# Lineare Approximation: Aufgaben mit Lösungen > 12 Aufgaben zur linearen Approximation mit Ergebnissen und Lösungen: Linearisierung, Wurzeln und Logarithmen abschätzen, Differentiale und Fehler. Quelle: https://practicecalculus.com/de/uebungsaufgaben/aufgaben-lineare-approximation Aktualisiert: 2026-11-06 $$ L(x) = f(a) + f'(a)(x - a) $$ ## Auf einen Blick - **Aufgaben:** 12, mit Ergebnissen und vollständigen Lösungen - **Niveau:** Analysis 1 und AP Calculus AB, Einheit 4 - **Du brauchst:** Ableitungen und [Tangenten](/learn/calculus-1/the-derivative/tangent-lines) - **Grundidee:** In der Nähe von x = a liegt eine Funktion dicht an ihrer Tangente, also schätzt du mit der Tangente - **Mit neuen Zahlen üben:** [Lektion zur linearen Approximation](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/linear-approximation-and-mvt) ## Das Wichtigste - Wähle eine Stelle $a$ nahe am gesuchten Wert, an der sich $f(a)$ und $f'(a)$ exakt leicht berechnen lassen. - Ist $f'' < 0$ nahe $a$, liegt die Tangente über der Kurve und die Schätzung ist zu groß. Ist $f'' > 0$, ist sie zu klein. - Differentiale beruhen auf derselben Idee: $dy = f'(x)\,dx$ schätzt die Änderung $\Delta y$. Diese **Aufgaben zur linearen Approximation** beginnen mit dem Aufstellen einer Linearisierung, schätzen damit Wurzeln, Sinuswerte, Logarithmen und Potenzen ab und gehen dann zu Differentialen, Messfehlern sowie zu großen und zu kleinen Schätzungen über. Versuche jede Aufgabe zuerst selbst. Die Ergebnisse stehen direkt nach der Liste, danach folgen die vollständigen Lösungen. Die Linearisierung von $f$ an der Stelle $x = a$ ist ihre Tangente: $$L(x) = f(a) + f'(a)(x - a)$$ Für $x$ nahe $a$ gilt $f(x) \approx L(x)$. Die Begründung und weitere Beispiele findest du im [Leitfaden zur linearen Approximation](/blog/linear-approximation). ## Aufgaben **Linearisierung** 1. Bestimme die Linearisierung von $f(x) = \sqrt{x}$ an der Stelle $a = 4$. 2. Schätze mit Aufgabe 1 den Wert $\sqrt{4.1}$ ab. 3. Schätze $\sqrt[3]{8.2}$ ab. **Werte abschätzen** 4. Schätze $\sin(0.1)$ ab. 5. Schätze $\ln(1.05)$ ab. 6. Schätze $e^{0.02}$ ab. 7. Schätze $(1.01)^{10}$ ab. 8. Schätze $\cos 62^\circ$ ab. **Differentiale und Fehler** 9. Bestimme für $y = x^3$ die Werte $dy$ und $\Delta y$ bei $x = 2$ und $dx = 0.1$. 10. Der Radius einer Kugel wird mit $10$ cm gemessen, mit einem möglichen Fehler von $0.05$ cm. Schätze den möglichen Fehler im berechneten Volumen ab. **Das Ergebnis nutzen** 11. Ist die Schätzung aus Aufgabe 2 zu groß oder zu klein? Begründe. 12. Für eine Funktion gilt $f(3) = 5$ und $f'(3) = -2$. Schätze $f(3.2)$ ab. ## Ergebnisse | Aufgabe | Ergebnis | | --- | --- | | 1 | $L(x) = 2 + \dfrac{1}{4}(x - 4)$ | | 2 | $2.025$ (exakt $2.02485\ldots$) | | 3 | $2 + \dfrac{1}{60} \approx 2.0167$ (exakt $2.01653\ldots$) | | 4 | $0.1$ (exakt $0.09983\ldots$) | | 5 | $0.05$ (exakt $0.04879\ldots$) | | 6 | $1.02$ (exakt $1.02020\ldots$) | | 7 | $1.1$ (exakt $1.10462\ldots$) | | 8 | $\dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{3}\,\pi}{180} \approx 0.4698$ (exakt $0.46947\ldots$) | | 9 | $dy = 1.2$, $\Delta y = 1.261$ | | 10 | Etwa $20\pi \approx 62.8$ cm³ (ein relativer Fehler von $1.5\%$) | | 11 | Zu groß, denn $\sqrt{x}$ ist rechtsgekrümmt | | 12 | $4.6$ | ## Lösungen Schritt für Schritt **1.** $f(4) = 2$ und $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$, also $f'(4) = \frac{1}{4}$: $$L(x) = 2 + \frac{1}{4}(x - 4)$$ **2.** Setze $x = 4.1$ in die Gerade ein: $$\sqrt{4.1} \approx 2 + \frac{1}{4}(0.1) = 2.025$$ **3.** Verwende $f(x) = \sqrt[3]{x}$ an der Stelle $a = 8$, denn $\sqrt[3]{8} = 2$. Die Ableitung ist $f'(x) = \frac{1}{3}x^{-2/3}$, also $f'(8) = \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4} = \frac{1}{12}$: $$\sqrt[3]{8.2} \approx 2 + \frac{1}{12}(0.2) = 2 + \frac{1}{60} \approx 2.0167$$ **4.** Verwende $f(x) = \sin x$ an der Stelle $a = 0$. Es ist $f(0) = 0$ und $f'(0) = \cos 0 = 1$, also $L(x) = x$: $$\sin(0.1) \approx 0.1$$ Das ist die Kleinwinkelnäherung $\sin x \approx x$, die nur im Bogenmaß funktioniert. **5.** Verwende $f(x) = \ln x$ an der Stelle $a = 1$. Es ist $f(1) = 0$ und $f'(1) = 1$, also $L(x) = x - 1$: $$\ln(1.05) \approx 0.05$$ **6.** Verwende $f(x) = e^x$ an der Stelle $a = 0$. Es ist $f(0) = 1$ und $f'(0) = 1$, also $L(x) = 1 + x$: $$e^{0.02} \approx 1.02$$ **7.** Verwende $f(x) = x^{10}$ an der Stelle $a = 1$. Es ist $f(1) = 1$ und $f'(x) = 10x^9$, also $f'(1) = 10$: $$(1.01)^{10} \approx 1 + 10(0.01) = 1.1$$ **8.** Rechne im Bogenmaß. Nimm $a = 60^\circ = \frac{\pi}{3}$, wo $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ gilt und die Steigung $-\sin\frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ ist. Der Schritt ist $2^\circ = \frac{2\pi}{180} = \frac{\pi}{90}$: $$\cos 62^\circ \approx \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\pi}{90} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}\,\pi}{180} \approx 0.5 - 0.0302 = 0.4698$$ **9.** Das Differential ist $dy = f'(x)\,dx = 3x^2\,dx$: $$dy = 3(2)^2(0.1) = 1.2$$ Die tatsächliche Änderung ist $\Delta y = (2.1)^3 - 2^3 = 9.261 - 8 = 1.261$. Das Differential ist eine gute, aber einfachere Schätzung. **10.** Das Volumen ist $V = \frac{4}{3}\pi r^3$, also $dV = 4\pi r^2\,dr$: $$dV = 4\pi(10)^2(0.05) = 20\pi \approx 62.8 \text{ cm}^3$$ Das Volumen beträgt $\frac{4000\pi}{3} \approx 4189$ cm³, der relative Fehler ist also $\frac{20\pi}{4000\pi/3} = 0.015$, das sind $1.5\%$. Das ist das Dreifache des Fehlers von $0.5\%$ beim Radius, weil der Radius in der dritten Potenz eingeht. **11.** Für $f(x) = \sqrt{x}$ gilt $f''(x) = -\frac{1}{4}x^{-3/2} < 0$, der Graph ist also rechtsgekrümmt. Eine rechtsgekrümmte Kurve liegt unter ihren Tangenten, deshalb ist die Schätzung $2.025$ ein wenig zu groß. Der exakte Wert $2.02485$ bestätigt das. **12.** Verwende die Linearisierung an der Stelle $a = 3$: $$f(3.2) \approx f(3) + f'(3)(0.2) = 5 - 2(0.2) = 4.6$$ ## Typische Fehler bei diesen Aufgaben - **Ein weit entferntes $a$ wählen.** Für $\sqrt{4.1}$ nimm $a = 4$, nicht $a = 1$. Je näher $a$ liegt, desto besser die Schätzung. - **Mit Grad rechnen.** In Aufgabe 8 muss der Schritt im Bogenmaß stehen, also $\frac{\pi}{90}$ und nicht $2$. - **$dy$ und $\Delta y$ verwechseln.** $dy$ ist die Änderung entlang der Tangente, $\Delta y$ die tatsächliche Änderung entlang der Kurve. - **$x - a$ falsch einsetzen.** In Aufgabe 3 ist der Schritt $8.2 - 8 = 0.2$, nicht $8.2$. ## Weiter üben Diese 12 Aufgaben haben feste Zahlen. Für unbegrenztes Üben mit immer neuen Zahlen und sofortigem Feedback probiere die [Lektion zu linearer Approximation und Mittelwertsatz](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/linear-approximation-and-mvt). Der [Mittelwertsatz](/practice-problems/mean-value-theorem) ist die exakte Fassung derselben Idee: Die mittlere Steigung über einem Intervall ist an einer Stelle im Inneren gleich der Tangentensteigung. Willst du genauer schätzen, als es eine Gerade erlaubt, sind [Taylorpolynome](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/taylor-polynomials) der nächste Schritt. ## Häufig gestellte Fragen ### Wie lautet die Formel der linearen Approximation? Die Linearisierung von $f$ an der Stelle $x = a$ ist $L(x) = f(a) + f'(a)(x - a)$, also die Tangente bei $a$. Für $x$ nahe $a$ gilt $f(x) \approx L(x)$. ### Wie wählt man a bei einer linearen Approximation? Wähle einen Wert nahe an der gesuchten Zahl, an dem sich die Funktion exakt leicht auswerten lässt. Für $\sqrt{4.1}$ nimm $a = 4$, für $\sqrt[3]{8.2}$ nimm $a = 8$ und für $\sin(0.1)$ nimm $a = 0$. ### Woran erkennt man, ob eine lineare Approximation zu groß ist? Schau auf die Krümmung. Ist der Graph nahe $a$ rechtsgekrümmt ($f'' < 0$), liegt die Tangente darüber und die Schätzung ist zu groß. Ist er linksgekrümmt ($f'' > 0$), ist die Schätzung zu klein.