# Partielle Ableitungen: Aufgaben mit Lösungen > 12 Aufgaben zu partiellen Ableitungen mit Lösungen: erste und zweite partielle Ableitungen, Gradient, Richtungsableitung, Tangentialebene und kritische Punkte. Quelle: https://practicecalculus.com/de/uebungsaufgaben/aufgaben-partielle-ableitungen Aktualisiert: 2026-11-06 $$ f_x = \frac{\partial f}{\partial x}, \quad \nabla f = \langle f_x, f_y\rangle, \quad D_{\mathbf{u}}f = \nabla f\cdot\mathbf{u} $$ ## Auf einen Blick - **Aufgaben:** 12, mit Ergebnissen und vollständigen Lösungen - **Niveau:** Analysis 3 (mehrdimensionale Analysis) - **Du brauchst:** Alle Ableitungsregeln für eine Variable, besonders die [Kettenregel](/rules/chain-rule) - **Grundidee:** Nach einer Variablen ableiten und alle anderen Variablen wie Konstanten behandeln - **Mit neuen Zahlen üben:** [Lektion zu partiellen Ableitungen](/learn/calculus-3/partial-derivatives/partial-derivatives) ## Das Wichtigste - Für $f_x$ behandelst du $y$ wie eine Zahl, für $f_y$ behandelst du $x$ wie eine Zahl. Dann gelten die üblichen Regeln. - Die gemischten Ableitungen $f_{xy}$ und $f_{yx}$ stimmen bei gutartigen Funktionen nach dem [Satz von Schwarz](/theorems/clairauts-theorem) überein. Nutze das zur Kontrolle. - Die Richtungsableitung ist das Skalarprodukt des Gradienten mit einem Einheitsvektor. Normiere die Richtung zuerst. Diese **Aufgaben zu partiellen Ableitungen** beginnen mit ersten partiellen Ableitungen und gehen dann zu zweiten partiellen Ableitungen, Gradienten, Richtungsableitungen, Tangentialebenen und kritischen Punkten über. Versuche jede Aufgabe zuerst selbst. Zuerst kommen die Ergebnisse, dann die vollständigen Lösungen. Die eine Idee hinter allen Aufgaben: $$f_x = \frac{\partial f}{\partial x}: \text{ ableiten nach } x, \text{ dabei } y \text{ als Konstante behandeln}$$ Die Ideen mit Bildern findest du im [Leitfaden zu partiellen Ableitungen](/blog/partial-derivatives) und im [Leitfaden zum Gradienten](/blog/gradient-and-directional-derivatives). ## Aufgaben **Erste partielle Ableitungen** 1. $f(x, y) = x^3y^2 + 4xy$. Bestimme $f_x$ und $f_y$. 2. $f(x, y) = e^{xy}$. Bestimme $f_x$ und $f_y$. 3. $f(x, y) = \sin(x^2y)$. Bestimme $f_x$ und $f_y$. 4. $f(x, y) = \ln(x^2 + y^2)$. Bestimme $f_x$. 5. $f(x, y) = \dfrac{x}{y}$. Bestimme $f_x$ und $f_y$. 6. $f(x, y, z) = xyz + z^2$. Bestimme $f_z$. **Zweite partielle Ableitungen und Werte** 7. $f(x, y) = x^2y^3$. Bestimme $f_{xx}$, $f_{yy}$ und $f_{xy}$. 8. $f(x, y) = x^2 + 3xy - y^2$. Bestimme $f_x(1, 2)$ und $f_y(1, 2)$. **Gradienten und Ebenen** 9. Bestimme $\nabla f(2, 1)$ für $f(x, y) = x^2y$. 10. Bestimme die Richtungsableitung von $f(x, y) = x^2y$ im Punkt $(2, 1)$ in Richtung $\langle 3, 4\rangle$. 11. Bestimme die Tangentialebene an $z = x^2 + y^2$ im Punkt $(1, 2, 5)$. 12. Bestimme und klassifiziere den kritischen Punkt von $f(x, y) = x^2 + y^2 - 4x + 6y$. ## Ergebnisse | Aufgabe | Ergebnis | | --- | --- | | 1 | $f_x = 3x^2y^2 + 4y$, $f_y = 2x^3y + 4x$ | | 2 | $f_x = ye^{xy}$, $f_y = xe^{xy}$ | | 3 | $f_x = 2xy\cos(x^2y)$, $f_y = x^2\cos(x^2y)$ | | 4 | $f_x = \dfrac{2x}{x^2 + y^2}$ | | 5 | $f_x = \dfrac{1}{y}$, $f_y = -\dfrac{x}{y^2}$ | | 6 | $f_z = xy + 2z$ | | 7 | $f_{xx} = 2y^3$, $f_{yy} = 6x^2y$, $f_{xy} = 6xy^2$ | | 8 | $f_x(1, 2) = 8$, $f_y(1, 2) = -1$ | | 9 | $\langle 4, 4\rangle$ | | 10 | $\frac{28}{5}$ | | 11 | $z = 5 + 2(x - 1) + 4(y - 2)$, also $z = 2x + 4y - 5$ | | 12 | $(2, -3)$, ein lokales Minimum mit dem Wert $-13$ | ## Lösungen Schritt für Schritt **1.** Für $f_x$ sind $y^2$ und $4y$ Konstanten: $f_x = 3x^2y^2 + 4y$. Für $f_y$ sind $x^3$ und $4x$ Konstanten: $f_y = 2x^3y + 4x$. **2.** Kettenregel mit der inneren Funktion $xy$. Ihre Ableitung nach $x$ ist $y$, ihre Ableitung nach $y$ ist $x$: $$f_x = ye^{xy}, \qquad f_y = xe^{xy}$$ **3.** Kettenregel mit der inneren Funktion $x^2y$: $$f_x = \cos(x^2y)\cdot 2xy, \qquad f_y = \cos(x^2y)\cdot x^2$$ **4.** Die Ableitung von $\ln u$ ist $\frac{u'}{u}$, und die Ableitung von $x^2 + y^2$ nach $x$ ist $2x$: $$f_x = \frac{2x}{x^2 + y^2}$$ **5.** Bezüglich $x$ ist $\frac{x}{y}$ einfach $x$ mal die Konstante $\frac{1}{y}$. Bezüglich $y$ ist es $x\cdot y^{-1}$: $$f_x = \frac{1}{y}, \qquad f_y = -xy^{-2} = -\frac{x}{y^2}$$ **6.** Behandle $x$ und $y$ wie Konstanten: $f_z = xy + 2z$. **7.** Zuerst ist $f_x = 2xy^3$ und $f_y = 3x^2y^2$. Dann: $$f_{xx} = 2y^3, \qquad f_{yy} = 6x^2y, \qquad f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}(2xy^3) = 6xy^2$$ Kontrolle: $f_{yx} = \frac{\partial}{\partial x}(3x^2y^2) = 6xy^2$. Die Werte stimmen überein. **8.** $f_x = 2x + 3y$, also $f_x(1, 2) = 2 + 6 = 8$. $f_y = 3x - 2y$, also $f_y(1, 2) = 3 - 4 = -1$. **9.** $f_x = 2xy$ und $f_y = x^2$. Im Punkt $(2, 1)$: $\nabla f = \langle 4, 4\rangle$. **10.** Die Länge von $\langle 3, 4\rangle$ ist $5$, der Einheitsvektor ist also $\left\langle\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right\rangle$: $$D_{\mathbf{u}}f = \langle 4, 4\rangle\cdot\left\langle\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right\rangle = \frac{12}{5} + \frac{16}{5} = \frac{28}{5}$$ **11.** Im Punkt $(1, 2)$ ist $f_x = 2x = 2$ und $f_y = 2y = 4$. Die Tangentialebene ist $z = f(a, b) + f_x(x - a) + f_y(y - b)$: $$z = 5 + 2(x - 1) + 4(y - 2) = 2x + 4y - 5$$ **12.** Setze $f_x = 2x - 4 = 0$ und $f_y = 2y + 6 = 0$: $(2, -3)$. Das Kriterium mit der zweiten Ableitung liefert $D = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2 = 2\cdot 2 - 0 = 4 > 0$ mit $f_{xx} > 0$, also liegt ein lokales Minimum vor. Der Wert ist $4 + 9 - 8 - 18 = -13$. ## Typische Fehler bei diesen Aufgaben - **Die konstante Variable mit ableiten.** In Aufgabe 1 ist $f_x$ von $4xy$ gleich $4y$, nicht $4y + 4x$. - **Die Kettenregel vergessen.** In Aufgabe 3 kommt der Faktor $2xy$ von der inneren Funktion $x^2y$. - **Eine Richtung verwenden, die kein Einheitsvektor ist.** Normiere in Aufgabe 10 zuerst $\langle 3, 4\rangle$. - **Die Reihenfolge bei $f_{xy}$ verwechseln.** $f_{xy}$ heißt: zuerst nach $x$, dann nach $y$ ableiten. Bei glatten Funktionen liefern beide Reihenfolgen dasselbe, das ist eine gute Kontrolle. ## Weiter üben Für unbegrenzt viele Aufgaben mit sofortigem Feedback probiere die [Lektion zu partiellen Ableitungen](/learn/calculus-3/partial-derivatives/partial-derivatives), die [Lektion zu zweiten partiellen Ableitungen](/learn/calculus-3/partial-derivatives/second-partial-derivatives), die [Lektion zu Tangentialebenen](/learn/calculus-3/partial-derivatives/tangent-planes) und die [Lektion zum Gradienten](/learn/calculus-3/partial-derivatives/gradient-and-directional-derivatives). Für Optimierung mit Nebenbedingung geht es weiter mit den [Aufgaben zu Lagrange-Multiplikatoren](/practice-problems/lagrange-multipliers). ## Häufig gestellte Fragen ### Wie bildet man eine partielle Ableitung? Wähle die Variable, nach der du ableitest, und behandle alle anderen Variablen wie Konstanten. Für $f = x^3y^2$ ist $f_x = 3x^2y^2$, denn $y^2$ ist nur ein konstanter Faktor. ### Was sagt der Gradient aus? Der Gradient $\nabla f$ zeigt in die Richtung des stärksten Anstiegs, und seine Länge ist diese größte Änderungsrate. Außerdem steht er senkrecht auf den Höhenlinien. ### Warum muss der Richtungsvektor ein Einheitsvektor sein? Die Richtungsableitung misst die Änderung pro Längeneinheit. Ein längerer Vektor würde das Ergebnis mit seiner Länge multiplizieren. Nimmst du in Aufgabe 10 $\langle 3, 4\rangle$ statt $\langle\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\rangle$, wird das Ergebnis fünfmal zu groß.