# Parameterkurven und Polarkoordinaten: Aufgaben mit Lösungen > 12 Aufgaben zu Parameterkurven und Polarkoordinaten mit Lösungen: dy/dx, Tangenten, Bogenlänge, Koordinaten umrechnen, Steigung und Fläche in Polarform. Quelle: https://practicecalculus.com/de/uebungsaufgaben/aufgaben-parameterkurven-und-polarkoordinaten Aktualisiert: 2026-11-06 $$ \frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}, \qquad A = \frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta} r^2\,d\theta $$ ## Auf einen Blick - **Aufgaben:** 12, mit Ergebnissen und vollständigen Lösungen - **Niveau:** Analysis 2 und AP Calculus BC, Einheit 9 - **Du brauchst:** Die [Kettenregel](/rules/chain-rule), Werte der Winkelfunktionen und [trigonometrische Integrale](/practice-problems/trig-integrals) - **Grundidee:** Parameterform: die Ableitungen nach $t$ dividieren. Polarform: $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ verwenden - **Mit neuen Zahlen üben:** [Lektion zur Fläche in Polarkoordinaten](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/polar-area) ## Das Wichtigste - Bei Parameterkurven gilt $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$, und $\frac{d^2y}{dx^2}$ ist die Ableitung von $\frac{dy}{dx}$ nach $t$, noch einmal geteilt durch $\frac{dx}{dt}$. - Rechne mit $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ und $r^2 = x^2 + y^2$ um. - Die Fläche in Polarkoordinaten ist $\frac{1}{2}\int r^2\,d\theta$. Wähle die Grenzen so, dass das Gebiet genau einmal durchlaufen wird. Diese **Aufgaben zu Parameterkurven und Polarkoordinaten** behandeln Steigungen, Tangenten, zweite Ableitungen und Bogenlängen von Parameterkurven, danach das Umrechnen, Steigungen und Flächen in Polarkoordinaten. Versuche jede Aufgabe zuerst selbst. Zuerst kommen die Ergebnisse, dann die vollständigen Lösungen. Die wichtigsten Formeln: $$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}, \qquad L = \int_a^b\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt, \qquad A = \frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}r^2\,d\theta$$ ## Aufgaben **Parameterkurven** 1. Bestimme für $x = t^2$, $y = t^3$ die Ableitung $\frac{dy}{dx}$ und ihren Wert bei $t = 2$. 2. Bestimme die Tangente an die Kurve aus Aufgabe 1 bei $t = 2$. 3. Eliminiere den Parameter: $x = 2\cos t$, $y = 3\sin t$. 4. Bestimme für $x = t^2$, $y = t^3$ die zweite Ableitung $\frac{d^2y}{dx^2}$. 5. Bestimme die Punkte, in denen $x = t^2 - 1$, $y = t^3 - 3t$ eine waagerechte Tangente hat. 6. Bestimme die Bogenlänge von $x = t^2$, $y = \frac{2}{3}t^3$ für $0 \le t \le 1$. **Polarkoordinaten** 7. Rechne den Punkt $(r, \theta) = \left(4, \frac{\pi}{3}\right)$ in kartesische Koordinaten um. 8. Rechne $r = 4\sin\theta$ in eine kartesische Gleichung um und beschreibe die Kurve. 9. Bestimme die Steigung $\frac{dy}{dx}$ von $r = 1 + \cos\theta$ bei $\theta = \frac{\pi}{2}$. **Fläche in Polarkoordinaten** 10. Bestimme die Fläche innerhalb von $r = 2\cos\theta$. 11. Bestimme die Fläche eines Blatts von $r = \cos(2\theta)$. 12. Bestimme die Fläche innerhalb der Kardioide $r = 1 + \cos\theta$. ## Ergebnisse | Aufgabe | Ergebnis | | --- | --- | | 1 | $\frac{dy}{dx} = \frac{3t}{2}$; bei $t = 2$ Steigung $3$ | | 2 | $y = 3x - 4$ | | 3 | $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$ | | 4 | $\frac{3}{4t}$ | | 5 | $(0, -2)$ und $(0, 2)$ | | 6 | $\frac{2}{3}\left(2\sqrt{2} - 1\right) \approx 1.219$ | | 7 | $\left(2, 2\sqrt{3}\right)$ | | 8 | $x^2 + (y - 2)^2 = 4$, ein Kreis | | 9 | $1$ | | 10 | $\pi$ | | 11 | $\frac{\pi}{8}$ | | 12 | $\frac{3\pi}{2}$ | ## Lösungen Schritt für Schritt **1.** $\frac{dx}{dt} = 2t$ und $\frac{dy}{dt} = 3t^2$: $$\frac{dy}{dx} = \frac{3t^2}{2t} = \frac{3t}{2}, \qquad \text{bei } t = 2: \ 3$$ **2.** Bei $t = 2$ ist der Punkt $(4, 8)$ und die Steigung $3$: $y - 8 = 3(x - 4)$, also $y = 3x - 4$. **3.** $\cos t = \frac{x}{2}$ und $\sin t = \frac{y}{3}$. Verwende $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$: $$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$$ Das ist eine Ellipse. **4.** Leite $\frac{dy}{dx} = \frac{3t}{2}$ nach $t$ ab, das ergibt $\frac{3}{2}$, und teile dann durch $\frac{dx}{dt} = 2t$: $$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{3/2}{2t} = \frac{3}{4t}$$ **5.** $\frac{dy}{dt} = 3t^2 - 3 = 0$ bei $t = \pm 1$, und dort ist $\frac{dx}{dt} = 2t \neq 0$. Bei $t = 1$: $(0, -2)$. Bei $t = -1$: $(0, 2)$. **6.** $\frac{dx}{dt} = 2t$ und $\frac{dy}{dt} = 2t^2$, die Bahngeschwindigkeit ist also $\sqrt{4t^2 + 4t^4} = 2t\sqrt{1 + t^2}$ für $t \ge 0$. Mit $u = 1 + t^2$: $$\int_0^1 2t\sqrt{1 + t^2}\,dt = \left[\frac{2}{3}(1 + t^2)^{3/2}\right]_0^1 = \frac{2}{3}\left(2\sqrt{2} - 1\right)$$ **7.** $x = 4\cos\frac{\pi}{3} = 2$ und $y = 4\sin\frac{\pi}{3} = 2\sqrt{3}$. **8.** Multipliziere beide Seiten mit $r$: $r^2 = 4r\sin\theta$, also $x^2 + y^2 = 4y$. Quadratische Ergänzung: $$x^2 + (y - 2)^2 = 4$$ Ein Kreis mit Radius $2$ und Mittelpunkt $(0, 2)$. **9.** Verwende $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ mit $r' = -\sin\theta$. Bei $\theta = \frac{\pi}{2}$ ist $r = 1$ und $r' = -1$. $$\frac{dy}{d\theta} = r'\sin\theta + r\cos\theta = -1, \qquad \frac{dx}{d\theta} = r'\cos\theta - r\sin\theta = -1$$ Also $\frac{dy}{dx} = \frac{-1}{-1} = 1$. **10.** Der Kreis wird für $-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ genau einmal durchlaufen: $$\frac{1}{2}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}4\cos^2\theta\,d\theta = 2\cdot\frac{\pi}{2} = \pi$$ Das passt zu einem Kreis mit Radius $1$. **11.** Ein Blatt reicht von $\theta = -\frac{\pi}{4}$ bis $\frac{\pi}{4}$, dort ist $\cos 2\theta \ge 0$. Verwende $\cos^2 2\theta = \frac{1 + \cos 4\theta}{2}$: $$\frac{1}{2}\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\cos^2(2\theta)\,d\theta = \frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{8}$$ **12.** Multipliziere $(1 + \cos\theta)^2 = 1 + 2\cos\theta + \cos^2\theta$ aus. Über $[0, 2\pi]$ liefern die Summanden die Integrale $2\pi$, $0$ und $\pi$: $$\frac{1}{2}(2\pi + 0 + \pi) = \frac{3\pi}{2}$$ ## Typische Fehler bei diesen Aufgaben - **Zweite Ableitungen dividieren.** In Aufgabe 4 ist $\frac{d^2y/dt^2}{d^2x/dt^2} = \frac{6t}{2} = 3t$ falsch. - **$\frac{dr}{d\theta}$ als Steigung nehmen.** In Aufgabe 9 ist $r' = -1$, aber die Steigung der Kurve ist $1$. - **Grenzen, bei denen die Kurve zweimal durchlaufen wird.** $r = 2\cos\theta$ auf $[0, 2\pi]$ läuft zweimal herum und liefert $2\pi$. - **Das $\frac{1}{2}$ vergessen.** Die Fläche in Polarkoordinaten ist $\frac{1}{2}\int r^2\,d\theta$, nicht $\int r\,d\theta$. ## Weiter üben Für unbegrenzt viele Aufgaben mit sofortigem Feedback probiere die [Lektion zu Parameterkurven](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/parametric-curves), die [Lektion zur Bogenlänge von Parameterkurven](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/parametric-arc-length), die [Lektion zu Steigungen in Polarkoordinaten](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/polar-slopes) und die [Lektion zur Fläche in Polarkoordinaten](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/polar-area). ## Häufig gestellte Fragen ### Wie berechnet man die zweite Ableitung einer Parameterkurve? Leite $\frac{dy}{dx}$ nach $t$ ab und teile dann durch $\frac{dx}{dt}$. Es ist nicht $\frac{d^2y/dt^2}{d^2x/dt^2}$. Aufgabe 4 zeigt die Schritte. ### Warum ist die Fläche in Polarkoordinaten ein halb r Quadrat? Ein schmaler Streifen eines Gebiets in Polarkoordinaten ist fast ein Kreissektor mit Radius $r$ und Winkel $d\theta$. Ein Sektor hat die Fläche $\frac{1}{2}r^2\,d\theta$, und das Integral summiert die Streifen auf. ### Wo hat eine Parameterkurve eine waagerechte Tangente? Dort, wo $\frac{dy}{dt} = 0$ und $\frac{dx}{dt} \neq 0$ gilt. Eine senkrechte Tangente liegt vor, wo $\frac{dx}{dt} = 0$ und $\frac{dy}{dt} \neq 0$ gilt. Sind beide null, musst du genauer hinschauen.