# Aufgaben zu Differentialgleichungen mit Lösungen und Lösungsweg > 12 Aufgaben zu Differentialgleichungen mit Lösungen: Trennung der Variablen, Wachstum und Zerfall, Abkühlung, logistisches Wachstum und Euler-Verfahren. Quelle: https://practicecalculus.com/de/uebungsaufgaben/aufgaben-differentialgleichungen Aktualisiert: 2026-11-06 $$ \frac{dy}{dx} = g(x)\,h(y) \;\Rightarrow\; \int\frac{dy}{h(y)} = \int g(x)\,dx $$ ## Auf einen Blick - **Aufgaben:** 12, mit Lösungen und vollständigem Lösungsweg - **Niveau:** Calculus 2 und AP Calculus, Unit 7 - **Du brauchst:** [Stammfunktionen](/practice-problems/antiderivatives), Logarithmen und Exponentialfunktionen - **Grundidee:** Trenne die Variablen, integriere beide Seiten und bestimme $C$ mit der Anfangsbedingung - **Mit neuen Zahlen üben:** [Lektion zur Trennung der Variablen](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/separable-equations) ## Das Wichtigste - Trennen: Bring jedes $y$ auf die Seite mit $dy$ und jedes $x$ auf die Seite mit $dx$, dann integriere beide Seiten. - Füge die Konstante direkt nach dem Integrieren hinzu, bevor du nach $y$ auflöst. - Die Gleichung $\frac{dy}{dt} = ky$ liefert immer $y = y_0e^{kt}$. Lerne, sie in Textaufgaben zu erkennen. Diese **Aufgaben zu Differentialgleichungen** behandeln die Trennung der Variablen, exponentielles Wachstum und exponentiellen Zerfall, das newtonsche Abkühlungsgesetz, logistisches Wachstum, Gleichgewichtslösungen und das Euler-Verfahren. Versuche jede Aufgabe zuerst selbst. Die Ergebnisse stehen zuerst, danach folgen die vollständigen Lösungswege. Das Verfahren bei getrennten Variablen: $$\frac{dy}{dx} = g(x)\,h(y) \quad\Rightarrow\quad \int\frac{1}{h(y)}\,dy = \int g(x)\,dx$$ Trennen, beide Seiten integrieren, $C$ hinzufügen und nach $y$ auflösen. ## Aufgaben **Trennung der Variablen** 1. $\dfrac{dy}{dx} = 6x^2$, $y(0) = 2$ 2. $\dfrac{dy}{dx} = 2xy$, $y(0) = 5$ 3. $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x}{y}$, $y(0) = 3$ 4. $\dfrac{dy}{dx} = y^2$, $y(0) = 1$ 5. $\dfrac{dy}{dx} = y\cos x$, $y(0) = 2$ **Wachstum und Zerfall** 6. $\dfrac{dy}{dt} = -0.2y$, $y(0) = 100$. Bestimme $y(5)$. 7. Eine Probe von 80 g hat eine Halbwertszeit von 10 Jahren. Wie viel ist nach 25 Jahren noch übrig? 8. Eine Bakterienkultur beginnt mit 500 und verdoppelt sich alle 3 Stunden. Wann erreicht sie 8000? 9. Kaffee mit $90^\circ$C kühlt in einem Raum mit $20^\circ$C nach $\frac{dT}{dt} = -k(T - 20)$ ab. Nach 10 Minuten hat er $60^\circ$C. Wann erreicht er $30^\circ$C? **Qualitativ und numerisch** 10. Bestimme für $\dfrac{dP}{dt} = 0.4P\left(1 - \dfrac{P}{1000}\right)$ die Kapazitätsgrenze und die Populationsgröße, bei der das Wachstum am schnellsten ist. 11. Bestimme die Gleichgewichtslösungen von $\dfrac{dy}{dx} = y(y - 3)$ und gib jeweils an, ob sie stabil sind. 12. Schätze $y(0.2)$ für $\dfrac{dy}{dx} = x + y$, $y(0) = 1$ mit dem Euler-Verfahren mit $h = 0.1$ und zwei Schritten. ## Lösungen | Aufgabe | Ergebnis | | --- | --- | | 1 | $y = 2x^3 + 2$ | | 2 | $y = 5e^{x^2}$ | | 3 | $y = \sqrt{x^2 + 9}$ | | 4 | $y = \dfrac{1}{1 - x}$ | | 5 | $y = 2e^{\sin x}$ | | 6 | $y(5) = 100e^{-1} \approx 36.8$ | | 7 | $80\left(\frac{1}{2}\right)^{2.5} \approx 14.1$ g | | 8 | $12$ Stunden | | 9 | $t = \dfrac{10\ln 7}{\ln(7/4)} \approx 34.8$ Minuten | | 10 | Kapazitätsgrenze $1000$; am schnellsten bei $P = 500$ | | 11 | $y = 0$ stabil, $y = 3$ instabil | | 12 | $y(0.2) \approx 1.22$ | ## Lösungswege Schritt für Schritt **1.** Trennen ist nicht nötig. Integriere: $y = 2x^3 + C$. Wegen $y(0) = 2$ ist $C = 2$. **2.** Trenne: $\frac{dy}{y} = 2x\,dx$. Integriere: $\ln|y| = x^2 + C$. Exponenziere: $y = Ae^{x^2}$. Wegen $y(0) = 5$ ist $A = 5$: $$y = 5e^{x^2}$$ **3.** Trenne: $y\,dy = x\,dx$. Integriere: $\frac{y^2}{2} = \frac{x^2}{2} + C$, also $y^2 = x^2 + C'$. Mit $y(0) = 3$ ist $C' = 9$. Nimm die positive Wurzel, weil $y(0) > 0$: $$y = \sqrt{x^2 + 9}$$ **4.** Trenne: $y^{-2}\,dy = dx$. Integriere: $-\frac{1}{y} = x + C$. Mit $y(0) = 1$ ist $C = -1$, also $-\frac{1}{y} = x - 1$: $$y = \frac{1}{1 - x}$$ Die Lösung wächst bei $x = 1$ über alle Grenzen, obwohl die Gleichung harmlos aussieht. **5.** Trenne: $\frac{dy}{y} = \cos x\,dx$. Integriere: $\ln|y| = \sin x + C$, also $y = Ae^{\sin x}$, und $y(0) = 2$ liefert $A = 2$. **6.** Das ist $\frac{dy}{dt} = ky$ mit $k = -0.2$, also $y = 100e^{-0.2t}$: $$y(5) = 100e^{-1} \approx 36.8$$ **7.** 25 Jahre sind $2.5$ Halbwertszeiten: $$80\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2.5} \approx 80(0.1768) \approx 14.1 \text{ g}$$ **8.** $8000 = 500\cdot 16 = 500\cdot 2^4$. Das sind 4 Verdopplungen zu je 3 Stunden, also 12 Stunden. **9.** Setze $D = T - 20$. Dann gilt $\frac{dD}{dt} = -kD$, also $T = 20 + 70e^{-kt}$. Bei $t = 10$: $40 = 70e^{-10k}$, also $k = \frac{\ln(7/4)}{10} \approx 0.056$. Für $T = 30$: $10 = 70e^{-kt}$, also $e^{-kt} = \frac{1}{7}$ und: $$t = \frac{\ln 7}{k} = \frac{10\ln 7}{\ln(7/4)} \approx 34.8 \text{ Minuten}$$ **10.** Die Gleichung hat die Form $kP\left(1 - \frac{P}{L}\right)$ mit $L = 1000$. Die rechte Seite ist in $P$ eine nach unten geöffnete Parabel mit den Nullstellen $0$ und $1000$, also ist sie am Scheitelpunkt $P = 500$ am größten. **11.** Setze $y(y - 3) = 0$: $y = 0$ und $y = 3$. Dazwischen ist $y(y - 3) < 0$, die Lösungen fallen also in Richtung $0$. Oberhalb von $3$ ist $y(y - 3) > 0$, die Lösungen steigen also von $3$ weg. Unterhalb von $0$ ist die Steigung positiv, die Lösungen steigen also in Richtung $0$. Damit ist $0$ stabil und $3$ instabil. **12.** Verwende $y_{n+1} = y_n + h\cdot f(x_n, y_n)$: - Schritt 1: $y_1 = 1 + 0.1(0 + 1) = 1.1$ - Schritt 2: $y_2 = 1.1 + 0.1(0.1 + 1.1) = 1.22$ Die exakte Lösung ist $y = 2e^x - x - 1$, also $y(0.2) \approx 1.2428$. Das Euler-Verfahren unterschätzt hier, weil die Lösungskurven linksgekrümmt sind. ## Typische Fehler bei diesen Aufgaben - **$C$ zu spät hinzufügen.** In Aufgabe 2 ist $y = e^{x^2} + C$ falsch. Füge $C$ direkt nach dem Integrieren hinzu. - **Nicht vollständig trennen.** $\frac{dy}{dx} = x + y$ lässt sich nicht trennen. Deshalb nutzt Aufgabe 12 das Euler-Verfahren. - **Die Zeiteinheiten aus dem Blick verlieren.** Teile in Aufgabe 7 die 25 Jahre durch die Halbwertszeit von 10 Jahren, bevor du die Formel anwendest. - **$T$ statt $T - 20$ verwenden.** Bei Abkühlungsaufgaben beschreibt die Exponentialfunktion den Unterschied zur Raumtemperatur. ## Weiter üben Für beliebig viele Aufgaben mit sofortiger Rückmeldung probiere die [Lektion zur Trennung der Variablen](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/separable-equations), die [Lektion zu Wachstum und Zerfall](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/growth-and-decay), die [Lektion zum logistischen Wachstum](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/logistic-growth) und die [Lektion zum Euler-Verfahren](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/eulers-method). Was dir ein Richtungsfeld schon vor dem Lösen verrät, zeigt die [Lektion zu Richtungsfeldern](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/slope-fields). ## Häufig gestellte Fragen ### Was ist eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen? Eine, die sich als $\frac{dy}{dx} = g(x)h(y)$ schreiben lässt, also als Funktion von $x$ mal Funktion von $y$. Dann kannst du durch $h(y)$ teilen und jede Seite für sich integrieren. ### Warum fügt man C vor dem Auflösen nach y hinzu? Weil die Konstante zusammen mit allem anderen umgeformt wird. In Aufgabe 2 wird $\ln|y| = x^2 + C$ zu $y = Ae^{x^2}$ mit $A = \pm e^{C}$. Würdest du $C$ erst am Ende addieren, erhieltest du $e^{x^2} + C$, eine andere und falsche Funktion. ### Was bedeutet die Kapazitätsgrenze beim logistischen Wachstum? Sie ist die Populationsgröße, die die Umgebung tragen kann. Bei $\frac{dP}{dt} = kP\left(1 - \frac{P}{L}\right)$ nähert sich die Population $L$ an und wächst am schnellsten bei $P = \frac{L}{2}$.