum Beispiel ist $\frac{d}{dx}2^x = 2^x\ln 2$. Für $a = e$ ist $\ln e = 1$, und du erhältst wieder $e^x$.