# Ableitung mit der h-Methode: Aufgaben mit Lösungen > 12 Aufgaben zur Ableitung über den Grenzwert des Differenzenquotienten (h-Methode) mit Lösungen und Lösungswegen, von Geraden bis 1/x, √x und Tangenten. Quelle: https://practicecalculus.com/de/uebungsaufgaben/aufgaben-ableitung-mit-h-methode Aktualisiert: 2026-11-06 $$ f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h} $$ ## Auf einen Blick - **Aufgaben:** 12, mit Ergebnissen und vollständigen Lösungen - **Niveau:** Analysis 1 und AP Calculus AB, Einheit 2 - **Du brauchst:** Binome ausmultiplizieren, Brüche gleichnamig machen und [Grenzwerte berechnen](/practice-problems/evaluating-limits) - **Grundidee:** Differenzenquotienten aufstellen, vereinfachen bis sich h kürzt, dann h gegen 0 laufen lassen - **Mit neuen Zahlen üben:** [Lektion zur Grenzwertdefinition](/learn/calculus-1/the-derivative/limit-definition) ## Das Wichtigste - Schreibe $f(x+h)$ sorgfältig auf, indem du jedes $x$ durch $(x+h)$ ersetzt, auch in Wurzeln und Brüchen. - Nach dem Abziehen von $f(x)$ muss jeder Term im Zähler ein $h$ enthalten. Ist das nicht so, steckt ein Rechenfehler drin. - Mache Brüche gleichnamig und erweitere Wurzeln mit dem konjugierten Ausdruck. Beides dient dazu, das $h$ im Nenner wegzukürzen. Diese **Aufgaben zur Ableitung über den Differenzenquotienten** beginnen mit einer Geraden und einer Parabel, gehen dann zu Potenzen, Brüchen und Wurzeln über und enden mit Tangenten und Grenzwerten, in denen du eine Ableitung wiedererkennst. Versuche jede Aufgabe selbst, bevor du die Lösung liest. Die Ergebnisse stehen direkt nach der Liste. Die Definition, die du jedes Mal verwendest: $$f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$ Wenn du nachlesen willst, woher sie kommt, lies den [Leitfaden zur Grenzwertdefinition der Ableitung](/blog/limit-definition-of-the-derivative). ## Aufgaben **Polynome** 1. $f(x) = 5x - 3$ 2. $f(x) = x^2$ 3. $f(x) = 3x^2 - 4x + 1$ 4. $f(x) = x^3$ **Brüche und Wurzeln** 5. $f(x) = \dfrac{1}{x}$ 6. $f(x) = \sqrt{x}$ 7. $f(x) = \dfrac{1}{x + 2}$ 8. $f(x) = \sqrt{2x + 1}$ **An einer Stelle und Tangenten** 9. Bestimme mit der Definition $f'(3)$ für $f(x) = x^2 + 2x$. 10. Bestimme die Tangente an $f(x) = x^2 - 3x$ bei $x = 1$ und berechne die Steigung mit der Definition. **Die Ableitung erkennen** 11. $\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{(2+h)^4 - 16}{h}$ 12. $\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{\sin\!\left(\frac{\pi}{3} + h\right) - \sin\frac{\pi}{3}}{h}$ ## Ergebnisse | Aufgabe | Ergebnis | | --- | --- | | 1 | $5$ | | 2 | $2x$ | | 3 | $6x - 4$ | | 4 | $3x^2$ | | 5 | $-\dfrac{1}{x^2}$ | | 6 | $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ | | 7 | $-\dfrac{1}{(x+2)^2}$ | | 8 | $\dfrac{1}{\sqrt{2x + 1}}$ | | 9 | $8$ | | 10 | $y = -x - 1$ | | 11 | $32$ | | 12 | $\dfrac{1}{2}$ | ## Lösungen Schritt für Schritt **1.** $f(x+h) = 5(x+h) - 3 = 5x + 5h - 3$. Ziehe $f(x)$ ab: $$\frac{(5x + 5h - 3) - (5x - 3)}{h} = \frac{5h}{h} = 5$$ Eine Gerade hat überall dieselbe Steigung, also ist $f'(x) = 5$. **2.** Multipliziere $(x+h)^2 = x^2 + 2xh + h^2$ aus: $$\frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h} = \frac{h(2x + h)}{h} = 2x + h \;\to\; 2x$$ **3.** $f(x+h) = 3(x^2 + 2xh + h^2) - 4x - 4h + 1$. Nach dem Abziehen von $f(x)$ bleiben nur die Terme mit $h$ übrig: $$\frac{6xh + 3h^2 - 4h}{h} = 6x + 3h - 4 \;\to\; 6x - 4$$ **4.** Multipliziere $(x+h)^3 = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3$ aus: $$\frac{3x^2h + 3xh^2 + h^3}{h} = 3x^2 + 3xh + h^2 \;\to\; 3x^2$$ **5.** Bringe die Brüche auf den Hauptnenner $x(x+h)$: $$\frac{\frac{1}{x+h} - \frac{1}{x}}{h} = \frac{x - (x+h)}{h\,x(x+h)} = \frac{-h}{h\,x(x+h)} = -\frac{1}{x(x+h)} \;\to\; -\frac{1}{x^2}$$ **6.** Erweitere Zähler und Nenner mit dem konjugierten Ausdruck $\sqrt{x+h} + \sqrt{x}$: $$\frac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h}\cdot\frac{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}} = \frac{(x + h) - x}{h\left(\sqrt{x+h} + \sqrt{x}\right)} = \frac{1}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}$$ Für $h\to 0$ wird daraus $\frac{1}{2\sqrt{x}}$. **7.** Dieselbe Idee wie in Aufgabe 5, mit dem Hauptnenner $(x + h + 2)(x + 2)$: $$\frac{(x + 2) - (x + h + 2)}{h\,(x + h + 2)(x + 2)} = -\frac{1}{(x + h + 2)(x + 2)} \;\to\; -\frac{1}{(x + 2)^2}$$ **8.** Erweitere mit dem konjugierten Ausdruck. Der Zähler wird zu $(2x + 2h + 1) - (2x + 1) = 2h$: $$\frac{2h}{h\left(\sqrt{2x + 2h + 1} + \sqrt{2x + 1}\right)} \;\to\; \frac{2}{2\sqrt{2x + 1}} = \frac{1}{\sqrt{2x + 1}}$$ **9.** Verwende $f'(3) = \lim_{h\to 0}\frac{f(3+h) - f(3)}{h}$. Hier ist $f(3) = 15$ und $$f(3 + h) = 9 + 6h + h^2 + 6 + 2h = 15 + 8h + h^2$$ $$\frac{8h + h^2}{h} = 8 + h \;\to\; 8$$ **10.** Zuerst die Steigung bei $x = 1$. Es ist $f(1) = -2$ und $f(1 + h) = (1 + h)^2 - 3(1 + h) = -2 - h + h^2$: $$f'(1) = \lim_{h\to 0}\frac{-h + h^2}{h} = \lim_{h\to 0}(-1 + h) = -1$$ Die Tangente geht durch $(1, -2)$ und hat die Steigung $-1$: $$y + 2 = -(x - 1) \quad\Rightarrow\quad y = -x - 1$$ **11.** Das passt zu $\frac{f(a + h) - f(a)}{h}$ mit $f(x) = x^4$ und $a = 2$, denn $2^4 = 16$. Der Grenzwert ist also $f'(2)$, und mit der [Potenzregel](/rules/power-rule) liefert $f'(x) = 4x^3$ den Wert $f'(2) = 32$. **12.** Das passt zu $f(x) = \sin x$ an der Stelle $a = \frac{\pi}{3}$. Die Ableitung von $\sin x$ ist $\cos x$, also ist der Grenzwert $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$. ## Typische Fehler bei diesen Aufgaben - **$f(x+h)$ als $f(x) + h$ schreiben.** In Aufgabe 2 ist $(x+h)^2$ gleich $x^2 + 2xh + h^2$, nicht $x^2 + h$. - **Beim Abziehen ein Vorzeichen verlieren.** Setze $f(x)$ in Klammern, bevor du abziehst, besonders in Aufgabe 3, wo es drei Terme hat. - **$h\to 0$ zu früh laufen lassen.** Setzt du $h = 0$ vor dem Kürzen ein, erhältst du $\frac{0}{0}$. Kürze zuerst das $h$. - **Den Nenner nach dem Erweitern ausmultiplizieren.** Lass in den Aufgaben 6 und 8 den Nenner als Produkt stehen. Nur der Zähler muss sich vereinfachen. ## Weiter üben Diese 12 Aufgaben haben feste Zahlen. Für unbegrenztes Üben mit immer neuen Funktionen und sofortigem Feedback probiere die [Lektion zur Grenzwertdefinition](/learn/calculus-1/the-derivative/limit-definition) und die [Lektion zu Tangenten](/learn/calculus-1/the-derivative/tangent-lines). Sitzt die Definition, ist die Abkürzung die Potenzregel: Übe sie mit den [Aufgaben zur Potenzregel](/practice-problems/power-rule). ## Häufig gestellte Fragen ### Wie lautet die Definition der Ableitung über den Grenzwert? Sie lautet $f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$, der Grenzwert der Sekantensteigungen, wenn der zweite Punkt auf den ersten zuläuft. Existiert der Grenzwert, ist er die Steigung der Tangente an der Stelle $x$. ### Warum erhält man bei der h-Methode zunächst 0/0? Weil der Zähler $f(x+h) - f(x)$ und der Nenner $h$ beide gegen $0$ gehen. Bei einer stetigen Funktion ist das immer so, deshalb musst du erst vereinfachen und den Faktor $h$ kürzen, bevor du $h\to 0$ laufen lässt. ### Wie erkennt man eine Ableitung, die als Grenzwert geschrieben ist? Vergleiche mit $\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h) - f(a)}{h}$. In Aufgabe 11 passt $\frac{(2+h)^4 - 16}{h}$ zu diesem Muster mit $f(x) = x^4$ und $a = 2$, also ist der Grenzwert $f'(2) = 32$.