# Partialbruchzerlegung: Aufgaben mit Lösungen

> 12 Aufgaben zur Partialbruchzerlegung mit Lösungen: einfache und mehrfache Linearfaktoren, quadratische Faktoren ohne Nullstellen und Polynomdivision.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/uebungsaufgaben/aufgaben-partialbruchzerlegung
Aktualisiert: 2026-11-06

$$ \frac{px + q}{(x - a)(x - b)} = \frac{A}{x - a} + \frac{B}{x - b} $$

## Auf einen Blick

- **Aufgaben:** 12, mit Ergebnissen und vollständigen Lösungen
- **Niveau:** Analysis 2 und AP Calculus BC
- **Du brauchst:** Faktorisieren, Polynomdivision und $\int\frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C$
- **Grundidee:** Einen schwierigen Bruch in mehrere einfache zerlegen und jeden einzeln integrieren
- **Mit neuen Zahlen üben:** [Lektion zur Partialbruchzerlegung](/learn/calculus-2/integration-techniques/partial-fractions)

## Das Wichtigste

- Ist der Zählergrad mindestens so groß wie der Nennergrad, führe zuerst eine Polynomdivision durch.
- Jeder Linearfaktor bekommt eine eigene Konstante, jeder mehrfache Faktor einen Term pro Potenz und jeder quadratische Faktor ohne reelle Nullstellen einen Zähler $Bx + C$.
- Die Konstanten findest du schnell, indem du die Nullstellen des Nenners einsetzt. Den Rest erledigt ein Koeffizientenvergleich.

Diese **Aufgaben zur Partialbruchzerlegung** beginnen mit zwei verschiedenen Linearfaktoren und gehen dann zu mehrfachen Faktoren, quadratischen Faktoren ohne reelle Nullstellen, Polynomdivision und bestimmten Integralen über. Versuche jede Aufgabe zuerst selbst. Die Ergebnisse stehen vorne, damit du schnell vergleichen kannst, danach folgen die vollständigen Lösungen.

Der Ansatz für jede Art von Faktor im Nenner:

| Faktor | Zugehörige Terme |
| --- | --- |
| $(x - a)$ | $\dfrac{A}{x - a}$ |
| $(x - a)^2$ | $\dfrac{A}{x - a} + \dfrac{B}{(x - a)^2}$ |
| $x^2 + bx + c$ (keine reellen Nullstellen) | $\dfrac{Bx + C}{x^2 + bx + c}$ |

Rechenbeispiele und die Begründung findest du im [Leitfaden zur Partialbruchzerlegung](/blog/partial-fractions).

## Aufgaben

**Verschiedene Linearfaktoren**

1. $\displaystyle\int\frac{1}{x(x + 1)}\,dx$
2. $\displaystyle\int\frac{1}{x^2 - 4}\,dx$
3. $\displaystyle\int\frac{5x - 1}{(x + 1)(x - 2)}\,dx$
4. $\displaystyle\int\frac{x + 5}{x^2 + x - 2}\,dx$

**Mehrfache Faktoren**

5. $\displaystyle\int\frac{1}{x^2(x + 1)}\,dx$
6. $\displaystyle\int\frac{3x + 5}{(x + 1)^2}\,dx$

**Quadratische Faktoren ohne reelle Nullstellen**

7. $\displaystyle\int\frac{1}{x(x^2 + 1)}\,dx$
8. $\displaystyle\int\frac{x^2 + x + 1}{(x + 1)(x^2 + 1)}\,dx$

**Zuerst Polynomdivision**

9. $\displaystyle\int\frac{x^2 + 1}{x - 1}\,dx$
10. $\displaystyle\int\frac{x^3}{x^2 - 1}\,dx$

**Bestimmte Integrale**

11. $\displaystyle\int_2^3\frac{1}{x^2 - 1}\,dx$
12. $\displaystyle\int_0^1\frac{2}{(x + 1)(x + 2)}\,dx$

## Ergebnisse

| Aufgabe | Ergebnis |
| --- | --- |
| 1 | $\ln\lvert x\rvert - \ln\lvert x + 1\rvert + C$ |
| 2 | $\dfrac{1}{4}\ln\left\lvert\dfrac{x - 2}{x + 2}\right\rvert + C$ |
| 3 | $2\ln\lvert x + 1\rvert + 3\ln\lvert x - 2\rvert + C$ |
| 4 | $2\ln\lvert x - 1\rvert - \ln\lvert x + 2\rvert + C$ |
| 5 | $-\ln\lvert x\rvert - \dfrac{1}{x} + \ln\lvert x + 1\rvert + C$ |
| 6 | $3\ln\lvert x + 1\rvert - \dfrac{2}{x + 1} + C$ |
| 7 | $\ln\lvert x\rvert - \dfrac{1}{2}\ln(x^2 + 1) + C$ |
| 8 | $\dfrac{1}{2}\ln\lvert x + 1\rvert + \dfrac{1}{4}\ln(x^2 + 1) + \dfrac{1}{2}\arctan x + C$ |
| 9 | $\dfrac{x^2}{2} + x + 2\ln\lvert x - 1\rvert + C$ |
| 10 | $\dfrac{x^2}{2} + \dfrac{1}{2}\ln\lvert x^2 - 1\rvert + C$ |
| 11 | $\dfrac{1}{2}\ln\dfrac{3}{2} \approx 0.2027$ |
| 12 | $2\ln\dfrac{4}{3} \approx 0.5754$ |

## Lösungen Schritt für Schritt

**1.** Setze $\frac{1}{x(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1}$ an, also $1 = A(x + 1) + Bx$. Setze $x = 0$ ein: $A = 1$. Setze $x = -1$ ein: $B = -1$:

$$\int\left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}\right)dx = \ln|x| - \ln|x + 1| + C$$

**2.** Faktorisiere: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$. Dann ist $1 = A(x + 2) + B(x - 2)$. Bei $x = 2$ ist $A = \frac{1}{4}$, bei $x = -2$ ist $B = -\frac{1}{4}$. Fasse die beiden Logarithmen zu einem zusammen.

**3.** $5x - 1 = A(x - 2) + B(x + 1)$. Bei $x = -1$: $-6 = -3A$, also $A = 2$. Bei $x = 2$: $9 = 3B$, also $B = 3$.

**4.** Faktorisiere: $x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1)$. Dann ist $x + 5 = A(x - 1) + B(x + 2)$. Bei $x = 1$: $6 = 3B$, also $B = 2$. Bei $x = -2$: $3 = -3A$, also $A = -1$.

**5.** Der Faktor $x^2$ ist mehrfach, also setze $\frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{C}{x + 1}$ an. Dann ist $1 = Ax(x + 1) + B(x + 1) + Cx^2$. Bei $x = 0$: $B = 1$. Bei $x = -1$: $C = 1$. Vergleich der $x^2$-Terme: $A + C = 0$, also $A = -1$:

$$\int\left(-\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x + 1}\right)dx = -\ln|x| - \frac{1}{x} + \ln|x + 1| + C$$

**6.** Schreibe den Zähler mithilfe von $x + 1$: $3x + 5 = 3(x + 1) + 2$. Der Bruch ist also $\frac{3}{x + 1} + \frac{2}{(x + 1)^2}$. Der zweite Term liefert mit der Potenzregel $-\frac{2}{x + 1}$.

**7.** Setze $\frac{A}{x} + \frac{Bx + C}{x^2 + 1}$ an, also $1 = A(x^2 + 1) + (Bx + C)x$. Bei $x = 0$: $A = 1$. Vergleich bei $x^2$: $A + B = 0$, also $B = -1$. Vergleich bei $x$: $C = 0$. Der Term $\frac{-x}{x^2 + 1}$ hat die Stammfunktion $-\frac{1}{2}\ln(x^2 + 1)$.

**8.** Setze $\frac{A}{x + 1} + \frac{Bx + C}{x^2 + 1}$ an, also $x^2 + x + 1 = A(x^2 + 1) + (Bx + C)(x + 1)$. Bei $x = -1$: $1 = 2A$, also $A = \frac{1}{2}$. Vergleich bei $x^2$: $1 = A + B$, also $B = \frac{1}{2}$. Vergleich der Konstanten: $1 = A + C$, also $C = \frac{1}{2}$. Dann:

$$\int\left(\frac{1/2}{x + 1} + \frac{1}{2}\cdot\frac{x}{x^2 + 1} + \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x^2 + 1}\right)dx$$

Die drei Teile liefern einen Logarithmus, einen Logarithmus per Substitution und einen Arkustangens.

**9.** Der Zähler hat Grad 2 und der Nenner Grad 1, also dividiere: $x^2 + 1 = (x - 1)(x + 1) + 2$. Der Integrand ist also $x + 1 + \frac{2}{x - 1}$.

**10.** Dividiere: $x^3 = x(x^2 - 1) + x$, der Integrand ist also $x + \frac{x}{x^2 - 1}$. Der zweite Term ist eine Substitution mit $u = x^2 - 1$ und liefert $\frac{1}{2}\ln|x^2 - 1|$.

**11.** Wie in Aufgabe 2 ist $\frac{1}{x^2 - 1} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}\right)$:

$$\frac{1}{2}\left[\ln\frac{x - 1}{x + 1}\right]_2^3 = \frac{1}{2}\left(\ln\frac{1}{2} - \ln\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{2}\ln\frac{3}{2}$$

**12.** $\frac{2}{(x + 1)(x + 2)} = \frac{2}{x + 1} - \frac{2}{x + 2}$:

$$2\Big[\ln(x + 1) - \ln(x + 2)\Big]_0^1 = 2\big[(\ln 2 - \ln 3) - (0 - \ln 2)\big] = 2\ln\frac{4}{3}$$

## Typische Fehler bei diesen Aufgaben

- **Die Polynomdivision auslassen.** Zerlegst du in Aufgabe 9 den Bruch $\frac{x^2 + 1}{x - 1}$ ohne vorherige Division, hat der Ansatz keine Lösung.
- **Nur ein Term für einen mehrfachen Faktor.** $\frac{1}{x^2(x + 1)}$ braucht sowohl $\frac{A}{x}$ als auch $\frac{B}{x^2}$.
- **Eine Konstante über einem quadratischen Faktor.** Ein quadratischer Faktor ohne reelle Nullstellen braucht $Bx + C$ im Zähler, nicht nur $B$.
- **$\frac{1}{(x + 1)^2}$ als Logarithmus integrieren.** Das ist eine Potenz: $\int(x + 1)^{-2}\,dx = -\frac{1}{x + 1}$.

## Weiter üben

Für unbegrenzt viele Aufgaben mit sofortigem Feedback probiere die [Lektion zur Partialbruchzerlegung](/learn/calculus-2/integration-techniques/partial-fractions) und die [Lektion zu mehrfachen Faktoren](/learn/calculus-2/integration-techniques/partial-fractions-repeated). Sieh dir auch das [Integral von 1/(x² − 1)](/integrals/1-over-x-squared-minus-1) an. Danach bringst du alle Methoden in der [gemischten Übung zu Integrationstechniken](/learn/calculus-2/integration-techniques/techniques-practice) zusammen.

## Häufig gestellte Fragen

### Wann verwendet man die Partialbruchzerlegung?

Bei einer gebrochenrationalen Funktion, also Polynom durch Polynom, wenn sich der Nenner faktorisieren lässt und keine einfache Substitution passt. Ist der Zähler die Ableitung des Nenners, wie bei $\frac{2x}{x^2 + 1}$, nimm stattdessen die Substitutionsregel.

### Was ist die Zuhaltemethode?

Für einen einfachen Linearfaktor $(x - a)$ hältst du ihn im ursprünglichen Bruch zu und setzt $x = a$ in den Rest ein. Das Ergebnis ist die Konstante über $(x - a)$. Es ist dasselbe, wie nach dem Multiplizieren mit dem Nenner die Nullstelle einzusetzen.

### Wie geht man mit einem mehrfachen Faktor wie (x+1)² um?

Nimm für jede Potenz einen Term: $\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{(x + 1)^2}$. Der quadrierte Term wird mit der Potenzregel integriert und liefert $-\frac{B}{x + 1}$, keinen Logarithmus. Die Aufgaben 5 und 6 zeigen das.