# Aufgaben zur partiellen Integration mit Lösungen > 12 Aufgaben zur partiellen Integration mit Lösungen und Lösungsweg: x eˣ, ln x, arctan x, mehrfache partielle Integration und der Trick bei eˣ sin x. Quelle: https://practicecalculus.com/de/uebungsaufgaben/aufgaben-partielle-integration Aktualisiert: 2026-11-06 $$ \int u\,dv = uv - \int v\,du $$ ## Auf einen Blick - **Aufgaben:** 12, mit Lösungen und vollständigen Lösungswegen - **Niveau:** Calculus 2 und AP Calculus BC, Unit 6 - **Du brauchst:** [Stammfunktionen](/practice-problems/antiderivatives) und die [Substitutionsregel](/practice-problems/u-substitution) - **Grundidee:** Wähle $u$ so, dass es beim Ableiten einfacher wird, und $dv$ so, dass es sich leicht integrieren lässt - **Mit neuen Zahlen üben:** [Lektion zur partiellen Integration](/learn/calculus-2/integration-techniques/integration-by-parts) ## Das Wichtigste - Wähle $u$ nach der LIATE-Regel: Logarithmus, Arkusfunktion, algebraische Funktion, trigonometrische Funktion, Exponentialfunktion. Der Typ, der früher kommt, ist meist $u$. - Bei $x^n$ mal $e^x$, $\sin x$ oder $\cos x$ integrierst du $n$-mal partiell. Jede Runde senkt den Exponenten um eins. - Bei $e^{ax}\sin bx$ oder $e^{ax}\cos bx$ integrierst du zweimal partiell und löst nach dem Integral auf, das wieder auftaucht. Diese **Aufgaben zur partiellen Integration** beginnen mit einer Runde partieller Integration und steigern sich zu mehrfacher partieller Integration, dem Tabellenverfahren und Integralen, die wieder bei sich selbst ankommen. Versuche jede Aufgabe zuerst selbst. Zuerst kommen die Lösungen, damit du schnell vergleichen kannst, danach die vollständigen Lösungswege. Die Formel folgt aus der Produktregel: $$\int u\,dv = uv - \int v\,du$$ Wähle $u$ und $dv$, bestimme $du$ und $v$ und setze in die Formel ein. Mehr zur Formel findest du bei der Regel zur [partiellen Integration](/rules/integration-by-parts-rule). ## Aufgaben **Eine Runde partielle Integration** 1. $\displaystyle\int x\,e^x\,dx$ 2. $\displaystyle\int x\cos x\,dx$ 3. $\displaystyle\int \ln x\,dx$ 4. $\displaystyle\int x\ln x\,dx$ 5. $\displaystyle\int x\sin(2x)\,dx$ 6. $\displaystyle\int \arctan x\,dx$ **Mehrfache partielle Integration** 7. $\displaystyle\int x^2 e^x\,dx$ 8. $\displaystyle\int x^2\cos x\,dx$ **Integrale, die wiederkehren** 9. $\displaystyle\int e^x\sin x\,dx$ 10. $\displaystyle\int e^{2x}\cos x\,dx$ **Bestimmte Integrale** 11. $\displaystyle\int_0^1 x\,e^x\,dx$ 12. $\displaystyle\int_1^{e} x\ln x\,dx$ ## Lösungen | Aufgabe | Lösung | | --- | --- | | 1 | $(x - 1)e^x + C$ | | 2 | $x\sin x + \cos x + C$ | | 3 | $x\ln x - x + C$ | | 4 | $\dfrac{x^2}{2}\ln x - \dfrac{x^2}{4} + C$ | | 5 | $-\dfrac{x\cos(2x)}{2} + \dfrac{\sin(2x)}{4} + C$ | | 6 | $x\arctan x - \dfrac{1}{2}\ln(1 + x^2) + C$ | | 7 | $(x^2 - 2x + 2)e^x + C$ | | 8 | $x^2\sin x + 2x\cos x - 2\sin x + C$ | | 9 | $\dfrac{e^x(\sin x - \cos x)}{2} + C$ | | 10 | $\dfrac{e^{2x}(2\cos x + \sin x)}{5} + C$ | | 11 | $1$ | | 12 | $\dfrac{e^2 + 1}{4}$ | ## Lösungswege Schritt für Schritt **1.** Setze $u = x$ und $dv = e^x\,dx$, also $du = dx$ und $v = e^x$: $$x e^x - \int e^x\,dx = xe^x - e^x + C = (x - 1)e^x + C$$ **2.** Setze $u = x$ und $dv = \cos x\,dx$, also $v = \sin x$: $$x\sin x - \int\sin x\,dx = x\sin x + \cos x + C$$ **3.** Setze $u = \ln x$ und $dv = dx$, also $du = \frac{1}{x}dx$ und $v = x$: $$x\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = x\ln x - x + C$$ **4.** Logarithmen stehen bei LIATE an erster Stelle, also $u = \ln x$ und $dv = x\,dx$, was $v = \frac{x^2}{2}$ ergibt: $$\frac{x^2}{2}\ln x - \int\frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C$$ **5.** Setze $u = x$ und $dv = \sin(2x)\,dx$, also $v = -\frac{1}{2}\cos(2x)$: $$-\frac{x\cos(2x)}{2} + \frac{1}{2}\int\cos(2x)\,dx = -\frac{x\cos(2x)}{2} + \frac{\sin(2x)}{4} + C$$ **6.** Setze $u = \arctan x$ und $dv = dx$, also $du = \frac{1}{1+x^2}dx$ und $v = x$: $$x\arctan x - \int\frac{x}{1 + x^2}\,dx$$ Das letzte Integral löst du mit der Substitution $u = 1 + x^2$, es ergibt $\frac{1}{2}\ln(1 + x^2)$. **7.** Verwende das Tabellenverfahren. Ableitungen von $x^2$: $x^2, 2x, 2, 0$. Stammfunktionen von $e^x$: $e^x, e^x, e^x$. Multipliziere diagonal mit den Vorzeichen $+, -, +$: $$x^2e^x - 2xe^x + 2e^x + C = (x^2 - 2x + 2)e^x + C$$ **8.** Wieder das Tabellenverfahren. Ableitungen: $x^2, 2x, 2, 0$. Stammfunktionen von $\cos x$: $\sin x, -\cos x, -\sin x$. Mit den Vorzeichen $+, -, +$: $$x^2\sin x - 2x(-\cos x) + 2(-\sin x) = x^2\sin x + 2x\cos x - 2\sin x + C$$ **9.** Nenne das Integral $I$. Mit $u = \sin x$ und $dv = e^x\,dx$ gilt $I = e^x\sin x - \int e^x\cos x\,dx$. Integriere noch einmal partiell mit $u = \cos x$: $\int e^x\cos x\,dx = e^x\cos x + I$. Also: $$I = e^x\sin x - e^x\cos x - I \quad\Rightarrow\quad I = \frac{e^x(\sin x - \cos x)}{2} + C$$ **10.** Sei $I = \int e^{2x}\cos x\,dx$. Nimm beide Male $u = e^{2x}$. Erstens: $I = e^{2x}\sin x - 2\int e^{2x}\sin x\,dx$. Zweitens: $\int e^{2x}\sin x\,dx = -e^{2x}\cos x + 2I$. Zusammengesetzt: $$I = e^{2x}\sin x + 2e^{2x}\cos x - 4I \quad\Rightarrow\quad 5I = e^{2x}(\sin x + 2\cos x)$$ **11.** Aus Aufgabe 1: $$\big[(x - 1)e^x\big]_0^1 = 0 - (-1) = 1$$ **12.** Aus Aufgabe 4, mit $\ln e = 1$ und $\ln 1 = 0$: $$\left(\frac{e^2}{2} - \frac{e^2}{4}\right) - \left(0 - \frac{1}{4}\right) = \frac{e^2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{e^2 + 1}{4}$$ ## Typische Fehler bei diesen Aufgaben - **$u$ falsch herum wählen.** Nimmst du in Aufgabe 4 $u = x$ und $dv = \ln x\,dx$, musst du $\int\ln x\,dx$ schon kennen. Halte dich an LIATE. - **Vorzeichenfehler in der zweiten Runde.** In den Aufgaben 7 und 8 gilt das Minuszeichen vor $\int v\,du$ für alles, was danach kommt. Das Tabellenverfahren hält die Vorzeichen in Ordnung. - **Die Rollen von $u$ und $dv$ mittendrin tauschen.** Nimmst du in Aufgabe 10 zuerst $u = e^{2x}$ und dann $u = \sin x$, machst du den ersten Schritt rückgängig und erhältst $I = I$. - **Das $\frac{1}{2}$ in $v$ vergessen.** Bei $dv = \sin(2x)\,dx$ ist $v = -\frac{1}{2}\cos(2x)$, nicht $-\cos(2x)$. ## Weiter üben Für unbegrenzt viele Aufgaben mit neuen Zahlen und sofortigem Feedback probiere die [Lektion zur partiellen Integration](/learn/calculus-2/integration-techniques/integration-by-parts) und die [Lektion zu mehrfacher partieller Integration und LIATE](/learn/calculus-2/integration-techniques/repeated-parts-and-liate). Weitere Beispiele findest du beim [Integral von x e^x](/integrals/x-e-to-the-x), beim [Integral von ln x](/integrals/ln-x) und im [Leitfaden zur partiellen Integration](/blog/integration-by-parts). Danach geht es weiter mit den [Aufgaben zu trigonometrischen Integralen](/practice-problems/trig-integrals). ## Häufig gestellte Fragen ### Wie wählt man u und dv? Wähle $u$ so, dass $du$ einfacher wird, und $dv$ so, dass du es integrieren kannst. LIATE ist eine schnelle Orientierung: zuerst Logarithmen, dann Arkusfunktionen, algebraische, trigonometrische und Exponentialfunktionen. Bei $\int x\ln x\,dx$ ist $u = \ln x$, weil $\ln x$ schwer zu integrieren, aber leicht abzuleiten ist. ### Wie integriert man ln x? Schreibe es als $\ln x \cdot 1$, mit $u = \ln x$ und $dv = dx$. Dann gilt $\int\ln x\,dx = x\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = x\ln x - x + C$. Aufgabe 3 zeigt das. ### Was ist das Tabellenverfahren? Eine Abkürzung für mehrfache partielle Integration, wenn $u$ ein Polynom ist. Schreibe die Ableitungen von $u$ in eine Spalte, bis du $0$ erreichst, die Stammfunktionen von $dv$ in eine zweite, multipliziere diagonal und wechsle die Vorzeichen $+, -, +, \dots$ Aufgabe 7 zeigt das.