# Aufgaben zur Fläche zwischen zwei Kurven mit Lösungen

> 10 Aufgaben zur Fläche zwischen Kurven mit Lösungen und Lösungsweg: Schnittstellen, obere minus untere Kurve, sich schneidende Kurven, Integration nach y.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/uebungsaufgaben/aufgaben-flaeche-zwischen-kurven
Aktualisiert: 2026-11-06

$$ A = \int_a^b \big(\text{oben}(x) - \text{unten}(x)\big)\,dx $$

## Auf einen Blick

- **Aufgaben:** 10, mit Lösungen und ausführlichem Lösungsweg
- **Niveau:** Calculus 1, Calculus 2 und AP Calculus, Unit 8
- **Du brauchst:** [Bestimmte Integrale](/practice-problems/definite-integrals) und das Lösen von Gleichungen
- **Grundidee:** Integriere obere Kurve minus untere Kurve zwischen den Schnittstellen
- **Mit neuen Zahlen üben:** [Lektion zur Fläche zwischen Kurven](/learn/calculus-1/applications-of-integrals/area-between-curves)

## Das Wichtigste

- Setze die Kurven gleich, um die Schnittstellen zu finden. Diese $x$-Werte sind die Integrationsgrenzen.
- Teste einen Punkt zwischen den Grenzen, um die obere Kurve zu finden. Schneiden sich die Kurven im Intervall, teilst du das Integral an dieser Stelle auf.
- Wird die Fläche links und rechts begrenzt, integrierst du nach $y$: rechte Kurve minus linke Kurve.

Diese **Aufgaben zur Fläche zwischen Kurven** beginnen mit einfachen Flächen und führen weiter zu sich schneidenden Kurven und zur Integration nach $y$. Versuch jede Aufgabe zuerst selbst. Die Ergebnisse stehen vorne, damit du schnell vergleichen kannst, danach folgen die ausführlichen Lösungswege.

Die Formel:

$$A = \int_a^b \big(\text{oben}(x) - \text{unten}(x)\big)\,dx$$

Bestimme die Schnittstellen der Kurven, finde heraus, welche oben liegt, und integriere die Differenz. Eine ausführlichere Erklärung mit Bildern findest du im [Leitfaden zur Fläche zwischen Kurven](/blog/area-between-curves).

```graph
title: 'Fläche zwischen y = x und y = x²'
caption: 'Aufgabe 1: Zwischen x = 0 und x = 1 liegt die Gerade oben.'
x: [-0.5, 1.5]
y: [-0.5, 1.5]
functions:
  - expr: 'x'
    label: 'y = x'
  - expr: 'x^2'
    label: 'y = x²'
points:
  - [0, 0, '(0, 0)']
  - [1, 1, '(1, 1)']
```

## Aufgaben

Berechne jeweils den Inhalt der eingeschlossenen Fläche.

**Zwei Kurven, eine Fläche**

1. $y = x$ und $y = x^2$
2. $y = 4 - x^2$ und $y = 0$
3. $y = 2x$ und $y = x^2$
4. $y = x^2 - 4$ und $y = 2 - x$
5. $y = \sqrt{x}$ und $y = x^2$

**Gegebene Grenzen**

6. $y = \cos x$ und $y = \sin x$ von $x = 0$ bis $x = \frac{\pi}{4}$
7. $y = e^x$ und $y = 1$ von $x = 0$ bis $x = 1$
8. $y = x$ und $y = \frac{1}{x}$ von $x = 1$ bis $x = 2$

**Schwierigere Ansätze**

9. Die Fläche, die von $x = y^2$ und $x = y + 2$ begrenzt wird
10. Die gesamte Fläche zwischen $y = x^3$ und $y = x$ auf $[-1, 1]$

## Lösungen

| Aufgabe | Ergebnis |
| --- | --- |
| 1 | $\frac{1}{6}$ |
| 2 | $\frac{32}{3}$ |
| 3 | $\frac{4}{3}$ |
| 4 | $\frac{125}{6}$ |
| 5 | $\frac{1}{3}$ |
| 6 | $\sqrt{2} - 1 \approx 0.414$ |
| 7 | $e - 2 \approx 0.718$ |
| 8 | $\frac{3}{2} - \ln 2 \approx 0.807$ |
| 9 | $\frac{9}{2}$ |
| 10 | $\frac{1}{2}$ |

## Lösungswege Schritt für Schritt

**1.** Setze $x = x^2$: $x = 0$ oder $x = 1$. An der Stelle $x = \frac{1}{2}$ liefert die Gerade $0.5$ und die Parabel $0.25$, also liegt die Gerade oben:

$$\int_0^1(x - x^2)\,dx = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$$

**2.** Die Parabel schneidet die $x$-Achse bei $x = \pm 2$:

$$\int_{-2}^{2}(4 - x^2)\,dx = \left[4x - \frac{x^3}{3}\right]_{-2}^{2} = \frac{16}{3} - \left(-\frac{16}{3}\right) = \frac{32}{3}$$

**3.** Setze $2x = x^2$: $x = 0$ oder $x = 2$. Bei $x = 1$ liegt die Gerade höher:

$$\int_0^2(2x - x^2)\,dx = 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}$$

**4.** Setze $x^2 - 4 = 2 - x$: $x^2 + x - 6 = 0$, also $x = -3$ oder $x = 2$. Bei $x = 0$ liefert die Gerade $2$ und die Parabel $-4$, also liegt die Gerade oben:

$$\int_{-3}^{2}(6 - x - x^2)\,dx = \left[6x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_{-3}^{2} = \frac{22}{3} - \left(-\frac{27}{2}\right) = \frac{125}{6}$$

**5.** Die Kurven schneiden sich bei $x = 0$ und $x = 1$, dazwischen liegt $\sqrt{x}$ oben:

$$\int_0^1\left(x^{1/2} - x^2\right)dx = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$$

**6.** Auf $\left[0, \frac{\pi}{4}\right]$ gilt $\cos x \geq \sin x$:

$$\int_0^{\pi/4}(\cos x - \sin x)\,dx = \Big[\sin x + \cos x\Big]_0^{\pi/4} = \sqrt{2} - 1$$

**7.** Auf $[0, 1]$ gilt $e^x \geq 1$:

$$\int_0^1(e^x - 1)\,dx = (e - 1) - (1 - 0) = e - 2$$

**8.** Für $x > 1$ gilt $x > \frac{1}{x}$:

$$\int_1^2\left(x - \frac{1}{x}\right)dx = \left(2 - \ln 2\right) - \left(\frac{1}{2} - 0\right) = \frac{3}{2} - \ln 2$$

**9.** Beide Kurven sind als $x$ in Abhängigkeit von $y$ gegeben, also integrierst du nach $y$. Setze $y^2 = y + 2$: $y = -1$ oder $y = 2$. Bei $y = 0$ liefert die Gerade $x = 2$ und die Parabel $x = 0$, also liegt die Gerade rechts:

$$\int_{-1}^{2}(y + 2 - y^2)\,dy = \left[\frac{y^2}{2} + 2y - \frac{y^3}{3}\right]_{-1}^{2} = \frac{10}{3} - \left(-\frac{7}{6}\right) = \frac{9}{2}$$

**10.** Die Kurven schneiden sich bei $x = -1, 0, 1$. Auf $[0, 1]$ gilt $x \geq x^3$. Auf $[-1, 0]$ gilt $x^3 \geq x$. Wegen der Symmetrie sind beide Teilflächen gleich groß:

$$2\int_0^1(x - x^3)\,dx = 2\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\right) = \frac{1}{2}$$

Integrierst du $x - x^3$ in einem Stück über $[-1, 1]$, erhältst du $0$, und das ist falsch.

## Typische Fehler bei diesen Aufgaben

- **Untere minus obere Kurve.** Ein negatives Ergebnis verrät den Fehler. Teste einen Punkt, um die obere Kurve zu finden.
- **Nicht an einer Schnittstelle aufteilen.** In Aufgabe 10 heben sich die beiden Teilflächen in einem einzigen Integral auf und es ergibt sich $0$.
- **Falsche Grenzen.** Die Grenzen sind die Schnittstellen der Kurven, nicht die Schnittpunkte einer einzelnen Kurve mit der $x$-Achse.
- **$x$ und $y$ vermischen.** In Aufgabe 9 müssen Integrand und Grenzen beide in $y$ sein.

## Weiter üben

Für unbegrenzt viele Flächen mit sofortigem Feedback probier die [Lektion zur Fläche zwischen Kurven](/learn/calculus-1/applications-of-integrals/area-between-curves) und die [gemischten Übungen zu Anwendungen](/learn/calculus-1/applications-of-integrals/applications-practice). Als Nächstes lässt du diese Flächen um eine Achse rotieren, in den [Aufgaben zu Rotationskörpern](/practice-problems/volumes-of-revolution).

## Häufig gestellte Fragen

### Woran erkennt man, welche Kurve oben liegt?

Wähle ein beliebiges $x$ zwischen den Grenzen und setze es in beide Funktionen ein. Der größere Wert gehört zur oberen Kurve auf dem ganzen Abschnitt, solange sich die Kurven dort nicht schneiden.

### Kann die Fläche zwischen Kurven negativ sein?

Nein. Ein Flächeninhalt ist immer positiv. Erhältst du eine negative Zahl, hast du in der falschen Reihenfolge subtrahiert. Schneiden sich die Kurven, teilst du das Integral so auf, dass jedes Teilstück obere minus untere Kurve ist.

### Wann sollte man nach y integrieren?

Wenn sich die Kurven leichter als $x = f(y)$ schreiben lassen oder wenn du beim Integrieren nach $x$ mehrere Teilstücke bräuchtest. Aufgabe 9 ist ein einziges Integral nach $y$, nach $x$ wären es zwei.