# Aufgaben: Trigonometrische Funktionen ableiten mit Lösungen

> 12 Aufgaben zur Ableitung trigonometrischer Funktionen mit Lösungen und Lösungsweg: sin, cos, tan, sec, csc, cot mit Produkt-, Quotienten- und Kettenregel.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/uebungsaufgaben/aufgaben-ableitung-trigonometrische-funktionen
Aktualisiert: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\sin x = \cos x, \quad \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x, \quad \frac{d}{dx}\tan x = \sec^2 x $$

## Auf einen Blick

- **Aufgaben:** 12, mit Lösungen und vollständigem Lösungsweg
- **Niveau:** Calculus 1 und AP Calculus AB, Unit 2 und Unit 3
- **Du brauchst:** Die sechs trigonometrischen Ableitungen sowie die [Produkt- und Quotientenregel](/practice-problems/product-and-quotient-rules)
- **Grundidee:** Lerne die sechs Grundableitungen und kombiniere sie dann mit den anderen Regeln
- **Mit neuen Zahlen üben:** [Lektion zu trigonometrischen Ableitungen](/learn/calculus-1/derivative-rules/trig-derivatives)

## Das Wichtigste

- Die Ableitungen der „Ko“-Funktionen $\cos x$, $\csc x$ und $\cot x$ beginnen alle mit einem Minuszeichen.
- Merkpaare: $\tan x \to \sec^2 x$, $\sec x \to \sec x\tan x$, $\cot x \to -\csc^2 x$, $\csc x \to -\csc x\cot x$.
- Achte nach der Quotientenregel auf $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Damit vereinfacht sich das Ergebnis oft stark, wie in Aufgabe 6.

Diese **Aufgaben zur Ableitung trigonometrischer Funktionen** beginnen mit den sechs Grundableitungen, nehmen dann die Produkt- und Quotientenregel und die Kettenregel dazu und enden mit einer zweiten Ableitung und einer Tangente. Versuche jede Aufgabe zuerst selbst. Die Ergebnisse stehen direkt nach der Liste, danach folgen die vollständigen Lösungswege.

Die sechs Ableitungen, die du brauchst:

| Funktion | Ableitung |
| --- | --- |
| $\sin x$ | $\cos x$ |
| $\cos x$ | $-\sin x$ |
| $\tan x$ | $\sec^2 x$ |
| $\cot x$ | $-\csc^2 x$ |
| $\sec x$ | $\sec x\tan x$ |
| $\csc x$ | $-\csc x\cot x$ |

Jede hat eine eigene Seite mit Herleitung, zum Beispiel die [Ableitung von tan x](/derivatives/tan-x) und die [Ableitung von sec x](/derivatives/sec-x). Den Gesamtüberblick bietet der [Leitfaden zu trigonometrischen Ableitungen](/blog/derivatives-of-trig-functions).

## Aufgaben

**Grundableitungen**

1. $y = 3\sin x - 2\cos x$
2. $y = \tan x + \sec x$
3. $y = 4\csc x - \cot x$

**Produkt- und Quotientenregel**

4. $y = x^2\cos x$
5. $y = \sin x\cos x$
6. $y = \dfrac{\sin x}{1 + \cos x}$

**Kettenregel**

7. $y = \sin(5x)$
8. $y = \cos(x^2)$
9. $y = \tan^3 x$
10. $y = \sec(3x)$

**Zweite Ableitungen und Tangenten**

11. Bestimme $y''$ für $y = \sin(2x)$.
12. Bestimme die Tangente an $y = \tan x$ an der Stelle $x = \frac{\pi}{4}$.

## Lösungen

| Aufgabe | Ergebnis |
| --- | --- |
| 1 | $3\cos x + 2\sin x$ |
| 2 | $\sec^2 x + \sec x\tan x$ |
| 3 | $-4\csc x\cot x + \csc^2 x$ |
| 4 | $2x\cos x - x^2\sin x$ |
| 5 | $\cos^2 x - \sin^2 x = \cos(2x)$ |
| 6 | $\dfrac{1}{1 + \cos x}$ |
| 7 | $5\cos(5x)$ |
| 8 | $-2x\sin(x^2)$ |
| 9 | $3\tan^2 x\sec^2 x$ |
| 10 | $3\sec(3x)\tan(3x)$ |
| 11 | $-4\sin(2x)$ |
| 12 | $y = 2x + 1 - \dfrac{\pi}{2}$ |

## Lösungswege Schritt für Schritt

**1.** Leite jeden Summanden einzeln ab. Das Minus aus $(\cos x)' = -\sin x$ trifft auf die $-2$:

$$y' = 3\cos x - 2(-\sin x) = 3\cos x + 2\sin x$$

**2.** Nimm die beiden Ableitungen direkt aus der Tabelle:

$$y' = \sec^2 x + \sec x\tan x$$

**3.** Sowohl $\csc x$ als auch $\cot x$ haben negative Ableitungen:

$$y' = 4(-\csc x\cot x) - (-\csc^2 x) = -4\csc x\cot x + \csc^2 x$$

**4.** Verwende die [Produktregel](/rules/product-rule) mit $f = x^2$ und $g = \cos x$:

$$y' = 2x\cos x + x^2(-\sin x) = 2x\cos x - x^2\sin x$$

**5.** Wieder die Produktregel:

$$y' = \cos x\cdot\cos x + \sin x\cdot(-\sin x) = \cos^2 x - \sin^2 x$$

Nach der Doppelwinkelformel ist das gleich $\cos(2x)$. Du kannst es auch anders prüfen: $\sin x\cos x = \frac{1}{2}\sin(2x)$, und dessen Ableitung ist $\cos(2x)$.

**6.** Verwende die [Quotientenregel](/rules/quotient-rule). Die Ableitung des Nenners ist $-\sin x$:

$$y' = \frac{\cos x(1 + \cos x) - \sin x(-\sin x)}{(1 + \cos x)^2} = \frac{\cos x + \cos^2 x + \sin^2 x}{(1 + \cos x)^2}$$

Wegen $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ ist der Zähler $1 + \cos x$, und ein Faktor kürzt sich:

$$y' = \frac{1 + \cos x}{(1 + \cos x)^2} = \frac{1}{1 + \cos x}$$

**7.** Die innere Funktion ist $5x$ mit der Ableitung $5$:

$$y' = \cos(5x)\cdot 5 = 5\cos(5x)$$

**8.** Die innere Funktion ist $x^2$ mit der Ableitung $2x$:

$$y' = -\sin(x^2)\cdot 2x = -2x\sin(x^2)$$

**9.** Schreibe $y = (\tan x)^3$. Die äußere Funktion ist eine dritte Potenz, die innere ist $\tan x$:

$$y' = 3(\tan x)^2\cdot\sec^2 x = 3\tan^2 x\sec^2 x$$

**10.** Die äußere Funktion ist $\sec u$ mit der Ableitung $\sec u\tan u$, und $u = 3x$:

$$y' = \sec(3x)\tan(3x)\cdot 3 = 3\sec(3x)\tan(3x)$$

**11.** Leite zweimal ab und verwende jedes Mal die Kettenregel:

$$y' = 2\cos(2x), \qquad y'' = 2\cdot(-\sin(2x))\cdot 2 = -4\sin(2x)$$

**12.** Der Punkt ist $\tan\frac{\pi}{4} = 1$. Die Steigung ist $\sec^2\frac{\pi}{4} = \left(\sqrt{2}\right)^2 = 2$:

$$y - 1 = 2\left(x - \frac{\pi}{4}\right) \quad\Rightarrow\quad y = 2x + 1 - \frac{\pi}{2}$$

## Typische Fehler bei diesen Aufgaben

- **Das Minuszeichen vergessen.** Die Ableitungen von $\cos x$, $\cot x$ und $\csc x$ sind alle negativ. Aufgabe 3 enthält gleich zwei davon.
- **$\sec^2 x$ als $\sec(x^2)$ lesen.** $\sec^2 x$ bedeutet $(\sec x)^2$. Das sind völlig verschiedene Funktionen.
- **Die innere Ableitung vergessen.** $\sin(5x)$ hat die Ableitung $5\cos(5x)$, nicht $\cos(5x)$.
- **Im Gradmaß rechnen.** In Aufgabe 12 ist der Winkel $\frac{\pi}{4}$ im Bogenmaß. Mit $45$ in der Tangentengleichung wäre das Ergebnis falsch.

## Weiter üben

Diese 12 Aufgaben haben feste Zahlen. Für beliebig viele Übungen mit neuen Funktionen und sofortiger Rückmeldung probiere die [Lektion zu trigonometrischen Ableitungen](/learn/calculus-1/derivative-rules/trig-derivatives) und danach die [Lektion zur Kettenregel mit trigonometrischen Funktionen](/learn/calculus-1/derivative-rules/chain-rule-trig). Für die Umkehrfunktionen wie $\arcsin x$ und $\arctan x$ geht es weiter mit den [Aufgaben zur Ableitung der Arkusfunktionen](/practice-problems/inverse-trig-derivatives).

## Häufig gestellte Fragen

### Wie lauten die Ableitungen der sechs trigonometrischen Funktionen?

$(\sin x)' = \cos x$, $(\cos x)' = -\sin x$, $(\tan x)' = \sec^2 x$, $(\cot x)' = -\csc^2 x$, $(\sec x)' = \sec x\tan x$ und $(\csc x)' = -\csc x\cot x$. Alle gelten im Bogenmaß.

### Warum ist die Ableitung von sin x gleich cos x?

Nach der Definition über den Differenzenquotienten zerfällt $\frac{\sin(x+h) - \sin x}{h}$ mit dem Additionstheorem in $\sin x\cdot\frac{\cos h - 1}{h} + \cos x\cdot\frac{\sin h}{h}$. Für $h\to 0$ ist der erste Grenzwert $0$ und der zweite $1$, übrig bleibt $\cos x$.

### Gelten die trigonometrischen Ableitungen auch im Gradmaß?

Nicht in dieser Form. Die Regel $(\sin x)' = \cos x$ setzt $x$ im Bogenmaß voraus. Im Gradmaß kommt ein zusätzlicher Faktor $\frac{\pi}{180}$ hinzu, deshalb rechnet man in der Analysis immer im Bogenmaß.