# Grenzwerte im Unendlichen: Aufgaben mit Lösungen > 12 Aufgaben zu Grenzwerten im Unendlichen mit Ergebnissen und vollständigen Lösungen: gebrochenrationale Funktionen, Wurzeln, e-Funktionen und Asymptoten. Quelle: https://practicecalculus.com/de/uebungsaufgaben/aufgaben-grenzwerte-im-unendlichen Aktualisiert: 2026-11-06 $$ \lim_{x\to\infty}\frac{a x^n + \cdots}{b x^n + \cdots} = \frac{a}{b} $$ ## Auf einen Blick - **Aufgaben:** 12, mit Ergebnissen und vollständigen Lösungen - **Niveau:** Analysis 1 und AP Calculus AB, Einheit 1 - **Du brauchst:** Die Tatsache, dass $\frac{1}{x^p}\to 0$ für $x\to\infty$ und $p > 0$ - **Grundidee:** Durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner teilen, dann die kleinen Terme gegen 0 gehen lassen - **Mit neuen Zahlen üben:** [Lektion zu Grenzwerten im Unendlichen](/learn/calculus-1/limits/limits-at-infinity) ## Das Wichtigste - Vergleiche bei gebrochenrationalen Funktionen die Grade: Ist der Nennergrad größer, ist der Grenzwert $0$, bei gleichen Graden der Quotient der Leitkoeffizienten, ist der Zählergrad größer, $\pm\infty$. - Denke bei Wurzeln an $\sqrt{x^2} = |x|$, und das ist $-x$ für $x\to -\infty$. Dieser Vorzeichenwechsel ändert das Ergebnis. - Eine Form $\infty - \infty$ mit einer Wurzel braucht meist erst die Erweiterung mit dem konjugierten Ausdruck. Diese **Aufgaben zu Grenzwerten im Unendlichen** beginnen mit gebrochenrationalen Funktionen und gehen dann zu Wurzeln, der Form $\infty - \infty$, Exponentialfunktionen und waagerechten Asymptoten über. Rechne jede Aufgabe, bevor du nachschaust. Die Ergebnisse stehen direkt nach der Liste, danach folgen die vollständigen Lösungen. Die Abkürzung für gebrochenrationale Funktionen, wobei $n$ der Grad des Zählers und $m$ der Grad des Nenners ist: $$\lim_{x\to\pm\infty}\frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}} = \begin{cases} 0 & n < m \\ \dfrac{\text{Leitkoeffizient des Zählers}}{\text{Leitkoeffizient des Nenners}} & n = m \\ \pm\infty & n > m \end{cases}$$ Die Begründung findest du im [Leitfaden zu Grenzwerten im Unendlichen](/blog/limits-at-infinity). ## Aufgaben **Gebrochenrationale Funktionen** 1. $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2 + 2x}{5x^2 - 1}$ 2. $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{4x + 1}{x^2 + 3}$ 3. $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x^3 - 2}{4x^2 + x}$ 4. $\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\frac{2x^3 - x}{1 - 6x^3}$ **Wurzeln** 5. $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{9x^2 + 1}}{2x + 5}$ 6. $\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\frac{\sqrt{9x^2 + 1}}{2x + 5}$ 7. $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2 + 6x} - x\right)$ **Trigonometrische und Exponentialfunktionen** 8. $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\sin x}{x}$ 9. $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{2e^x + 3}{e^x - 1}$ 10. $\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\frac{2e^x + 3}{e^x - 1}$ 11. $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\arctan(x^2)$ **Waagerechte Asymptoten** 12. Bestimme alle waagerechten Asymptoten von $f(x) = \dfrac{5x - 2}{\sqrt{x^2 + 4}}$. ## Ergebnisse | Aufgabe | Ergebnis | | --- | --- | | 1 | $\dfrac{3}{5}$ | | 2 | $0$ | | 3 | $\infty$ | | 4 | $-\dfrac{1}{3}$ | | 5 | $\dfrac{3}{2}$ | | 6 | $-\dfrac{3}{2}$ | | 7 | $3$ | | 8 | $0$ | | 9 | $2$ | | 10 | $-3$ | | 11 | $\dfrac{\pi}{2}$ | | 12 | $y = 5$ (für $x\to\infty$) und $y = -5$ (für $x\to -\infty$) | ## Lösungen Schritt für Schritt **1.** Die Grade stimmen überein, also teile Zähler und Nenner durch $x^2$: $$\frac{3 + \frac{2}{x}}{5 - \frac{1}{x^2}} \;\to\; \frac{3 + 0}{5 - 0} = \frac{3}{5}$$ **2.** Der Nenner hat den höheren Grad. Teile durch $x^2$: $$\frac{\frac{4}{x} + \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{3}{x^2}} \;\to\; \frac{0}{1} = 0$$ **3.** Der Zähler hat den höheren Grad. Teile durch $x^2$: $$\frac{x - \frac{2}{x^2}}{4 + \frac{1}{x}}$$ Der Zähler wächst unbeschränkt, während der Nenner gegen $4$ geht, also ist der Grenzwert $\infty$. **4.** Wieder gleiche Grade. Teile durch $x^3$: $$\frac{2 - \frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x^3} - 6} \;\to\; \frac{2}{-6} = -\frac{1}{3}$$ Die Richtung $-\infty$ ändert hier nichts am Ergebnis, denn jeder übrige Term geht trotzdem gegen $0$. **5.** Ziehe $x^2$ aus der Wurzel. Für $x > 0$ ist $\sqrt{x^2} = x$: $$\frac{x\sqrt{9 + \frac{1}{x^2}}}{x\left(2 + \frac{5}{x}\right)} = \frac{\sqrt{9 + \frac{1}{x^2}}}{2 + \frac{5}{x}} \;\to\; \frac{3}{2}$$ **6.** Dieselbe Funktion, aber jetzt ist $x < 0$, also $\sqrt{x^2} = |x| = -x$: $$\frac{-x\sqrt{9 + \frac{1}{x^2}}}{x\left(2 + \frac{5}{x}\right)} = -\frac{\sqrt{9 + \frac{1}{x^2}}}{2 + \frac{5}{x}} \;\to\; -\frac{3}{2}$$ **7.** Das ist eine Form $\infty - \infty$. Erweitere mit dem konjugierten Ausdruck: $$\frac{(x^2 + 6x) - x^2}{\sqrt{x^2 + 6x} + x} = \frac{6x}{\sqrt{x^2 + 6x} + x}$$ Teile Zähler und Nenner durch $x$: $$\frac{6}{\sqrt{1 + \frac{6}{x}} + 1} \;\to\; \frac{6}{1 + 1} = 3$$ **8.** Verwende den [Sandwich-Satz](/theorems/squeeze-theorem). Wegen $-1 \le \sin x \le 1$ gilt für $x > 0$: $$-\frac{1}{x} \le \frac{\sin x}{x} \le \frac{1}{x}$$ Beide äußeren Funktionen gehen gegen $0$, also ist der Grenzwert $0$. **9.** Für $x\to\infty$ ist $e^x$ der dominante Term. Teile durch $e^x$: $$\frac{2 + 3e^{-x}}{1 - e^{-x}} \;\to\; \frac{2 + 0}{1 - 0} = 2$$ **10.** Für $x\to -\infty$ gilt $e^x\to 0$, also setze einfach diesen Wert ein: $$\frac{2(0) + 3}{0 - 1} = -3$$ **11.** Für $x\to\infty$ gilt $x^2\to\infty$, und $\arctan u\to\frac{\pi}{2}$ für $u\to\infty$. Der Grenzwert ist also $\frac{\pi}{2}$. **12.** Ziehe $\sqrt{x^2} = |x|$ aus der Wurzel: $\sqrt{x^2 + 4} = |x|\sqrt{1 + \frac{4}{x^2}}$. Für $x\to\infty$ ist $|x| = x$: $$\frac{5x - 2}{x\sqrt{1 + \frac{4}{x^2}}} = \frac{5 - \frac{2}{x}}{\sqrt{1 + \frac{4}{x^2}}} \;\to\; 5$$ Für $x\to -\infty$ ist $|x| = -x$, das kehrt das Vorzeichen um und liefert $-5$. Der Graph hat zwei waagerechte Asymptoten: $y = 5$ rechts und $y = -5$ links. ## Typische Fehler bei diesen Aufgaben - **$\frac{\infty}{\infty} = 1$ schreiben.** In Aufgabe 1 wachsen Zähler und Nenner beide, aber das Ergebnis ist $\frac{3}{5}$. Teile durch die höchste Potenz, um zu sehen, was wirklich passiert. - **$\sqrt{x^2} = |x|$ vergessen.** Die Aufgaben 6 und 12 liefern das falsche Vorzeichen, wenn du $\sqrt{x^2}$ für negative $x$ als $x$ behandelst. - **$\infty - \infty = 0$ schreiben.** Aufgabe 7 sieht so aus, als müsste $0$ herauskommen, aber der konjugierte Ausdruck zeigt, dass der Grenzwert $3$ ist. - **Annehmen, dass beide Richtungen gleich sind.** Die Aufgaben 9 und 10 haben dieselbe Funktion und liefern $2$ und $-3$. Exponentialfunktionen verhalten sich auf beiden Seiten ganz verschieden. ## Weiter üben Diese 12 Aufgaben haben feste Zahlen. Für unbegrenztes Üben mit immer neuen Zahlen und sofortigem Feedback probiere die [Lektion zu Grenzwerten im Unendlichen](/learn/calculus-1/limits/limits-at-infinity) und danach die gemischte [Übung zu Grenzwerten](/learn/calculus-1/limits/limits-practice). Wird ein Grenzwert im Unendlichen mit Exponentialfunktionen und Logarithmen zu $\frac{\infty}{\infty}$, zeigen dir die [Aufgaben zur Regel von L'Hospital](/practice-problems/lhopitals-rule) den schnelleren Weg. ## Häufig gestellte Fragen ### Wie berechnet man einen Grenzwert im Unendlichen? Teile jeden Term durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner. Terme wie $\frac{3}{x}$ und $\frac{1}{x^2}$ gehen gegen $0$, und was übrig bleibt, ist der Grenzwert. Bei gebrochenrationalen Funktionen kannst du direkt die Grade von Zähler und Nenner vergleichen. ### Was haben Grenzwerte im Unendlichen mit waagerechten Asymptoten zu tun? Gilt $\lim_{x\to\infty} f(x) = L$ oder $\lim_{x\to -\infty} f(x) = L$, dann ist die Gerade $y = L$ eine waagerechte Asymptote. Eine Funktion kann zwei verschiedene waagerechte Asymptoten haben, eine auf jeder Seite, wie in Aufgabe 12. ### Warum ist der Grenzwert für x gegen minus unendlich anders? Meist wegen einer Wurzel oder einer Exponentialfunktion. $\sqrt{x^2} = |x|$ ist für negative $x$ gleich $-x$, und $e^x\to 0$ für $x\to -\infty$, wächst aber für $x\to\infty$ unbeschränkt. Polynome und gebrochenrationale Funktionen ohne Wurzeln haben oft auf beiden Seiten denselben endlichen Grenzwert.