# Aufgaben zu Lagrange-Multiplikatoren mit Lösungen > 12 Aufgaben zu Lagrange-Multiplikatoren mit Lösungen: Extrema auf Geraden und Kreisen, nächstgelegene Punkte, drei Variablen und die Bedeutung von Lambda. Quelle: https://practicecalculus.com/de/uebungsaufgaben/aufgaben-lagrange-multiplikatoren Aktualisiert: 2026-11-06 $$ \nabla f = \lambda\,\nabla g, \qquad g(x, y) = k $$ ## Auf einen Blick - **Aufgaben:** 12, mit Lösungen und vollständigem Lösungsweg - **Niveau:** Calculus 3 - **Du brauchst:** [Partielle Ableitungen](/practice-problems/partial-derivatives) und das Lösen von Gleichungssystemen - **Grundidee:** In einem Extremum unter Nebenbedingung ist der Gradient von $f$ parallel zum Gradienten der Nebenbedingung - **Mit neuen Zahlen üben:** [Lektion zu Lagrange-Multiplikatoren](/learn/calculus-3/partial-derivatives/lagrange-multipliers) ## Das Wichtigste - Schreibe $\nabla f = \lambda\nabla g$ als eine Gleichung pro Variable und nimm die Nebenbedingung selbst hinzu. - Löse das System, indem du $\lambda$ eliminierst: Dividiere oder vergleiche Gleichungen, um eine Beziehung zwischen den Variablen zu erhalten. - Setze jeden Kandidaten in $f$ ein. Der größte Wert ist das Maximum, der kleinste das Minimum. Diese **Aufgaben zu Lagrange-Multiplikatoren** behandeln Aufgaben mit zwei Variablen auf Geraden und Kreisen, die Suche nach dem nächstgelegenen Punkt, Aufgaben mit drei Variablen und die Bedeutung von $\lambda$. Versuche jede Aufgabe zuerst selbst. Die Ergebnisse stehen zuerst, danach folgen die ausführlichen Lösungswege. Das Verfahren, um Extremwerte von $f$ unter der Nebenbedingung $g = k$ zu finden: $$\nabla f = \lambda\,\nabla g, \qquad g(x, y) = k$$ Löse das Gleichungssystem und vergleiche dann $f$ an jeder Lösung. Die Geometrie dahinter erklärt der [Leitfaden zu Lagrange-Multiplikatoren](/blog/lagrange-multipliers). ## Aufgaben **Nebenbedingung auf einer Geraden** 1. Maximiere $f(x, y) = xy$ unter der Nebenbedingung $x + y = 10$. 2. Minimiere $f(x, y) = x^2 + y^2$ unter der Nebenbedingung $x + y = 4$. 3. Bestimme den Punkt auf der Geraden $2x + y = 5$, der dem Ursprung am nächsten liegt. **Nebenbedingung auf einem Kreis** 4. Bestimme Maximum und Minimum von $f(x, y) = x + y$ auf $x^2 + y^2 = 2$. 5. Bestimme Maximum und Minimum von $f(x, y) = xy$ auf $x^2 + y^2 = 8$. 6. Bestimme Maximum und Minimum von $f(x, y) = x^2y$ auf $x^2 + y^2 = 3$. 7. Bestimme Maximum und Minimum von $f(x, y) = 2x + 3y$ auf $x^2 + y^2 = 13$. **Drei Variablen und Anwendungen** 8. Maximiere $f(x, y, z) = xyz$ unter der Nebenbedingung $x + y + z = 12$ mit $x, y, z > 0$. 9. Bestimme den Punkt auf der Ebene $x + 2y + 2z = 9$, der dem Ursprung am nächsten liegt. 10. Ein geschlossener Quader hat das Volumen $8$. Bestimme die Maße mit dem kleinsten Oberflächeninhalt. 11. Ein Rechteck hat den Umfang $40$. Bestimme seinen größtmöglichen Flächeninhalt. 12. Bestimme in Aufgabe 1 den Wert von $\lambda$. Schätze damit das neue Maximum, wenn die Nebenbedingung zu $x + y = 11$ wird, und vergleiche mit dem exakten Wert. ## Lösungen | Aufgabe | Lösung | | --- | --- | | 1 | Maximum $25$ bei $(5, 5)$ | | 2 | Minimum $8$ bei $(2, 2)$ | | 3 | $(2, 1)$, Abstand $\sqrt{5}$ | | 4 | Maximum $2$ bei $(1, 1)$, Minimum $-2$ bei $(-1, -1)$ | | 5 | Maximum $4$ bei $\pm(2, 2)$, Minimum $-4$ bei $\pm(2, -2)$ | | 6 | Maximum $2$ bei $(\pm\sqrt{2}, 1)$, Minimum $-2$ bei $(\pm\sqrt{2}, -1)$ | | 7 | Maximum $13$ bei $(2, 3)$, Minimum $-13$ bei $(-2, -3)$ | | 8 | Maximum $64$ bei $(4, 4, 4)$ | | 9 | $(1, 2, 2)$, Abstand $3$ | | 10 | Ein Würfel $2\times 2\times 2$, Oberflächeninhalt $24$ | | 11 | $100$, ein Quadrat $10\times 10$ | | 12 | $\lambda = 5$; Schätzung $30$, exakt $30.25$ | ## Lösungswege Schritt für Schritt **1.** $\nabla f = \langle y, x\rangle$ und $\nabla g = \langle 1, 1\rangle$. Also ist $y = \lambda$ und $x = \lambda$, woraus $x = y$ folgt. Die Nebenbedingung liefert $x = y = 5$ und $f = 25$. **2.** $\langle 2x, 2y\rangle = \lambda\langle 1, 1\rangle$, also $x = y = 2$ und $f = 8$. Entlang der Geraden wächst $x^2 + y^2$ unbeschränkt, daher ist das ein Minimum. **3.** Minimiere das Abstandsquadrat $x^2 + y^2$. Dann gilt $2x = 2\lambda$ und $2y = \lambda$, also $x = 2y$. Die Nebenbedingung liefert $4y + y = 5$, also $y = 1$ und $x = 2$. Der Abstand ist $\sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$. **4.** $\langle 1, 1\rangle = \lambda\langle 2x, 2y\rangle$, also $x = y$. Dann ist $2x^2 = 2$, also $x = \pm 1$. Vergleiche: $f(1, 1) = 2$ und $f(-1, -1) = -2$. **5.** $y = 2\lambda x$ und $x = 2\lambda y$. Multipliziere: $xy = 4\lambda^2 xy$. Ist $xy \neq 0$, dann folgt $\lambda = \pm\frac{1}{2}$ und $x^2 = y^2$. Die Nebenbedingung liefert $x^2 = 4$. Die Punkte $(2, 2)$ und $(-2, -2)$ ergeben $4$, die Punkte $(2, -2)$ und $(-2, 2)$ ergeben $-4$. Ist $xy = 0$, dann ist $f = 0$, also weder Maximum noch Minimum. **6.** $2xy = 2\lambda x$ und $x^2 = 2\lambda y$. Ist $x \neq 0$, liefert die erste Gleichung $\lambda = y$ und die zweite $x^2 = 2y^2$. Die Nebenbedingung wird zu $3y^2 = 3$, also $y = \pm 1$ und $x = \pm\sqrt{2}$. Dann ist $f = x^2y = 2y$, also $2$ oder $-2$. Der Fall $x = 0$ ergibt $f = 0$. **7.** $2 = 2\lambda x$ und $3 = 2\lambda y$, also $\frac{y}{x} = \frac{3}{2}$ und $y = \frac{3}{2}x$. Die Nebenbedingung liefert $x^2 + \frac{9}{4}x^2 = 13$, also $x^2 = 4$ und $x = \pm 2$. Die Punkte $(2, 3)$ und $(-2, -3)$ ergeben $13$ und $-13$. **8.** $yz = \lambda$, $xz = \lambda$ und $xy = \lambda$. Der Vergleich ergibt $x = y = z$, also ist jede Variable $4$ und $f = 64$. **9.** Minimiere $x^2 + y^2 + z^2$. Dann gilt $\langle 2x, 2y, 2z\rangle = \lambda\langle 1, 2, 2\rangle$, also $(x, y, z) = t(1, 2, 2)$. Die Nebenbedingung liefert $t + 4t + 4t = 9$, also $t = 1$. Der Punkt ist $(1, 2, 2)$ und der Abstand $\sqrt{1 + 4 + 4} = 3$. **10.** Minimiere $S = 2(xy + yz + xz)$ unter der Nebenbedingung $xyz = 8$. Die Gleichungen $2(y + z) = \lambda yz$, $2(x + z) = \lambda xz$ und $2(x + y) = \lambda xy$ ergeben $x = y = z$. Dann ist $x^3 = 8$, der Quader ist also ein Würfel $2\times 2\times 2$ mit $S = 24$. **11.** Maximiere $xy$ unter der Nebenbedingung $2x + 2y = 40$. Dann gilt $y = 2\lambda$ und $x = 2\lambda$, also $x = y = 10$, und der Flächeninhalt ist $100$. **12.** In Aufgabe 1 ist $\lambda = x = 5$. Erhöht man die Nebenbedingung von $10$ auf $11$, sollte das Maximum um etwa $5$ auf $30$ steigen. Das exakte Maximum für $x + y = 11$ ist $5.5^2 = 30.25$. Sehr nah dran. ## Typische Fehler bei diesen Aufgaben - **Durch eine Variable dividieren, die $0$ sein könnte.** Prüfe in den Aufgaben 5 und 6 die Fälle $x = 0$ oder $y = 0$ getrennt. - **Die Nebenbedingung vergessen.** $\nabla f = \lambda\nabla g$ allein hat zu viele Unbekannte. Die Nebenbedingung ist die zusätzliche Gleichung. - **Bei einem Punkt aufhören.** Auf einem Kreis gibt es sowohl ein Maximum als auch ein Minimum. Bestimme jede Lösung und vergleiche. - **Den Abstand mit Wurzel minimieren.** Minimiere stattdessen das Abstandsquadrat. Es hat dieselbe Minimumstelle und einfachere Ableitungen. ## Weiter üben Für unbegrenzt viele Aufgaben mit sofortigem Feedback probiere die [Lektion zu Lagrange-Multiplikatoren](/learn/calculus-3/partial-derivatives/lagrange-multipliers) und die [Lektion zu kritischen Punkten und dem Test mit der zweiten Ableitung](/learn/calculus-3/partial-derivatives/critical-points-and-second-derivative-test). Zum Üben der Gradienten, die diese Aufgaben brauchen, nutze die [Aufgaben zu partiellen Ableitungen](/practice-problems/partial-derivatives). ## Häufig gestellte Fragen ### Wie löst man die Lagrange-Gleichungen? Schreibe jede Komponente von $\nabla f = \lambda\nabla g$ auf, löse jede nach $\lambda$ auf und setze die Ergebnisse gleich. So erhältst du eine Beziehung wie $x = y$ oder $x^2 = 2y^2$. Setze sie in die Nebenbedingung ein. Achte auf Fälle, in denen eine Variable $0$ ist, denn beim Dividieren durch sie würden Lösungen verloren gehen. ### Woran erkenne ich, ob ein Punkt ein Maximum oder ein Minimum ist? Bei einer abgeschlossenen, beschränkten Nebenbedingung wie einem Kreis setzt du alle Kandidaten in $f$ ein und vergleichst. Bei einer unbeschränkten Nebenbedingung wie einer Geraden überlegst du, was weit draußen passiert: In Aufgabe 2 wächst $x^2 + y^2$ entlang der Geraden unbeschränkt, also ist der einzige Kandidat ein Minimum. ### Was bedeutet Lambda? Es ist die Rate, mit der sich der optimale Wert ändert, wenn sich der Wert $k$ der Nebenbedingung ändert. Bei $\lambda = 5$ steigt der beste Wert von $f$ um etwa $5$, wenn du $k$ um $1$ erhöhst. Aufgabe 12 prüft das nach.