# Aufgaben zu Doppelintegralen mit Lösungen und Lösungsweg > 12 Aufgaben zu Doppelintegralen mit Lösungen: iterierte Integrale, allgemeine Bereiche, Vertauschen der Reihenfolge, Polarkoordinaten, Volumen und Mittelwert. Quelle: https://practicecalculus.com/de/uebungsaufgaben/aufgaben-doppelintegrale Aktualisiert: 2026-11-06 $$ \iint_R f(x, y)\,dA = \int_a^b\!\int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x, y)\,dy\,dx $$ ## Auf einen Blick - **Aufgaben:** 12, mit Lösungen und vollständigem Lösungsweg - **Niveau:** Calculus 3 - **Du brauchst:** [Bestimmte Integrale](/practice-problems/definite-integrals) und die [Substitutionsregel](/practice-problems/u-substitution) - **Grundidee:** Integriere zuerst nach der inneren Variablen, behandle die äußere dabei als Konstante, und integriere dann noch einmal - **Mit neuen Zahlen üben:** [Lektion zu iterierten Integralen](/learn/calculus-3/multiple-integrals/iterated-integrals) ## Das Wichtigste - Arbeite von innen nach außen. Die inneren Grenzen dürfen von der äußeren Variablen abhängen, die äußeren Grenzen müssen aber Zahlen sein. - Hat das innere Integral keine elementare Stammfunktion, skizziere den Bereich und vertausche die Reihenfolge. - Bei Kreisscheiben und Kreisen wechselst du zu Polarkoordinaten und denkst an $dA = r\,dr\,d\theta$. Diese **Aufgaben zu Doppelintegralen** beginnen mit Rechtecken und gehen dann zu allgemeinen Bereichen, zum Vertauschen der Integrationsreihenfolge, zu Polarkoordinaten, Volumen und Mittelwert über. Versuche jede Aufgabe zuerst selbst. Die Ergebnisse stehen zuerst, danach folgen die vollständigen Lösungswege. Der Ansatz für einen Bereich zwischen zwei Kurven: $$\iint_R f(x, y)\,dA = \int_a^b\left(\int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x, y)\,dy\right)dx$$ Berechne zuerst das innere Integral und behandle $x$ dabei als Konstante. Mehr zu Bereichen und Reihenfolge findest du im [Leitfaden zu Doppelintegralen](/blog/double-integrals). ## Aufgaben **Rechtecke** 1. $\displaystyle\int_0^2\!\int_0^1(x + y)\,dy\,dx$ 2. $\displaystyle\iint_R 6xy^2\,dA$, $R = [0, 2]\times[0, 1]$ 3. $\displaystyle\int_0^{\pi}\!\int_0^1 y\sin x\,dy\,dx$ **Allgemeine Bereiche** 4. $\displaystyle\int_0^1\!\int_0^x xy\,dy\,dx$ 5. $\displaystyle\iint_R x\,dA$, wobei $R$ zwischen $y = x^2$ und $y = x$ liegt 6. Bestimme die Fläche zwischen $y = x^2$ und $y = 4$ mit einem Doppelintegral. **Reihenfolge vertauschen** 7. $\displaystyle\int_0^1\!\int_y^1 e^{x^2}\,dx\,dy$ 8. $\displaystyle\int_0^1\!\int_x^1\sin(y^2)\,dy\,dx$ **Polarkoordinaten** 9. $\displaystyle\iint_D(x^2 + y^2)\,dA$, $D$ die Einheitskreisscheibe 10. $\displaystyle\iint_D e^{-(x^2 + y^2)}\,dA$, $D$ die Kreisscheibe $x^2 + y^2 \le 4$ 11. Bestimme das Volumen unter $z = 4 - x^2 - y^2$ und über der $xy$-Ebene. **Mittelwert** 12. Bestimme den Mittelwert von $f(x, y) = xy$ auf dem Quadrat $[0, 2]\times[0, 2]$. ## Lösungen | Aufgabe | Ergebnis | | --- | --- | | 1 | $3$ | | 2 | $4$ | | 3 | $1$ | | 4 | $\frac{1}{8}$ | | 5 | $\frac{1}{12}$ | | 6 | $\frac{32}{3}$ | | 7 | $\frac{e - 1}{2} \approx 0.859$ | | 8 | $\frac{1 - \cos 1}{2} \approx 0.230$ | | 9 | $\frac{\pi}{2}$ | | 10 | $\pi\left(1 - e^{-4}\right) \approx 3.084$ | | 11 | $8\pi$ | | 12 | $1$ | ## Lösungswege Schritt für Schritt **1.** Innen: $\int_0^1(x + y)\,dy = x + \frac{1}{2}$. Außen: $$\int_0^2\left(x + \frac{1}{2}\right)dx = 2 + 1 = 3$$ **2.** Auf einem Rechteck zerfällt ein Produkt $g(x)h(y)$ in zwei einfache Integrale: $$\int_0^2 6x\,dx\cdot\int_0^1 y^2\,dy = 12\cdot\frac{1}{3} = 4$$ **3.** Wieder aufteilen: $\int_0^{\pi}\sin x\,dx\cdot\int_0^1 y\,dy = 2\cdot\frac{1}{2} = 1$. **4.** Innen: $\int_0^x xy\,dy = x\cdot\frac{x^2}{2} = \frac{x^3}{2}$. Außen: $\int_0^1\frac{x^3}{2}\,dx = \frac{1}{8}$. **5.** Die Kurven schneiden sich bei $x = 0$ und $x = 1$, oben liegt $y = x$: $$\int_0^1\!\int_{x^2}^{x}x\,dy\,dx = \int_0^1 x(x - x^2)\,dx = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$$ **6.** Mit $f = 1$ ist das Doppelintegral der Flächeninhalt: $$\int_{-2}^{2}\!\int_{x^2}^{4}1\,dy\,dx = \int_{-2}^{2}(4 - x^2)\,dx = \frac{32}{3}$$ **7.** $e^{x^2}$ hat keine elementare Stammfunktion, also vertauschst du. Der Bereich ist $0 \le y \le x \le 1$, ein Dreieck. In der anderen Reihenfolge läuft $x$ von $0$ bis $1$ und $y$ von $0$ bis $x$: $$\int_0^1\!\int_0^x e^{x^2}\,dy\,dx = \int_0^1 x\,e^{x^2}\,dx = \frac{e - 1}{2}$$ **8.** Der Bereich ist $0 \le x \le y \le 1$. Vertausche so, dass $y$ außen steht: $$\int_0^1\!\int_0^y\sin(y^2)\,dx\,dy = \int_0^1 y\sin(y^2)\,dy = \left[-\frac{\cos(y^2)}{2}\right]_0^1 = \frac{1 - \cos 1}{2}$$ **9.** In Polarkoordinaten gilt $x^2 + y^2 = r^2$ und $dA = r\,dr\,d\theta$: $$\int_0^{2\pi}\!\int_0^1 r^2\cdot r\,dr\,d\theta = 2\pi\cdot\frac{1}{4} = \frac{\pi}{2}$$ **10.** Mit $u = r^2$: $$\int_0^{2\pi}\!\int_0^2 e^{-r^2}r\,dr\,d\theta = 2\pi\cdot\frac{1}{2}\left(1 - e^{-4}\right) = \pi\left(1 - e^{-4}\right)$$ **11.** Die Fläche schneidet die Ebene bei $r = 2$. In Polarkoordinaten: $$\int_0^{2\pi}\!\int_0^2(4 - r^2)\,r\,dr\,d\theta = 2\pi\left[2r^2 - \frac{r^4}{4}\right]_0^2 = 2\pi(8 - 4) = 8\pi$$ **12.** $\iint xy\,dA = \int_0^2 x\,dx\cdot\int_0^2 y\,dy = 2\cdot 2 = 4$. Das Quadrat hat den Flächeninhalt $4$, der Mittelwert ist also $\frac{4}{4} = 1$. ## Typische Fehler bei diesen Aufgaben - **Äußere Grenzen mit Variablen.** Nach beiden Integrationen muss eine Zahl herauskommen. Bleibt ein $x$ übrig, stehen die Grenzen in der falschen Reihenfolge. - **Reihenfolge vertauschen, ohne neu zu zeichnen.** In Aufgabe 7 ist es falsch, nur die Integralzeichen zu tauschen und die Grenzen zu behalten. Skizziere den Bereich und lies die neuen Grenzen daraus ab. - **Das $r$ in Polarkoordinaten vergessen.** Aufgabe 9 ohne das zusätzliche $r$ liefert $\frac{2\pi}{3}$ statt $\frac{\pi}{2}$. - **Die äußere Variable als veränderlich behandeln.** Im inneren Integral von Aufgabe 4 ist $x$ eine Konstante, also gilt $\int_0^x xy\,dy = \frac{x^3}{2}$. ## Weiter üben Für beliebig viele Aufgaben mit sofortiger Rückmeldung probiere die [Lektion zu iterierten Integralen](/learn/calculus-3/multiple-integrals/iterated-integrals), die [Lektion zum Vertauschen der Reihenfolge](/learn/calculus-3/multiple-integrals/switching-the-order), die [Lektion zu allgemeinen Bereichen](/learn/calculus-3/multiple-integrals/general-regions) und die [Lektion zu Doppelintegralen in Polarkoordinaten](/learn/calculus-3/multiple-integrals/polar-double-integrals). ## Häufig gestellte Fragen ### Woran erkennt man, in welcher Reihenfolge man integriert? Bei einem Rechteck mit gutmütigen Funktionen funktionieren beide Reihenfolgen. Bei anderen Bereichen wählst du die Reihenfolge mit den einfacheren Grenzen oder die, bei der sich das innere Integral überhaupt berechnen lässt. Die Aufgaben 7 und 8 lassen sich erst nach dem Vertauschen lösen. ### Warum steht bei Doppelintegralen in Polarkoordinaten ein zusätzliches r? Ein kleiner Polarbereich ist fast ein Rechteck mit den Seiten $dr$ und $r\,d\theta$, seine Fläche ist also $r\,dr\,d\theta$. Das $r$ wegzulassen ist der häufigste Fehler in Polarkoordinaten. ### Was stellt ein Doppelintegral dar? Für $f \ge 0$ ist es das Volumen unter der Fläche $z = f(x, y)$ über dem Bereich. Mit $f = 1$ ist es der Flächeninhalt des Bereichs. Geteilt durch den Flächeninhalt ist es der Mittelwert von $f$.