# Aufgaben zur Kettenregel mit Lösungen und Lösungsweg > 12 Aufgaben zur Kettenregel mit Lösungen und ausführlichem Lösungsweg, von (3x+1)⁵ bis zu verschachtelten Funktionen wie sin²(4x) und e^(cos x). Quelle: https://practicecalculus.com/de/uebungsaufgaben/aufgaben-kettenregel Aktualisiert: 2026-11-06 $$ \frac{d}{dx}\,f(g(x)) = f'(g(x))\,g'(x) $$ ## Auf einen Blick - **Aufgaben:** 12, mit Lösungen und vollständigem Lösungsweg - **Niveau:** Calculus 1 und AP Calculus AB, Unit 3 - **Du brauchst:** Die [Potenzregel](/rules/power-rule) und die Grundableitungen von trigonometrischen Funktionen, Exponentialfunktion und Logarithmus - **Grundidee:** Äußere Funktion ableiten, das Innere unverändert lassen und mit der Ableitung des Inneren multiplizieren - **Mit neuen Zahlen üben:** [Lektionen zur Kettenregel](/learn/calculus-1/derivative-rules/chain-rule-powers) ## Das Wichtigste - Benenne zuerst die innere Funktion $u$ und schreibe die Ableitung dann als (äußere Ableitung an der Stelle $u$) mal $u'$. - Bei verschachtelten Funktionen arbeitest du dich von außen nach innen vor und multiplizierst eine Ableitung pro Schicht. - Der häufigste Fehler ist die vergessene innere Ableitung. Prüfe also, ob jede Schicht einen Faktor beigesteuert hat. Diese **Aufgaben zur Kettenregel** beginnen mit einer einzigen Schicht und steigern sich bis zu verschachtelten Funktionen und Kombinationen mit Produkt- und Quotientenregel. Versuche jede Aufgabe selbst, bevor du die Lösung liest. Die Ergebnisse stehen zuerst, damit du schnell vergleichen kannst, danach folgen die ausführlichen Lösungswege. Die Regel, die du brauchst: $$\frac{d}{dx}\,f(g(x)) = f'(g(x))\cdot g'(x)$$ Leite die äußere Funktion ab, lass das Innere unverändert und multipliziere mit der Ableitung des Inneren. Zur Wiederholung lies zuerst die Seite zur [Kettenregel](/rules/chain-rule). ## Aufgaben **Eine Schicht** 1. $y = (3x + 1)^5$ 2. $y = \sqrt{x^2 + 9}$ 3. $y = \sin(4x)$ 4. $y = e^{x^2}$ 5. $y = \ln(x^3 + 2x)$ 6. $y = \dfrac{1}{(2x - 5)^3}$ **Zwei oder mehr Schichten** 7. $y = \sin^2(4x)$ 8. $y = e^{\cos x}$ 9. $y = \tan\!\left(\sqrt{x}\right)$ **Mit Produkt- oder Quotientenregel** 10. $y = x^2 \sin(3x)$ 11. $y = x\,e^{-2x}$ 12. $y = \dfrac{(x+1)^4}{x^2}$ ## Lösungen | Aufgabe | Lösung | | --- | --- | | 1 | $15(3x + 1)^4$ | | 2 | $\dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 9}}$ | | 3 | $4\cos(4x)$ | | 4 | $2x\,e^{x^2}$ | | 5 | $\dfrac{3x^2 + 2}{x^3 + 2x}$ | | 6 | $-\dfrac{6}{(2x - 5)^4}$ | | 7 | $8\sin(4x)\cos(4x) = 4\sin(8x)$ | | 8 | $-\sin x\,e^{\cos x}$ | | 9 | $\dfrac{\sec^2\!\left(\sqrt{x}\right)}{2\sqrt{x}}$ | | 10 | $2x\sin(3x) + 3x^2\cos(3x)$ | | 11 | $(1 - 2x)\,e^{-2x}$ | | 12 | $\dfrac{2(x+1)^3(x - 1)}{x^3}$ | ## Lösungswege Schritt für Schritt **1.** Die innere Funktion ist $u = 3x + 1$ mit $u' = 3$. Die äußere Funktion ist $u^5$ mit der Ableitung $5u^4$: $$y' = 5(3x+1)^4 \cdot 3 = 15(3x+1)^4$$ **2.** Schreibe $y = (x^2 + 9)^{1/2}$. Die innere Ableitung ist $2x$: $$y' = \frac{1}{2}(x^2+9)^{-1/2}\cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2+9}}$$ **3.** Die äußere Funktion ist $\sin u$ mit der Ableitung $\cos u$, und es gilt $u' = 4$: $$y' = \cos(4x)\cdot 4 = 4\cos(4x)$$ **4.** Die Ableitung von $e^u$ ist $e^u \cdot u'$, hier mit $u = x^2$: $$y' = e^{x^2}\cdot 2x = 2x\,e^{x^2}$$ **5.** Die Ableitung von $\ln u$ ist $\frac{u'}{u}$ (siehe [Ableitung von ln x](/derivatives/ln-x)): $$y' = \frac{3x^2 + 2}{x^3 + 2x}$$ **6.** Schreibe um zu $y = (2x - 5)^{-3}$ und wende auf die äußere Funktion die Potenzregel an: $$y' = -3(2x - 5)^{-4}\cdot 2 = -\frac{6}{(2x-5)^4}$$ **7.** Hier gibt es drei Schichten: ein Quadrat, einen Sinus und $4x$. Arbeite dich von außen nach innen vor: $$y' = 2\sin(4x)\cdot\cos(4x)\cdot 4 = 8\sin(4x)\cos(4x)$$ Mit der Doppelwinkelformel $2\sin\theta\cos\theta = \sin 2\theta$ ergibt das $4\sin(8x)$. **8.** Die äußere Funktion ist $e^u$ mit $u = \cos x$ und $u' = -\sin x$: $$y' = e^{\cos x}\cdot(-\sin x) = -\sin x\,e^{\cos x}$$ **9.** Die äußere Funktion ist $\tan u$ mit der Ableitung $\sec^2 u$, und $u = \sqrt{x}$ hat die Ableitung $u' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$: $$y' = \sec^2\!\left(\sqrt{x}\right)\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}$$ **10.** Verwende die [Produktregel](/rules/product-rule) und für $\sin(3x)$ die Kettenregel: $$y' = 2x\sin(3x) + x^2\cdot 3\cos(3x)$$ **11.** Wieder die Produktregel. Die Ableitung von $e^{-2x}$ ist $-2e^{-2x}$: $$y' = 1\cdot e^{-2x} + x\cdot(-2e^{-2x}) = (1 - 2x)e^{-2x}$$ **12.** Verwende die [Quotientenregel](/rules/quotient-rule) und im Zähler die Kettenregel: $$y' = \frac{4(x+1)^3\cdot x^2 - (x+1)^4\cdot 2x}{x^4}$$ Klammere im Zähler $2x(x+1)^3$ aus: $2x(x+1)^3\big(2x - (x + 1)\big) = 2x(x+1)^3(x-1)$. Kürze ein $x$: $$y' = \frac{2(x+1)^3(x-1)}{x^3}$$ ## Typische Fehler bei diesen Aufgaben - **Die innere Ableitung vergessen.** In Aufgabe 3 ist $\cos(4x)$ allein falsch. Genau um den Faktor $4$ geht es bei der Kettenregel. - **Das Innere verändern.** Die Ableitung von $\sin(4x)$ ist $4\cos(4x)$, nicht $4\cos(4)$ oder $\cos(4)$. Das Innere bleibt genau so, wie es war. - **Eine Schicht übersehen.** Aufgabe 7 hat drei Schichten, also hat das Ergebnis drei Faktoren. Zähle sie, bevor du fertig bist. - **Zu früh ausmultiplizieren.** In Aufgabe 1 kannst du $(3x+1)^5$ zwar zuerst ausmultiplizieren, aber das ist langsam und fehleranfällig. Mit der Kettenregel brauchst du nur eine Zeile. ## Weiter üben Diese 12 Aufgaben haben feste Zahlen. Für unbegrenztes Üben mit jedes Mal neuen Zahlen und sofortigem Feedback zu jedem Schritt probiere die [Lektionen zur Kettenregel](/learn/calculus-1/derivative-rules/chain-rule-powers) und danach die [gemischten Übungen zur Kettenregel](/learn/calculus-1/derivative-rules/chain-rule-general). Für die Theorie mit weiteren Beispielen lies den [Leitfaden zur Kettenregel](/blog/chain-rule). ## Häufig gestellte Fragen ### Woran erkenne ich, wann ich die Kettenregel brauche? Immer wenn eine Funktion in einer anderen steckt, zum Beispiel $(x^2+1)^5$, $\sin(3x)$ oder $e^{x^2}$. Wenn du beim Ersetzen des Inneren durch ein bloßes $x$ eine Funktion erhältst, die du schon ableiten kannst, ist die Kettenregel gefragt. ### Wie kann ich ein Ergebnis mit der Kettenregel überprüfen? Zähle die Schichten und prüfe, ob jede einen Faktor geliefert hat. Du kannst auch einen Wert testen: Wähle eine Zahl für $x$, schätze die Steigung mit einem kleinen Schritt wie $\frac{f(x+0.001)-f(x)}{0.001}$ und vergleiche mit deiner Formel. ### Kann man die Kettenregel mit der Produktregel kombinieren? Ja, und das kommt oft vor. Bei $x^2\sin(3x)$ verwendest du die Produktregel für das Produkt und die Kettenregel, um $\sin(3x)$ abzuleiten. Die Aufgaben 10 und 11 unten zeigen das.