# Potenzreihen: Aufgaben mit Lösungen > 12 Aufgaben zu Potenzreihen mit Lösungen: Konvergenzradius und Konvergenzintervall, Randpunkte prüfen und neue Reihen aus 1/(1 − x) aufbauen. Quelle: https://practicecalculus.com/de/uebungsaufgaben/aufgaben-potenzreihen Aktualisiert: 2026-11-06 $$ \frac{1}{1 - x} = \sum_{n=0}^{\infty}x^n, \quad |x| < 1 $$ ## Auf einen Blick - **Aufgaben:** 12, mit Ergebnissen und vollständigen Lösungen - **Niveau:** Analysis 2 und AP Calculus BC, Einheit 10 - **Du brauchst:** Das [Quotientenkriterium](/rules/ratio-test) und die anderen [Konvergenzkriterien](/practice-problems/convergence-tests) - **Grundidee:** Mit dem Quotientenkriterium den Radius bestimmen, dann jeden Randpunkt einzeln prüfen - **Mit neuen Zahlen üben:** [Lektion zu Potenzreihen und Konvergenzradius](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/power-series-and-radius) ## Das Wichtigste - Wende das Quotientenkriterium auf $|a_n(x - c)^n|$ an und löse „Grenzwert $< 1$“ nach $x$ auf. So erhältst du den Radius. - An den Randpunkten liefert das Quotientenkriterium keine Aussage. Setze jeden Randpunkt ein und verwende ein anderes Kriterium. - Neue Reihen baust du aus $\frac{1}{1 - x}$, indem du substituierst, mit Potenzen von $x$ multiplizierst, ableitest oder integrierst. Der Radius bleibt dabei gleich. Diese **Aufgaben zu Potenzreihen** behandeln Konvergenzradius und Konvergenzintervall, das Prüfen der Randpunkte und das Aufbauen neuer Reihen aus der geometrischen Reihe. Versuche jede Aufgabe zuerst selbst. Zuerst kommen die Ergebnisse, dann die vollständigen Lösungen. Die beiden Werkzeuge: $$\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| < 1 \quad\text{für den Radius}, \qquad \frac{1}{1 - x} = \sum_{n=0}^{\infty}x^n \quad\text{zum Aufbauen von Reihen}$$ Weitere Beispiele findest du im [Leitfaden zu Potenzreihen](/blog/power-series). ## Aufgaben **Konvergenzradius und Konvergenzintervall** 1. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}$ 2. $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$ 3. $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}n!\,x^n$ 4. $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x - 2)^n}{3^n}$ 5. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n^2}$ 6. $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n}}{4^n}$ 7. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}n(x + 1)^n$ 8. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2x - 1)^n}{n}$ **Reihen aufbauen** 9. Bestimme eine Potenzreihe für $\dfrac{1}{1 - 3x}$ und ihren Radius. 10. Bestimme eine Potenzreihe für $\dfrac{x}{1 + x^2}$ und ihren Radius. 11. Leite $\frac{1}{1 - x}$ ab, um eine Reihe für $\frac{1}{(1 - x)^2}$ zu erhalten. Berechne damit $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n}$. 12. Integriere eine Reihe für $\frac{1}{1 + x}$, um eine Reihe für $\ln(1 + x)$ zu erhalten. ## Ergebnisse | Aufgabe | Radius | Intervall oder Ergebnis | | --- | --- | --- | | 1 | $1$ | $[-1, 1)$ | | 2 | $\infty$ | $(-\infty, \infty)$ | | 3 | $0$ | Nur $x = 0$ | | 4 | $3$ | $(-1, 5)$ | | 5 | $1$ | $[-1, 1]$ | | 6 | $2$ | $(-2, 2)$ | | 7 | $1$ | $(-2, 0)$ | | 8 | $\frac{1}{2}$ | $[0, 1)$ | | 9 | $\frac{1}{3}$ | $\sum 3^n x^n$ | | 10 | $1$ | $\sum(-1)^n x^{2n+1}$ | | 11 | $1$ | $\sum n x^{n-1}$; die Summe ist $2$ | | 12 | $1$ | $\sum\frac{(-1)^{n+1}x^n}{n}$ | ## Lösungen Schritt für Schritt **1.** Quotient: $\left|\frac{x^{n+1}}{n + 1}\cdot\frac{n}{x^n}\right| = \frac{n}{n + 1}|x| \to |x|$. Also $|x| < 1$ und $R = 1$. Bei $x = 1$: $\sum\frac{1}{n}$ divergiert. Bei $x = -1$: $\sum\frac{(-1)^n}{n}$ konvergiert nach dem Leibniz-Kriterium. Intervall $[-1, 1)$. **2.** Quotient: $\frac{|x|}{n + 1} \to 0 < 1$ für jedes $x$. Also $R = \infty$. Das ist die Reihe für $e^x$. **3.** Quotient: $(n + 1)|x| \to \infty$ für jedes $x \neq 0$. Die Reihe konvergiert nur im Entwicklungspunkt. **4.** Das ist eine geometrische Reihe mit dem Quotienten $\frac{x - 2}{3}$. Sie konvergiert für $|x - 2| < 3$, also $-1 < x < 5$. An beiden Randpunkten sind die Glieder $(\pm 1)^n$, die nicht gegen $0$ gehen, also divergiert die Reihe dort. **5.** Quotient: $\frac{n^2}{(n + 1)^2}|x| \to |x|$, also $R = 1$. Bei $x = \pm 1$ konvergiert $\sum\frac{(\pm 1)^n}{n^2}$ absolut, da $\sum\frac{1}{n^2}$ konvergiert. Beide Randpunkte gehören dazu. **6.** Das ist eine geometrische Reihe mit dem Quotienten $-\frac{x^2}{4}$. Sie konvergiert für $\frac{x^2}{4} < 1$, also $|x| < 2$. Bei $x = \pm 2$ sind die Glieder $(-1)^n$, und die Reihe divergiert. **7.** Quotient: $\frac{n + 1}{n}|x + 1| \to |x + 1|$, die Reihe konvergiert also für $|x + 1| < 1$, das heißt $-2 < x < 0$. An beiden Randpunkten wachsen die Glieder $n(\pm 1)^n$, also divergiert die Reihe dort. **8.** Quotient: $\frac{n}{n + 1}|2x - 1| \to |2x - 1|$. Löse $|2x - 1| < 1$: $0 < x < 1$, mit Entwicklungspunkt $\frac{1}{2}$ und $R = \frac{1}{2}$. Bei $x = 1$: $\sum\frac{1}{n}$ divergiert. Bei $x = 0$: $\sum\frac{(-1)^n}{n}$ konvergiert. Intervall $[0, 1)$. **9.** Ersetze in der geometrischen Reihe $x$ durch $3x$: $$\frac{1}{1 - 3x} = \sum_{n=0}^{\infty}(3x)^n = \sum_{n=0}^{\infty}3^n x^n, \quad |3x| < 1 \Rightarrow R = \frac{1}{3}$$ **10.** Ersetze $x$ durch $-x^2$ und multipliziere dann mit $x$: $$\frac{x}{1 + x^2} = x\sum_{n=0}^{\infty}(-x^2)^n = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^{2n+1}, \quad |x| < 1$$ **11.** Leite beide Seiten von $\frac{1}{1 - x} = \sum x^n$ ab: $$\frac{1}{(1 - x)^2} = \sum_{n=1}^{\infty}n x^{n-1}$$ Multipliziere mit $x$: $\sum n x^n = \frac{x}{(1 - x)^2}$. Bei $x = \frac{1}{2}$ ergibt das $\frac{1/2}{1/4} = 2$. **12.** $\frac{1}{1 + x} = \sum(-1)^n x^n$. Integriere von $0$ bis $x$: $$\ln(1 + x) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{n+1}}{n + 1} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots$$ Eine Indexverschiebung liefert die Form aus der Tabelle. Der Radius bleibt $1$. ## Typische Fehler bei diesen Aufgaben - **Die Randpunkte überspringen.** Die Aufgaben 1, 5 und 8 haben alle $R = 1$ oder $R = \frac{1}{2}$, verhalten sich an den Rändern aber verschieden. - **Den Entwicklungspunkt vergessen.** In Aufgabe 4 ist der Entwicklungspunkt $2$, das Intervall ist also $2 \pm 3$ und nicht $\pm 3$. - **Falscher Radius bei $2x$.** In Aufgabe 8 bedeutet $|2x - 1| < 1$ dasselbe wie $|x - \frac{1}{2}| < \frac{1}{2}$, also $R = \frac{1}{2}$ und nicht $1$. - **$x$ im Grenzwert stehen lassen.** Im Quotientenkriterium ist $|x|$ eine Konstante. Bilde den Grenzwert für $n$ und löse dann nach $x$ auf. ## Weiter üben Für unbegrenzt viele Reihen mit sofortigem Feedback probiere die [Lektion zu Potenzreihen und Konvergenzradius](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/power-series-and-radius). Danach lernst du mit den [Aufgaben zu Taylorreihen](/practice-problems/taylor-series), für jede Funktion eine Reihe aufzustellen. ## Häufig gestellte Fragen ### Was ist der Unterschied zwischen Konvergenzradius und Konvergenzintervall? Der Radius $R$ gibt an, wie weit vom Entwicklungspunkt die Reihe konvergiert. Das Intervall ist die tatsächliche Menge der $x$-Werte, einschließlich der Frage, welche Randpunkte dazugehören. Zwei Reihen mit gleichem Radius können verschiedene Intervalle haben, wie die Aufgaben 1 und 5 zeigen. ### Warum muss man die Randpunkte getrennt prüfen? An einem Randpunkt ist der Grenzwert im Quotientenkriterium genau $1$, und das liefert keine Information. Die Reihe wird dort zu einer gewöhnlichen Zahlenreihe, die konvergieren oder divergieren kann. ### Ändert das Ableiten einer Potenzreihe den Radius? Nein. Gliedweises Ableiten oder Integrieren lässt den Radius gleich. Das Verhalten an den Randpunkten kann sich aber ändern, also prüfe sie erneut.