# Potenzregel: Aufgaben mit Lösungen und Lösungswegen > 12 Aufgaben zur Potenzregel mit Ergebnissen und Lösungswegen: Polynome, negative und gebrochene Exponenten, Wurzeln und Tangenten. Quelle: https://practicecalculus.com/de/uebungsaufgaben/aufgaben-potenzregel Aktualisiert: 2026-11-06 $$ \frac{d}{dx}\,x^n = n\,x^{n-1} $$ ## Auf einen Blick - **Aufgaben:** 12, mit Ergebnissen und vollständigen Lösungen - **Niveau:** Analysis 1 und AP Calculus AB, Einheit 2 - **Du brauchst:** Potenzgesetze, besonders $\frac{1}{x^n} = x^{-n}$ und $\sqrt[n]{x^m} = x^{m/n}$ - **Grundidee:** Als Potenz von x schreiben, den Exponenten nach vorne ziehen und dann um 1 verringern - **Mit neuen Zahlen üben:** [Lektionen zur Potenzregel](/learn/calculus-1/derivative-rules/power-rule) ## Das Wichtigste - Schreibe Wurzeln und Brüche als Potenzen von $x$, bevor du ableitest. - Zieht man von einem negativen Exponenten 1 ab, wird er noch negativer: $x^{-2}$ wird zu $-2x^{-3}$. - Multipliziere Produkte zuerst aus und teile Quotienten mit nur einem Term im Nenner auf. Dann erledigt die Potenzregel jeden Term einzeln. Diese **Aufgaben zur Potenzregel** beginnen mit einzelnen Potenzen und Polynomen und gehen dann zu negativen und gebrochenen Exponenten, zum Umschreiben vor dem Ableiten und zu Tangenten über. Versuche jede Aufgabe zuerst selbst. Die Ergebnisse stehen direkt nach der Liste, danach folgen die vollständigen Lösungen. Die Regel: $$\frac{d}{dx}\,x^n = n\,x^{n-1}$$ Fast in jeder Aufgabe brauchst du außerdem die [Summenregel](/rules/sum-and-difference-rule) und die [Faktorregel](/rules/constant-multiple-rule). Zum Auffrischen lies die Seite zur [Potenzregel](/rules/power-rule). ## Aufgaben **Potenzen und Polynome** 1. $y = x^7$ 2. $y = 4x^5$ 3. $y = 3x^4 - 2x^3 + 5x - 9$ **Negative und gebrochene Exponenten** 4. $y = \dfrac{1}{x^3}$ 5. $y = 6\sqrt{x}$ 6. $y = \sqrt[3]{x^2}$ 7. $y = \dfrac{5}{x^2} - \dfrac{2}{\sqrt{x}}$ **Zuerst umschreiben** 8. $y = (2x + 1)(x - 3)$ 9. $y = \dfrac{x^4 - 3x^2 + 2}{x^2}$ 10. $y = x^\pi + \pi^2$ **Tangenten** 11. Bestimme die Tangente an $y = x^3 - 2x$ bei $x = 2$. 12. Bestimme die Punkte, in denen $y = x^3 - 3x^2$ eine waagerechte Tangente hat. ## Ergebnisse | Aufgabe | Ergebnis | | --- | --- | | 1 | $7x^6$ | | 2 | $20x^4$ | | 3 | $12x^3 - 6x^2 + 5$ | | 4 | $-\dfrac{3}{x^4}$ | | 5 | $\dfrac{3}{\sqrt{x}}$ | | 6 | $\dfrac{2}{3\sqrt[3]{x}}$ | | 7 | $-\dfrac{10}{x^3} + \dfrac{1}{x^{3/2}}$ | | 8 | $4x - 5$ | | 9 | $2x - \dfrac{4}{x^3}$ | | 10 | $\pi x^{\pi - 1}$ | | 11 | $y = 10x - 16$ | | 12 | $(0, 0)$ und $(2, -4)$ | ## Lösungen Schritt für Schritt **1.** Ziehe die $7$ nach vorne und verringere den Exponenten um $1$: $$y' = 7x^6$$ **2.** Die Konstante $4$ bleibt einfach stehen: $$y' = 4\cdot 5x^4 = 20x^4$$ **3.** Leite Summand für Summand ab. Die Ableitung von $5x$ ist $5$, die Ableitung der Konstanten $-9$ ist $0$: $$y' = 12x^3 - 6x^2 + 5$$ **4.** Schreibe um zu $y = x^{-3}$. Dann ist $-3 - 1 = -4$: $$y' = -3x^{-4} = -\frac{3}{x^4}$$ **5.** Schreibe um zu $y = 6x^{1/2}$: $$y' = 6\cdot\frac{1}{2}x^{-1/2} = 3x^{-1/2} = \frac{3}{\sqrt{x}}$$ **6.** Schreibe um zu $y = x^{2/3}$. Dann ist $\frac{2}{3} - 1 = -\frac{1}{3}$: $$y' = \frac{2}{3}x^{-1/3} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$$ **7.** Schreibe beide Terme als Potenzen: $y = 5x^{-2} - 2x^{-1/2}$. $$y' = -10x^{-3} - 2\left(-\frac{1}{2}\right)x^{-3/2} = -\frac{10}{x^3} + \frac{1}{x^{3/2}}$$ **8.** Multipliziere zuerst aus: $(2x + 1)(x - 3) = 2x^2 - 5x - 3$. $$y' = 4x - 5$$ Die Ableitung eines Produkts ist nicht das Produkt der Ableitungen. Das Ausmultiplizieren umgeht diese Falle, oder du verwendest die [Produktregel](/rules/product-rule). **9.** Der Nenner besteht aus einem einzigen Term, also teile den Bruch auf: $$y = x^2 - 3 + 2x^{-2} \quad\Rightarrow\quad y' = 2x - 4x^{-3} = 2x - \frac{4}{x^3}$$ **10.** $\pi$ ist ein konstanter Exponent, also gilt die Potenzregel für $x^\pi$. Der Term $\pi^2 \approx 9.87$ ist nur eine Zahl, seine Ableitung ist also $0$: $$y' = \pi x^{\pi - 1}$$ **11.** Der Punkt ist $y(2) = 8 - 4 = 4$. Die Steigung ist $y' = 3x^2 - 2$, also $y'(2) = 10$: $$y - 4 = 10(x - 2) \quad\Rightarrow\quad y = 10x - 16$$ **12.** Eine waagerechte Tangente hat die Steigung $0$: $$y' = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2) = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 0 \text{ oder } x = 2$$ Die Punkte sind $(0, 0)$ und $(2, 8 - 12) = (2, -4)$. ## Typische Fehler bei diesen Aufgaben - **Bei negativen Exponenten in die falsche Richtung gehen.** In Aufgabe 4 wird $x^{-3}$ zu $-3x^{-4}$, nicht zu $-3x^{-2}$. Eins abziehen heißt auf dem Zahlenstrahl immer nach links gehen. - **Eine Wurzel ohne Umschreiben ableiten.** Schreibe $\sqrt[3]{x^2}$ als $x^{2/3}$, bevor du anfängst. - **Ein Produkt Faktor für Faktor ableiten.** In Aufgabe 8 ist $(2)(1) = 2$ falsch. Multipliziere aus oder verwende die Produktregel. - **$\pi^2$ wie eine Variable behandeln.** In Aufgabe 10 ist $\pi^2$ eine Konstante, ihre Ableitung ist also $0$ und nicht $2\pi$. ## Weiter üben Diese 12 Aufgaben haben feste Zahlen. Für unbegrenztes Üben mit immer neuen Zahlen und sofortigem Feedback probiere die [Lektion zur Potenzregel](/learn/calculus-1/derivative-rules/power-rule) und danach die [Übung zur Potenzregel](/learn/calculus-1/derivative-rules/power-rule-practice). Weitere Beispiele und die Begründung der Regel findest du im [Leitfaden zur Potenzregel](/blog/power-rule). Als Nächstes probiere die [Aufgaben zur Produkt- und Quotientenregel](/practice-problems/product-and-quotient-rules). ## Häufig gestellte Fragen ### Wie lautet die Potenzregel beim Ableiten? Für jede reelle Zahl $n$ gilt $\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$. Ziehe den Exponenten als Faktor nach vorne und verringere ihn um eins. Das funktioniert für ganze, negative und gebrochene Exponenten. ### Wie verwendet man die Potenzregel bei Quadratwurzeln? Schreibe die Wurzel als Potenz mit gebrochenem Exponenten, zum Beispiel $\sqrt{x} = x^{1/2}$ und $\sqrt[3]{x^2} = x^{2/3}$. Dann wende die Regel an: $\frac{d}{dx}x^{1/2} = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$. ### Gilt die Potenzregel für e hoch x? Nein. Die Potenzregel gilt für eine variable Basis mit konstantem Exponenten, wie $x^3$. Bei $e^x$ steht die Variable im Exponenten, also verwendest du $\frac{d}{dx}e^x = e^x$. Für eine Konstante wie $\pi^2$ ist die Ableitung $0$.