# Grenzwerte berechnen: Aufgaben mit Lösungen und Lösungsweg > 12 Aufgaben zu Grenzwerten mit Lösungen und Lösungsweg: direktes Einsetzen, Faktorisieren bei 0/0, Erweitern, trigonometrische und einseitige Grenzwerte. Quelle: https://practicecalculus.com/de/uebungsaufgaben/aufgaben-grenzwerte-berechnen Aktualisiert: 2026-11-06 $$ \lim_{x\to a} f(x) = f(a) \text{, wenn } f \text{ stetig ist in } a $$ ## Auf einen Blick - **Aufgaben:** 12, mit Lösungen und vollständigen Lösungswegen - **Niveau:** Calculus 1 und AP Calculus AB, Unit 1 - **Du brauchst:** Faktorisieren, Bruchrechnung und die [Grenzwertsätze](/rules/limit-laws) - **Grundidee:** Zuerst einsetzen. Kommt 0/0 heraus, vereinfachen und erneut einsetzen - **Mit neuen Zahlen üben:** [Lektionen zu Grenzwerten](/learn/calculus-1/limits/direct-substitution) ## Das Wichtigste - Versuche immer zuerst, den Wert direkt einzusetzen. Erhältst du eine reelle Zahl, bist du fertig. - Ein Ergebnis $\frac{0}{0}$ bedeutet „erst vereinfachen“: faktorisieren, kürzen, mit der dritten binomischen Formel erweitern oder Brüche zusammenfassen, dann erneut einsetzen. - Eine Zahl ungleich null geteilt durch $0$ bedeutet, dass der Grenzwert unendlich ist oder nicht existiert. Prüfe deshalb beide einseitigen Grenzwerte. Diese **Aufgaben zum Berechnen von Grenzwerten** decken alle Methoden ab, die du für endliche Grenzwerte brauchst: direktes Einsetzen, Faktorisieren, Erweitern mit der dritten binomischen Formel, Zusammenfassen von Brüchen, die besonderen trigonometrischen Grenzwerte und einseitige Grenzwerte. Versuche jede Aufgabe zuerst selbst. Die Lösungen stehen direkt nach der Liste, danach folgen die vollständigen Lösungswege. Die Strategie für jede Aufgabe: $$\text{einsetzen} \;\to\; \text{bei } \tfrac{0}{0},\ \text{vereinfachen} \;\to\; \text{erneut einsetzen}$$ Warum das funktioniert, erfährst du in [Grenzwerte berechnen](/blog/how-to-evaluate-limits) und bei der Regel zum [direkten Einsetzen](/rules/direct-substitution). ## Aufgaben **Direktes Einsetzen** 1. $\displaystyle\lim_{x\to 2}\,(3x^2 - 5x + 1)$ 2. $\displaystyle\lim_{x\to 0}\,\frac{e^x + \cos x}{x + 1}$ 3. $\displaystyle\lim_{x\to 3}\,\frac{\sqrt{x + 6}}{x - 1}$ **Faktorisieren bei der Form 0/0** 4. $\displaystyle\lim_{x\to 3}\,\frac{x^2 - 9}{x - 3}$ 5. $\displaystyle\lim_{x\to -2}\,\frac{x^2 + 5x + 6}{x^2 - 4}$ 6. $\displaystyle\lim_{x\to 1}\,\frac{x^3 - 1}{x - 1}$ **Erweitern und Brüche** 7. $\displaystyle\lim_{x\to 0}\,\frac{\sqrt{x + 9} - 3}{x}$ 8. $\displaystyle\lim_{x\to 4}\,\frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{4}}{x - 4}$ **Trigonometrische Grenzwerte** 9. $\displaystyle\lim_{x\to 0}\,\frac{\sin(5x)}{x}$ 10. $\displaystyle\lim_{x\to 0}\,\frac{1 - \cos x}{x^2}$ **Einseitige Grenzwerte** 11. $\displaystyle\lim_{x\to 2^+}\,\frac{x + 1}{x - 2}$ 12. $\displaystyle\lim_{x\to 0}\,\frac{|x|}{x}$ ## Lösungen | Aufgabe | Lösung | | --- | --- | | 1 | $3$ | | 2 | $2$ | | 3 | $\dfrac{3}{2}$ | | 4 | $6$ | | 5 | $-\dfrac{1}{4}$ | | 6 | $3$ | | 7 | $\dfrac{1}{6}$ | | 8 | $-\dfrac{1}{16}$ | | 9 | $5$ | | 10 | $\dfrac{1}{2}$ | | 11 | $+\infty$ | | 12 | Existiert nicht (linksseitiger Grenzwert $-1$, rechtsseitiger Grenzwert $1$) | ## Lösungswege Schritt für Schritt **1.** Polynome sind überall stetig, also setzt du ein: $$3(2)^2 - 5(2) + 1 = 12 - 10 + 1 = 3$$ **2.** Der Nenner ist bei $x = 0$ nicht null, also setzt du ein: $$\frac{e^0 + \cos 0}{0 + 1} = \frac{1 + 1}{1} = 2$$ **3.** Auch bei $x = 3$ geht nichts schief: $$\frac{\sqrt{3 + 6}}{3 - 1} = \frac{\sqrt{9}}{2} = \frac{3}{2}$$ **4.** Einsetzen ergibt $\frac{0}{0}$. Faktorisiere mit der dritten binomischen Formel und kürze: $$\frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x + 3 \;\to\; 3 + 3 = 6$$ **5.** Einsetzen ergibt $\frac{4 - 10 + 6}{4 - 4} = \frac{0}{0}$. Faktorisiere Zähler und Nenner: $$\frac{(x+2)(x+3)}{(x+2)(x-2)} = \frac{x+3}{x-2} \;\to\; \frac{-2+3}{-2-2} = -\frac{1}{4}$$ **6.** Verwende die Zerlegung der Differenz dritter Potenzen, $x^3 - 1 = (x-1)(x^2 + x + 1)$: $$\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{x-1} = x^2 + x + 1 \;\to\; 1 + 1 + 1 = 3$$ **7.** Einsetzen ergibt $\frac{0}{0}$. Erweitere Zähler und Nenner mit $\sqrt{x+9} + 3$: $$\frac{(x + 9) - 9}{x\left(\sqrt{x+9} + 3\right)} = \frac{1}{\sqrt{x+9} + 3} \;\to\; \frac{1}{3 + 3} = \frac{1}{6}$$ **8.** Fasse die Brüche im Zähler zusammen: $\frac{1}{x} - \frac{1}{4} = \frac{4 - x}{4x}$. Da $4 - x = -(x - 4)$ gilt: $$\frac{-(x-4)}{4x(x-4)} = -\frac{1}{4x} \;\to\; -\frac{1}{16}$$ **9.** Verwende $\displaystyle\lim_{\theta\to 0}\frac{\sin\theta}{\theta} = 1$ mit $\theta = 5x$. Multipliziere und dividiere durch $5$: $$\frac{\sin(5x)}{x} = 5\cdot\frac{\sin(5x)}{5x} \;\to\; 5\cdot 1 = 5$$ **10.** Erweitere mit $\frac{1 + \cos x}{1 + \cos x}$ und verwende $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$: $$\frac{\sin^2 x}{x^2(1 + \cos x)} = \left(\frac{\sin x}{x}\right)^2\cdot\frac{1}{1 + \cos x} \;\to\; 1\cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$ **11.** Einsetzen ergibt $\frac{3}{0}$, der Grenzwert ist also unendlich. Für $x$ etwas größer als $2$ liegt der Zähler nahe bei $3$ und der Nenner ist eine kleine positive Zahl, der Bruch ist also groß und positiv: Der Grenzwert ist $+\infty$. Bei $x = 2$ liegt eine senkrechte Asymptote. **12.** Für $x > 0$ ist $|x| = x$, der Bruch ist also $1$. Für $x < 0$ ist $|x| = -x$, der Bruch ist also $-1$. Die einseitigen Grenzwerte sind $1$ und $-1$. Sie stimmen nicht überein, also existiert der beidseitige Grenzwert nicht. ## Typische Fehler bei diesen Aufgaben - **Bei 0/0 aufhören.** In Aufgabe 4 ist $\frac{0}{0}$ keine Lösung. Es sagt dir, dass du zuerst faktorisieren musst. - **Summanden statt Faktoren kürzen.** In Aufgabe 5 darfst du $(x+2)$ kürzen, weil es den gesamten Zähler und Nenner multipliziert. Das $x^2$ aus $x^2 + 5x + 6$ und $x^2 - 4$ darfst du niemals kürzen. - **$\frac{\sin 5x}{x} = \sin 5$ schreiben.** Das $x$ im Sinus lässt sich nicht kürzen. Aufgabe 9 braucht den besonderen Grenzwert $\frac{\sin\theta}{\theta}\to 1$. - **Die Seite ignorieren.** In Aufgabe 11 kommt es auf die Seite an. Von links strebt derselbe Bruch gegen $-\infty$, nur der rechtsseitige Grenzwert ist $+\infty$. ## Weiter üben Diese 12 Aufgaben verwenden feste Zahlen. Für unbegrenzt viele Übungen mit immer neuen Zahlen und sofortigem Feedback zu jedem Schritt probiere [direktes Einsetzen](/learn/calculus-1/limits/direct-substitution), dann [Faktorisieren bei 0/0](/learn/calculus-1/limits/factoring-zero-over-zero) und die Lektion zum [Sandwich-Satz](/learn/calculus-1/limits/squeeze-theorem). Wenn du bereit für Grenzwerte mit $x\to\infty$ bist, mach weiter mit den [Aufgaben zu Grenzwerten im Unendlichen](/practice-problems/limits-at-infinity). ## Häufig gestellte Fragen ### Was ist der erste Schritt beim Berechnen eines Grenzwerts? Setze den Wert in die Funktion ein. Ist das Ergebnis eine reelle Zahl, ist das der Grenzwert. Erst wenn ein Ausdruck wie $\frac{0}{0}$ oder eine Zahl ungleich null geteilt durch null entsteht, musst du weiterrechnen. ### Was bedeutet 0/0 beim Berechnen eines Grenzwerts? Es ist ein unbestimmter Ausdruck. Er bedeutet weder, dass der Grenzwert 0 ist, noch, dass er nicht existiert. Der Term muss erst vereinfacht werden, meist durch Faktorisieren und Kürzen eines gemeinsamen Faktors, bevor du erneut einsetzt. ### Wann existiert ein Grenzwert nicht? Ein Grenzwert existiert nicht, wenn linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert verschieden sind, wie bei $\frac{|x|}{x}$ an der Stelle $0$, wenn die Funktion unbeschränkt wächst oder wenn sie endlos oszilliert, wie $\sin\frac{1}{x}$ in der Nähe von $0$. ### Wann erweitert man mit der dritten binomischen Formel? Wenn eine Wurzel in einer Summe oder Differenz steht und Einsetzen $\frac{0}{0}$ ergibt, wie bei $\frac{\sqrt{x+9}-3}{x}$. Durch das Erweitern verschwindet die Wurzel aus dem Zähler, sodass sich ein Faktor $x$ kürzen lässt.