# Aufgaben zu Konvergenzkriterien für Reihen mit Lösungen

> 12 Aufgaben zur Konvergenz von Reihen mit Lösungen: Nullfolgenkriterium, p-Reihe, geometrische Reihe, Vergleichs-, Integral-, Quotienten- und Wurzelkriterium.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/uebungsaufgaben/aufgaben-konvergenzkriterien
Aktualisiert: 2026-11-06

$$ L = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|: \quad L < 1 \text{ konvergent},\ L > 1 \text{ divergent} $$

## Auf einen Blick

- **Aufgaben:** 12, mit Lösungen und ausführlichem Lösungsweg
- **Niveau:** Calculus 2 und AP Calculus BC, Unit 10
- **Du brauchst:** Grenzwerte im Unendlichen und die [Summenformel der geometrischen Reihe](/rules/geometric-series-formula)
- **Grundidee:** Ordne der Form der Reihenglieder das Kriterium zu, das genau diese Form behandelt
- **Mit neuen Zahlen üben:** [Lektion zur Wahl des Kriteriums](/learn/calculus-2/sequences-and-series/choosing-a-test)

## Das Wichtigste

- Probier immer zuerst das [Nullfolgenkriterium](/rules/nth-term-test): Gehen die Glieder nicht gegen $0$, divergiert die Reihe.
- Nutze $p$-Reihen und geometrische Reihen als Vergleichsreihen und vergleiche andere Reihen mit ihnen.
- Fakultäten und $n$-te Potenzen sprechen für das Quotienten- oder Wurzelkriterium. Wechselnde Vorzeichen sprechen für das Leibniz-Kriterium.

Diese **Aufgaben zu Konvergenzkriterien** bieten dir eine Mischung von Reihen, bei denen du entscheiden sollst, ob sie konvergieren oder divergieren, und warum. Die eigentliche Kunst ist die Wahl des richtigen Kriteriums, also versuch das Kriterium zu benennen, bevor du die Lösung liest. Zuerst kommen die Ergebnisse, danach die ausführlichen Lösungswege.

Eine kurze Übersicht über die Kriterien:

| Form der Glieder | Passendes Kriterium |
| --- | --- |
| Glieder gehen nicht gegen $0$ | [Nullfolgenkriterium](/rules/nth-term-test): divergiert |
| $ar^n$ | Geometrische Reihe: konvergiert für $\lvert r\rvert < 1$ |
| $\frac{1}{n^p}$ | $p$-Reihe: konvergiert für $p > 1$ |
| Gebrochenrationale Terme oder Wurzelterme | Majoranten-/Minorantenkriterium oder Grenzwertkriterium |
| Fakultäten oder $c^n$ | [Quotientenkriterium](/rules/ratio-test) |
| $(\dots)^n$ | Wurzelkriterium |
| $(-1)^n b_n$ | [Leibniz-Kriterium](/rules/alternating-series-test) |

## Aufgaben

Entscheide, ob die Reihe konvergiert oder divergiert.

**Vergleichsreihen**

1. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}$
2. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n + 1}$
3. $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^n$ (bestimme auch den Reihenwert)
4. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}$

**Vergleichs- und Integralkriterium**

5. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2 + 1}$
6. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n - 1}$
7. $\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\ln n}$

**Quotienten- und Wurzelkriterium**

8. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n}$
9. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{10^n}$
10. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{2n + 1}\right)^n$

**Alternierende Reihen**

11. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}$
12. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^2}$

## Lösungen

| Aufgabe | Ergebnis | Kriterium |
| --- | --- | --- |
| 1 | Konvergiert | $p$-Reihe, $p = 3$ |
| 2 | Divergiert | Nullfolgenkriterium, Glieder $\to 1$ |
| 3 | Konvergiert gegen $3$ | Geometrische Reihe, $r = \frac{2}{3}$ |
| 4 | Divergiert | $p$-Reihe, $p = \frac{1}{2}$ |
| 5 | Konvergiert | Majorante $\frac{1}{n^2}$ |
| 6 | Divergiert | Grenzwertkriterium mit $\frac{1}{n}$ |
| 7 | Divergiert | Integralkriterium |
| 8 | Konvergiert | Quotientenkriterium, $L = \frac{1}{2}$ |
| 9 | Divergiert | Quotientenkriterium, $L = \infty$ |
| 10 | Konvergiert | Wurzelkriterium, $L = \frac{1}{2}$ |
| 11 | Konvergiert bedingt | Leibniz-Kriterium |
| 12 | Konvergiert absolut | $\sum\frac{1}{n^2}$ konvergiert |

## Lösungswege Schritt für Schritt

**1.** Das ist eine $p$-Reihe mit $p = 3 > 1$, also konvergiert sie.

**2.** Die Glieder gehen gegen $1$, nicht gegen $0$:

$$\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n + 1} = 1 \neq 0$$

Nach dem Nullfolgenkriterium divergiert die Reihe.

**3.** Geometrische Reihe mit Anfangsglied $1$ und Quotient $\frac{2}{3}$. Da $|r| < 1$ gilt:

$$\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^n = \frac{1}{1 - \frac{2}{3}} = 3$$

**4.** $\frac{1}{\sqrt{n}} = \frac{1}{n^{1/2}}$ ergibt eine $p$-Reihe mit $p = \frac{1}{2} \le 1$, also divergiert sie.

**5.** Für alle $n$ gilt $n^2 + 1 > n^2$, also $\frac{1}{n^2 + 1} < \frac{1}{n^2}$. Die größere Reihe $\sum\frac{1}{n^2}$ konvergiert, also konvergiert auch die kleinere (Majorantenkriterium).

**6.** Vergleiche mit $\frac{1}{n}$:

$$\lim_{n\to\infty}\frac{1/(2n - 1)}{1/n} = \lim_{n\to\infty}\frac{n}{2n - 1} = \frac{1}{2}$$

Der Grenzwert ist positiv und endlich, und $\sum\frac{1}{n}$ divergiert, also divergiert auch diese Reihe.

**7.** Die Funktion $\frac{1}{x\ln x}$ ist für $x \ge 2$ positiv und monoton fallend. Mit $u = \ln x$ gilt:

$$\int_2^{\infty}\frac{1}{x\ln x}\,dx = \lim_{b\to\infty}\Big[\ln(\ln x)\Big]_2^{b} = \infty$$

Das Integral divergiert, also divergiert die Reihe.

**8.** Quotientenkriterium:

$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{n + 1}{2^{n+1}}\cdot\frac{2^n}{n} = \frac{n + 1}{2n} \to \frac{1}{2} < 1$$

Die Reihe konvergiert. Ihr Wert ist übrigens $2$.

**9.** Quotientenkriterium:

$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n + 1)!}{10^{n+1}}\cdot\frac{10^n}{n!} = \frac{n + 1}{10} \to \infty$$

Die Reihe divergiert. Fakultäten wachsen schneller als jede Exponentialfunktion.

**10.** Wurzelkriterium:

$$\sqrt[n]{a_n} = \frac{n}{2n + 1} \to \frac{1}{2} < 1$$

Die Reihe konvergiert.

**11.** Die Glieder $\frac{1}{n}$ sind positiv, monoton fallend und gehen gegen $0$, also konvergiert die Reihe nach dem Leibniz-Kriterium. Da aber $\sum\frac{1}{n}$ divergiert, ist die Konvergenz nur bedingt. Der Reihenwert ist $\ln 2$.

**12.** Die Beträge bilden $\sum\frac{1}{n^2}$, eine konvergente $p$-Reihe. Die Reihe konvergiert also absolut.

## Typische Fehler bei diesen Aufgaben

- **Mit dem Nullfolgenkriterium Konvergenz beweisen wollen.** Dass die Glieder gegen $0$ gehen, zeigt keine Konvergenz. In Aufgabe 7 gehen die Glieder gegen $0$, und die Reihe divergiert trotzdem.
- **In die falsche Richtung vergleichen.** Kleiner als eine divergente Reihe oder größer als eine konvergente Reihe zu sein, beweist nichts.
- **Das Quotientenkriterium auf $p$-Reihen anwenden.** Für $\frac{1}{n^p}$ ist der Grenzwert des Quotienten immer $1$, und damit liefert das Kriterium keine Aussage.
- **Die absolute Konvergenz nicht prüfen.** Bei alternierenden Reihen gehört zur vollständigen Antwort, ob die Konvergenz absolut oder bedingt ist.

## Weiter üben

Für unbegrenzt viele Reihen mit sofortigem Feedback probier die [Lektion zur Wahl des Kriteriums](/learn/calculus-2/sequences-and-series/choosing-a-test), die [Lektion zu Quotienten- und Wurzelkriterium](/learn/calculus-2/sequences-and-series/ratio-and-root-tests) und die [gemischten Übungen zu Reihen](/learn/calculus-2/sequences-and-series/series-practice). Die Überlegungen hinter jedem Kriterium erklärt der [Leitfaden zu Konvergenzkriterien](/blog/convergence-tests). Danach nutzt du diese Kriterien, um in den [Aufgaben zu Potenzreihen](/practice-problems/power-series) Konvergenzintervalle zu bestimmen.

## Häufig gestellte Fragen

### Welches Konvergenzkriterium sollte ich zuerst verwenden?

Prüfe zuerst das Nullfolgenkriterium, denn damit ist die Aufgabe manchmal in einer Zeile erledigt. Achte dann auf die Form: $r^n$ ist geometrisch, $\frac{1}{n^p}$ ist eine $p$-Reihe, Fakultäten sprechen für das Quotientenkriterium, $(\dots)^n$ für das Wurzelkriterium und gebrochenrationale Terme für einen Vergleich.

### Wenn die Glieder gegen null gehen, konvergiert dann die Reihe?

Nicht unbedingt. Bei der harmonischen Reihe $\sum\frac{1}{n}$ gehen die Glieder gegen $0$, trotzdem divergiert sie. Dass die Glieder gegen $0$ gehen, ist für Konvergenz notwendig, aber nicht hinreichend.

### Was ist der Unterschied zwischen absoluter und bedingter Konvergenz?

Eine Reihe konvergiert absolut, wenn $\sum|a_n|$ konvergiert. Sie konvergiert bedingt, wenn $\sum a_n$ konvergiert, $\sum|a_n|$ aber nicht. Die alternierende harmonische Reihe in Aufgabe 11 ist das Standardbeispiel.