# Extremwertaufgaben (Optimierung) mit Lösungen > 10 Extremwertaufgaben mit Ergebnissen und vollständigen Lösungen: Zäune, Schachteln, Dosen, kürzeste Abstände, Erlös und der schnellste Weg. Quelle: https://practicecalculus.com/de/uebungsaufgaben/aufgaben-extremwertaufgaben Aktualisiert: 2026-11-06 $$ f'(x) = 0 \;\text{ oder nicht definiert} \;\Rightarrow\; \text{kritische Punkte und Randwerte prüfen} $$ ## Auf einen Blick - **Aufgaben:** 10 Textaufgaben, mit Ergebnissen und vollständigen Lösungen - **Niveau:** Analysis 1 und AP Calculus AB, Einheit 5 - **Du brauchst:** Kritische Punkte, das hinreichende Kriterium mit der zweiten Ableitung und einfache Flächen- und Volumenformeln - **Grundidee:** Die zu optimierende Größe als Funktion einer Variablen schreiben, die Ableitung gleich 0 setzen und dann Maximum oder Minimum bestätigen - **Mit neuen Zahlen üben:** [Lektion zur Optimierung](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/optimization) ## Das Wichtigste - Schreibe die gesuchte Größe mithilfe der Nebenbedingung als Funktion einer einzigen Variablen, bevor du ableitest. - Gib immer den Definitionsbereich an. Auf einem abgeschlossenen Intervall vergleichst du die kritischen Punkte mit den Randwerten. - Bestätige mit der zweiten Ableitung oder einer Vorzeichentabelle, dass ein Maximum oder Minimum vorliegt, und beantworte dann die gestellte Frage. Bei diesen **Extremwertaufgaben** suchst du den größten oder kleinsten Wert einer echten Größe: einer Fläche, eines Volumens, eines Abstands, von Kosten oder einer Zeit. Stelle jede Aufgabe selbst auf, bevor du nachschaust. Die Ergebnisse stehen direkt nach der Liste, danach folgen die vollständigen Lösungen. Jede Aufgabe folgt denselben Schritten: 1. Zeichne eine Skizze und benenne die Variablen. 2. Stelle die zu optimierende Größe auf (die Zielfunktion). 3. Schreibe sie mithilfe der Nebenbedingung als Funktion einer Variablen und bestimme den Definitionsbereich. 4. Setze die Ableitung gleich $0$ und löse. 5. Bestätige, dass ein Maximum oder Minimum vorliegt, und beantworte die Frage mit Einheiten. Mehr zur Methode liest du im [Leitfaden zu Extremwertaufgaben](/blog/optimization-problems). ## Aufgaben **Zahlen** 1. Zwei positive Zahlen haben die Summe $20$. Wie groß kann ihr Produkt höchstens sein? 2. Zwei positive Zahlen haben das Produkt $16$. Wie klein kann ihre Summe höchstens sein? **Zäune und Schachteln** 3. **Zaun am Fluss.** Ein Landwirt hat $240$ m Zaun, um an einem geraden Fluss ein rechteckiges Gehege abzugrenzen. Entlang des Flusses braucht er keinen Zaun. Welche Maße liefern die größte Fläche? 4. **Offene Schachtel.** Aus einem quadratischen Karton von $12$ Zoll mal $12$ Zoll entsteht eine oben offene Schachtel, indem man an jeder Ecke gleich große Quadrate ausschneidet und die Seiten hochklappt. Wie groß müssen die Quadrate sein, damit das Volumen maximal wird? 5. **Schachtel mit quadratischer Grundfläche.** Eine oben offene Schachtel mit quadratischer Grundfläche soll $32{,}000$ cm³ fassen. Bei welchen Maßen wird am wenigsten Material verbraucht? 6. **Konservendose.** Eine geschlossene zylinderförmige Dose soll $500$ cm³ fassen. Bei welchem Radius und welcher Höhe wird am wenigsten Blech verbraucht? **Geometrie und Abstände** 7. **Rechteck im Halbkreis.** Ein Rechteck liegt in einem Halbkreis mit Radius $10$, seine Grundseite auf dem Durchmesser. Wie groß kann seine Fläche höchstens sein? 8. **Kürzester Abstand.** Welcher Punkt der Kurve $y = \sqrt{x}$ liegt dem Punkt $(3, 0)$ am nächsten? **Wirtschaft und Bewegung** 9. **Ticketpreis.** Bei einem Preis von $p$ Dollar verkauft ein Theater $600 - 20p$ Karten. Bei welchem Preis ist der Erlös am größten? 10. **Ruderboot.** Du sitzt in einem Ruderboot $3$ km von einer geraden Küste entfernt. Du willst eine Stadt an der Küste erreichen, die $8$ km vom nächstgelegenen Küstenpunkt entfernt liegt. Du ruderst mit $2$ km/h und gehst mit $4$ km/h. Wo solltest du anlegen, um so früh wie möglich anzukommen? ## Ergebnisse | Aufgabe | Ergebnis | | --- | --- | | 1 | $10$ und $10$, Produkt $100$ | | 2 | $4$ und $4$, Summe $8$ | | 3 | $60$ m mal $120$ m (lange Seite am Fluss), Fläche $7200$ m² | | 4 | Quadrate mit $2$ Zoll Seitenlänge, Volumen $128$ Kubikzoll | | 5 | Grundfläche $40$ cm mal $40$ cm, Höhe $20$ cm, $4800$ cm² Material | | 6 | $r = \sqrt[3]{\frac{250}{\pi}} \approx 4.30$ cm, $h = 2r \approx 8.60$ cm | | 7 | $100$ (Breite $10\sqrt{2}$, Höhe $5\sqrt{2}$) | | 8 | $\left(\frac{5}{2}, \sqrt{\frac{5}{2}}\right) \approx (2.5, 1.58)$, Abstand $\frac{\sqrt{11}}{2} \approx 1.66$ | | 9 | $p = 15$ Dollar, Erlös $4500$ Dollar | | 10 | $\sqrt{3} \approx 1.73$ km entlang der Küste anlegen, Gesamtzeit $\approx 3.30$ h | ## Lösungen Schritt für Schritt **1.** Die Zahlen seien $x$ und $20 - x$ mit $0 < x < 20$. Maximiere $P = x(20 - x) = 20x - x^2$: $$P' = 20 - 2x = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 10$$ $P'' = -2 < 0$, also liegt ein Maximum vor. Die Zahlen sind $10$ und $10$, das Produkt ist $100$. **2.** Die Zahlen seien $x$ und $\frac{16}{x}$ mit $x > 0$. Minimiere $S = x + \frac{16}{x}$: $$S' = 1 - \frac{16}{x^2} = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 4$$ $S'' = \frac{32}{x^3} > 0$, also liegt ein Minimum vor. Die Zahlen sind $4$ und $4$, die Summe ist $8$. **3.** Sei $x$ jede der beiden Seiten senkrecht zum Fluss. Die Seite am Fluss ist $240 - 2x$ lang, mit $0 < x < 120$. Maximiere $$A = x(240 - 2x) = 240x - 2x^2, \qquad A' = 240 - 4x = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 60$$ $A'' = -4 < 0$, also liegt ein Maximum vor. Das Gehege misst $60$ m mal $120$ m und hat die Fläche $7200$ m². **4.** Sei $x$ die Seitenlänge jedes Quadrats. Die Grundfläche hat die Seitenlänge $12 - 2x$, die Höhe ist $x$, mit $0 < x < 6$: $$V = x(12 - 2x)^2$$ Wende die Produktregel an und klammere aus: $$V' = (12 - 2x)^2 - 4x(12 - 2x) = (12 - 2x)(12 - 6x)$$ $V' = 0$ bei $x = 6$ (ein Randwert, dort ist $V = 0$) und bei $x = 2$. Da $V$ an beiden Rändern $0$ und dazwischen positiv ist, liefert $x = 2$ das Maximum: $V = 2\cdot 8^2 = 128$ Kubikzoll. **5.** Die Grundfläche sei $x$ mal $x$, die Höhe $h$. Die Nebenbedingung ist $x^2h = 32000$, also $h = \frac{32000}{x^2}$. Das Material besteht aus Boden und vier Seiten: $$S = x^2 + 4xh = x^2 + \frac{128000}{x}, \qquad S' = 2x - \frac{128000}{x^2} = 0$$ Also $x^3 = 64000$ und $x = 40$. Dann ist $h = \frac{32000}{1600} = 20$. Wegen $S'' = 2 + \frac{256000}{x^3} > 0$ liegt ein Minimum vor, und $S = 1600 + 3200 = 4800$ cm². **6.** Eine geschlossene Dose besteht aus zwei Kreisen und dem Mantel: $S = 2\pi r^2 + 2\pi rh$. Die Nebenbedingung $\pi r^2h = 500$ liefert $h = \frac{500}{\pi r^2}$: $$S = 2\pi r^2 + \frac{1000}{r}, \qquad S' = 4\pi r - \frac{1000}{r^2} = 0 \quad\Rightarrow\quad r^3 = \frac{250}{\pi}$$ Also $r = \sqrt[3]{250/\pi} \approx 4.30$ cm. $S'' = 4\pi + \frac{2000}{r^3} > 0$, also liegt ein Minimum vor. Dann ist $h = \frac{500}{\pi r^2}$. Wegen $\pi r^3 = 250$ ist das $h = \frac{2\pi r^3}{\pi r^2} = 2r \approx 8.60$ cm. Die beste Dose ist genauso hoch wie breit. **7.** Lege den Mittelpunkt des Halbkreises in den Ursprung. Eine Ecke des Rechtecks liegt bei $(x, y)$ auf der Kurve $y = \sqrt{100 - x^2}$. Die Breite ist $2x$: $$A = 2x\sqrt{100 - x^2}, \qquad 0 \le x \le 10$$ $$A' = 2\sqrt{100 - x^2} - \frac{2x^2}{\sqrt{100 - x^2}} = \frac{2(100 - 2x^2)}{\sqrt{100 - x^2}} = 0 \quad\Rightarrow\quad x^2 = 50$$ Also $x = 5\sqrt{2}$ und $y = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$. Die Fläche ist $2(5\sqrt{2})(5\sqrt{2}) = 100$. An den Rändern ist $A = 0$, also ist das das Maximum. **8.** Ein Punkt der Kurve ist $(x, \sqrt{x})$. Minimiere das Quadrat des Abstands. Es hat sein Minimum an derselben Stelle und lässt sich leichter ableiten: $$D^2 = (x - 3)^2 + x, \qquad \frac{d}{dx}D^2 = 2(x - 3) + 1 = 0 \quad\Rightarrow\quad x = \frac{5}{2}$$ Die zweite Ableitung ist $2 > 0$, also liegt ein Minimum vor. Der Punkt ist $\left(\frac{5}{2}, \sqrt{\frac{5}{2}}\right)$, und der Abstand beträgt $\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{5}{2}} = \frac{\sqrt{11}}{2} \approx 1.66$. **9.** Der Erlös ist Preis mal verkaufte Karten, mit $0 \le p \le 30$: $$R = p(600 - 20p) = 600p - 20p^2, \qquad R' = 600 - 40p = 0 \quad\Rightarrow\quad p = 15$$ $R'' = -40 < 0$, also liegt ein Maximum vor. Das Theater verkauft $300$ Karten und erzielt $R = 4500$ Dollar. **10.** Lege $x$ km vom nächstgelegenen Küstenpunkt entfernt an, mit $0 \le x \le 8$. Die Ruderstrecke ist $\sqrt{9 + x^2}$, die Fußstrecke $8 - x$. Zeit ist Strecke durch Geschwindigkeit: $$T = \frac{\sqrt{9 + x^2}}{2} + \frac{8 - x}{4}, \qquad T' = \frac{x}{2\sqrt{9 + x^2}} - \frac{1}{4} = 0$$ Also $2x = \sqrt{9 + x^2}$, daraus folgt $4x^2 = 9 + x^2$ und $x = \sqrt{3} \approx 1.73$. Vergleiche mit den Randwerten: | Anlegestelle | Zeit | | --- | --- | | $x = 0$ | $1.5 + 2 = 3.5$ h | | $x = \sqrt{3}$ | $2 + \frac{3\sqrt{3}}{4} \approx 3.30$ h | | $x = 8$ | $\frac{\sqrt{73}}{2} \approx 4.27$ h | Am schnellsten bist du, wenn du $\sqrt{3}$ km entlang der Küste anlegst. ## Typische Fehler bei diesen Aufgaben - **Mit zwei Variablen ableiten.** Ersetze in Aufgabe 5 das $h$ mithilfe des Volumens, bevor du ableitest. - **Die Randwerte vergessen.** Auf einem abgeschlossenen Intervall wie in Aufgabe 10 kann das beste Ergebnis am Rand liegen. Vergleiche immer. - **Die falsche Frage beantworten.** Aufgabe 4 fragt nach der Größe der Quadrate, die Antwort ist also $2$ Zoll und nicht nur das Volumen. - **Vergessen, dass die Flussseite frei bleibt.** In Aufgabe 3 gibt es nur drei Zaunseiten: $2x + y = 240$. ## Weiter üben Diese 10 Aufgaben haben feste Zahlen. Für unbegrenztes Üben mit immer neuen Zahlen und sofortigem Feedback zu jedem Schritt probiere die [Lektion zur Optimierung](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/optimization) und die [Lektion zu globalen Extrema](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/absolute-extrema). Warum die Methode der kritischen Punkte funktioniert, erfährst du beim [Satz von Fermat](/theorems/fermats-theorem) und beim [Satz vom Maximum und Minimum](/theorems/extreme-value-theorem). Extremstellen bestimmen übst du auch mit den [Aufgaben zur Kurvendiskussion](/practice-problems/curve-sketching). ## Häufig gestellte Fragen ### Wie löst man Extremwertaufgaben? Zeichne eine Skizze und benenne die Variablen. Stelle die Zielfunktion auf, also die Größe, die maximal oder minimal werden soll, und reduziere sie mit der Nebenbedingung auf eine Variable. Bestimme den Definitionsbereich, setze die Ableitung gleich null, prüfe kritische Punkte und Randwerte und antworte in einem Satz mit Einheiten. ### Was ist die Nebenbedingung bei einer Extremwertaufgabe? Das ist die feste Vorgabe, etwa „240 m Zaun“ oder „Volumen 500 cm³“. Sie liefert eine Gleichung, mit der du eine Variable durch die andere ausdrückst, sodass die Zielfunktion nur noch von einer Variablen abhängt. ### Woran erkennt man, ob man ein Maximum oder ein Minimum gefunden hat? Verwende die zweite Ableitung: $f''(c) < 0$ bedeutet ein lokales Maximum, $f''(c) > 0$ ein lokales Minimum. Gibt es auf einem Intervall nur einen kritischen Punkt, ist dieses lokale Extremum auch das globale. Auf einem abgeschlossenen Intervall kannst du auch einfach die Werte an den kritischen Punkten und den Rändern vergleichen.