# Aufgaben zum Hauptsatz der Integralrechnung mit Lösungen > 12 Aufgaben zum Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung mit Lösungen: Ableitungen mit variablen Grenzen, Integrale berechnen, Integralfunktionen. Quelle: https://practicecalculus.com/de/uebungsaufgaben/aufgaben-hauptsatz-integralrechnung Aktualisiert: 2026-11-06 $$ \frac{d}{dx}\int_a^{g(x)} f(t)\,dt = f(g(x))\,g'(x) $$ ## Auf einen Blick - **Aufgaben:** 12, mit Lösungen und vollständigen Lösungswegen - **Niveau:** Calculus 1 und AP Calculus AB, Unit 6 - **Du brauchst:** Die [Kettenregel](/rules/chain-rule) und die grundlegenden Stammfunktionen - **Grundidee:** Teil 1: obere Grenze in den Integranden einsetzen und mit ihrer Ableitung multiplizieren. Teil 2: $F(b) - F(a)$ - **Mit neuen Zahlen üben:** [Lektion zum Hauptsatz, Teil 1](/learn/calculus-1/integrals/fundamental-theorem-part-1) ## Das Wichtigste - Teil 1: Die Ableitung von $\int_a^x f(t)\,dt$ ist $f(x)$. Steht als obere Grenze eine Funktion, multiplizierst du mit ihrer Ableitung. - Steht $x$ in der unteren Grenze, vertauschst du zuerst die Grenzen. Dadurch kommt ein Minuszeichen hinzu. - Eine Integralfunktion wächst, wo ihr Integrand positiv ist, und fällt, wo er negativ ist. Diese **Aufgaben zum Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung** decken beide Teile des Satzes ab: Ableitungen von Integralen mit variablen Grenzen, das Berechnen bestimmter Integrale und das Interpretieren von Integralfunktionen. Versuche jede Aufgabe zuerst selbst. Zuerst kommen die Lösungen, danach die vollständigen Lösungswege. Die beiden Teile: $$\text{Teil 1: } \frac{d}{dx}\int_a^{x} f(t)\,dt = f(x) \qquad \text{Teil 2: } \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$$ Mit der Kettenregel wird Teil 1 zu $\frac{d}{dx}\int_a^{g(x)} f(t)\,dt = f(g(x))\,g'(x)$. Die Begründung findest du bei [Teil 1](/theorems/fundamental-theorem-of-calculus-part-1) und [Teil 2](/theorems/fundamental-theorem-of-calculus-part-2). ## Aufgaben **Teil 1: Ableitungen von Integralen** 1. $\displaystyle\frac{d}{dx}\int_1^{x}(t^3 + 1)\,dt$ 2. $\displaystyle\frac{d}{dx}\int_0^{x^2}\cos t\,dt$ 3. $\displaystyle\frac{d}{dx}\int_x^{5}e^{t^2}\,dt$ 4. $\displaystyle\frac{d}{dx}\int_x^{x^2}\frac{1}{t}\,dt$ für $x > 0$ 5. $\displaystyle\frac{d}{dx}\int_0^{\sin x}(1 + t^2)\,dt$ **Teil 2: Integrale berechnen** 6. $\displaystyle\int_1^{2}(6x^2 - 2)\,dx$ 7. $\displaystyle\int_0^{\pi}\sin x\,dx$ 8. $\displaystyle\int_0^{\ln 3}e^x\,dx$ 9. $\displaystyle\int_0^{1}\frac{1}{1 + x^2}\,dx$ **Integralfunktionen** 10. Sei $g(x) = \int_0^{x}(t^2 - 4)\,dt$. Wo ist $g$ streng monoton wachsend? Bestimme das lokale Minimum von $g$ und seinen Wert. 11. Sei $F(x) = \int_2^{x}\sqrt{t^2 + 5}\,dt$. Bestimme $F(2)$ und $F'(2)$. 12. Sei $g(x) = \int_0^{x}\sin(t^2)\,dt$. Bestimme $g''(x)$. ## Lösungen | Aufgabe | Lösung | | --- | --- | | 1 | $x^3 + 1$ | | 2 | $2x\cos(x^2)$ | | 3 | $-e^{x^2}$ | | 4 | $\frac{1}{x}$ | | 5 | $(1 + \sin^2 x)\cos x$ | | 6 | $12$ | | 7 | $2$ | | 8 | $2$ | | 9 | $\frac{\pi}{4}$ | | 10 | Wachsend für $\lvert x\rvert > 2$; lokales Minimum bei $x = 2$, $g(2) = -\frac{16}{3}$ | | 11 | $F(2) = 0$, $F'(2) = 3$ | | 12 | $2x\cos(x^2)$ | ## Lösungswege Schritt für Schritt **1.** Die obere Grenze ist einfach $x$, also ersetzt du $t$ durch $x$. Die untere Grenze $1$ spielt keine Rolle: $$x^3 + 1$$ **2.** Die obere Grenze ist $x^2$. Setze sie ein und multipliziere mit ihrer Ableitung $2x$: $$\cos(x^2)\cdot 2x = 2x\cos(x^2)$$ **3.** Die Variable steht in der unteren Grenze. Vertausche die Grenzen, sodass du $-\int_5^{x}e^{t^2}\,dt$ erhältst, und wende dann Teil 1 an: $$-e^{x^2}$$ Beachte: $e^{t^2}$ hat keine elementare Stammfunktion, Teil 1 ist hier also der einzige Weg. **4.** Obere minus untere Grenze, jeweils mit dem Faktor aus der Kettenregel: $$\frac{1}{x^2}\cdot 2x - \frac{1}{x}\cdot 1 = \frac{2}{x} - \frac{1}{x} = \frac{1}{x}$$ Probe: Das Integral ist $\ln(x^2) - \ln x = \ln x$, und dessen Ableitung ist $\frac{1}{x}$. **5.** Setze $\sin x$ in $1 + t^2$ ein und multipliziere mit $\cos x$: $$(1 + \sin^2 x)\cos x$$ **6.** Eine Stammfunktion ist $2x^3 - 2x$: $$(16 - 4) - (2 - 2) = 12$$ **7.** Eine Stammfunktion von $\sin x$ ist $-\cos x$: $$-\cos\pi - (-\cos 0) = 1 + 1 = 2$$ **8.** Da $e^{\ln 3} = 3$ gilt: $$e^{\ln 3} - e^0 = 3 - 1 = 2$$ **9.** Eine Stammfunktion ist $\arctan x$: $$\arctan 1 - \arctan 0 = \frac{\pi}{4}$$ **10.** Nach Teil 1 ist $g'(x) = x^2 - 4$. Das ist positiv für $|x| > 2$, also wächst $g$ auf $(-\infty, -2)$ und $(2, \infty)$. Bei $x = 2$ wechselt $g'$ das Vorzeichen von negativ nach positiv, $g$ hat dort also ein lokales Minimum: $$g(2) = \int_0^2 (t^2 - 4)\,dt = \frac{8}{3} - 8 = -\frac{16}{3}$$ **11.** Sind beide Grenzen gleich, ist das Integral $0$, also $F(2) = 0$. Nach Teil 1 ist $F'(x) = \sqrt{x^2 + 5}$, also $F'(2) = \sqrt{9} = 3$. **12.** Zuerst ist $g'(x) = \sin(x^2)$. Leite mit der Kettenregel noch einmal ab: $$g''(x) = \cos(x^2)\cdot 2x = 2x\cos(x^2)$$ ## Typische Fehler bei diesen Aufgaben - **Den Faktor aus der Kettenregel vergessen.** In Aufgabe 2 ist $\cos(x^2)$ allein falsch. Multipliziere mit der Ableitung der oberen Grenze. - **Eine variable untere Grenze übersehen.** In Aufgabe 3 entsteht das Minuszeichen durch das Vertauschen der Grenzen. - **Erst integrieren, obwohl es nicht geht.** $e^{t^2}$ und $\sin(t^2)$ haben keine elementaren Stammfunktionen. Mit Teil 1 kannst du diesen Schritt überspringen. - **$g$ und $g'$ verwechseln.** In Aufgabe 10 wächst $g$ dort, wo der Integrand positiv ist, nicht dort, wo $g$ selbst positiv ist. ## Weiter üben Für unbegrenzt viele Aufgaben mit sofortigem Feedback probiere die [Lektion zum Hauptsatz, Teil 1](/learn/calculus-1/integrals/fundamental-theorem-part-1), die [Lektion zu Teil 2](/learn/calculus-1/integrals/fundamental-theorem-part-2) und die [Lektion zu Integralfunktionen](/learn/calculus-1/integrals/accumulation-functions). Für den Gesamtüberblick lies den [Leitfaden zum Hauptsatz](/blog/fundamental-theorem-of-calculus). Danach geht es weiter mit den [Aufgaben zur Substitutionsregel](/practice-problems/u-substitution). ## Häufig gestellte Fragen ### Was ist der Unterschied zwischen Teil 1 und Teil 2 des Hauptsatzes? Teil 1 besagt, dass die Ableitung eines Integrals mit variabler oberer Grenze wieder den Integranden liefert. Teil 2 besagt, dass du ein bestimmtes Integral mit einer beliebigen Stammfunktion als $F(b) - F(a)$ berechnen kannst. Bei Teil 1 geht es um Ableitungen von Integralen, bei Teil 2 um das Berechnen von Integralen. ### Warum hängt die Ableitung eines Integrals nicht von der unteren Grenze ab? Eine andere konstante untere Grenze addiert oder subtrahiert nur einen festen Flächeninhalt, also eine Konstante. Konstanten haben die Ableitung null. ### Was ist, wenn beide Grenzen von x abhängen? Teile das Integral an einer Konstanten auf oder verwende direkt die Regel $\frac{d}{dx}\int_{h(x)}^{g(x)} f(t)\,dt = f(g(x))g'(x) - f(h(x))h'(x)$. Aufgabe 4 zeigt das.