# Produktregel und Quotientenregel: Aufgaben mit Lösungen > 12 Aufgaben zur Produktregel und Quotientenregel mit Ergebnissen und Lösungswegen, darunter ein Produkt aus drei Faktoren und eine Aufgabe mit Wertetabelle. Quelle: https://practicecalculus.com/de/uebungsaufgaben/aufgaben-produktregel-und-quotientenregel Aktualisiert: 2026-11-06 $$ (fg)' = f'g + fg', \qquad \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2} $$ ## Auf einen Blick - **Aufgaben:** 12, mit Ergebnissen und vollständigen Lösungen - **Niveau:** Analysis 1 und AP Calculus AB, Einheit 2 - **Du brauchst:** Die [Potenzregel](/practice-problems/power-rule) und die Ableitungen von $e^x$, $\ln x$, $\sin x$ und $\cos x$ - **Grundidee:** Produkt: Ableitung des ersten Faktors mal zweiter Faktor plus erster Faktor mal Ableitung des zweiten. Quotient: (Z' mal N minus Z mal N') durch N Quadrat - **Mit neuen Zahlen üben:** [Lektion zur Produktregel](/learn/calculus-1/derivative-rules/product-rule) ## Das Wichtigste - Bei der Quotientenregel zählt die Reihenfolge: Erst kommt $f'g$, dann ziehst du $fg'$ ab. Vertauschst du beides, kehrt sich das Vorzeichen des Ergebnisses um. - Vereinfache den Zähler eines Ergebnisses der Quotientenregel, indem du gemeinsame Faktoren wie $e^x$ oder eine Potenz von $x$ ausklammerst. - Bei drei Faktoren leitest du jeweils einen Faktor ab und addierst die drei Terme. Diese **Aufgaben zur Produktregel und Quotientenregel** beginnen mit Produkten aus zwei Faktoren, gehen dann zu Quotienten über und enden mit einem Produkt aus drei Faktoren, einem Produkt in einem Quotienten und einer Aufgabe mit Wertetabelle. Versuche jede Aufgabe zuerst selbst. Die Ergebnisse stehen direkt nach der Liste, danach folgen die vollständigen Lösungen. Die beiden Regeln: $$(fg)' = f'g + fg' \qquad\qquad \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$$ Zum Auffrischen sieh dir die Seiten zur [Produktregel](/rules/product-rule) und zur [Quotientenregel](/rules/quotient-rule) oder den [Leitfaden zu Produkt- und Quotientenregel](/blog/product-and-quotient-rules) an. ## Aufgaben **Produktregel** 1. $y = x^2 e^x$ 2. $y = (x^2 + 1)(3x - 2)$ 3. $y = \sqrt{x}\,\ln x$ 4. $y = e^x\cos x$ **Quotientenregel** 5. $y = \dfrac{x}{x + 1}$ 6. $y = \dfrac{2x - 1}{x^2 + 3}$ 7. $y = \dfrac{\sin x}{x}$ 8. $y = \dfrac{\ln x}{x}$ 9. $y = \dfrac{e^x}{x^2}$ **Beides zusammen** 10. $y = x\,e^x\sin x$ 11. $y = \dfrac{x^2 e^x}{x + 1}$ 12. Gegeben sind $f(2) = 3$, $f'(2) = -1$, $g(2) = 4$ und $g'(2) = 5$. Bestimme $(fg)'(2)$ und $\left(\dfrac{f}{g}\right)'(2)$. ## Ergebnisse | Aufgabe | Ergebnis | | --- | --- | | 1 | $(x^2 + 2x)\,e^x$ | | 2 | $9x^2 - 4x + 3$ | | 3 | $\dfrac{\ln x + 2}{2\sqrt{x}}$ | | 4 | $e^x(\cos x - \sin x)$ | | 5 | $\dfrac{1}{(x + 1)^2}$ | | 6 | $\dfrac{-2x^2 + 2x + 6}{(x^2 + 3)^2}$ | | 7 | $\dfrac{x\cos x - \sin x}{x^2}$ | | 8 | $\dfrac{1 - \ln x}{x^2}$ | | 9 | $\dfrac{e^x(x - 2)}{x^3}$ | | 10 | $e^x(\sin x + x\sin x + x\cos x)$ | | 11 | $\dfrac{x e^x(x^2 + 2x + 2)}{(x + 1)^2}$ | | 12 | $(fg)'(2) = 11$, $\left(\frac{f}{g}\right)'(2) = -\dfrac{19}{16}$ | ## Lösungen Schritt für Schritt **1.** Sei $f = x^2$ und $g = e^x$, also $f' = 2x$ und $g' = e^x$: $$y' = 2x\cdot e^x + x^2\cdot e^x = (x^2 + 2x)\,e^x$$ **2.** Sei $f = x^2 + 1$ und $g = 3x - 2$: $$y' = 2x(3x - 2) + (x^2 + 1)(3) = 6x^2 - 4x + 3x^2 + 3 = 9x^2 - 4x + 3$$ Zur Kontrolle kannst du zuerst ausmultiplizieren: $y = 3x^3 - 2x^2 + 3x - 2$ liefert dieselbe Ableitung. **3.** Sei $f = \sqrt{x}$ und $g = \ln x$, also $f' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ und $g' = \frac{1}{x}$: $$y' = \frac{\ln x}{2\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}}{x} = \frac{\ln x}{2\sqrt{x}} + \frac{2}{2\sqrt{x}} = \frac{\ln x + 2}{2\sqrt{x}}$$ Dabei ist $\frac{\sqrt{x}}{x} = \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{2}{2\sqrt{x}}$. **4.** Die Ableitung von $\cos x$ ist $-\sin x$: $$y' = e^x\cos x + e^x(-\sin x) = e^x(\cos x - \sin x)$$ **5.** Zähler $x$, Nenner $x + 1$, und beide Ableitungen sind $1$: $$y' = \frac{1\cdot(x + 1) - x\cdot 1}{(x + 1)^2} = \frac{1}{(x + 1)^2}$$ **6.** Ableitung des Zählers $2$, Ableitung des Nenners $2x$: $$y' = \frac{2(x^2 + 3) - (2x - 1)(2x)}{(x^2 + 3)^2} = \frac{2x^2 + 6 - 4x^2 + 2x}{(x^2 + 3)^2} = \frac{-2x^2 + 2x + 6}{(x^2 + 3)^2}$$ **7.** Ableitung des Zählers $\cos x$, Ableitung des Nenners $1$: $$y' = \frac{x\cos x - \sin x\cdot 1}{x^2} = \frac{x\cos x - \sin x}{x^2}$$ **8.** Ableitung des Zählers $\frac{1}{x}$, Ableitung des Nenners $1$: $$y' = \frac{\frac{1}{x}\cdot x - \ln x\cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}$$ **9.** Ableitung des Zählers $e^x$, Ableitung des Nenners $2x$: $$y' = \frac{e^x x^2 - e^x\cdot 2x}{x^4} = \frac{x e^x(x - 2)}{x^4} = \frac{e^x(x - 2)}{x^3}$$ **10.** Drei Faktoren, also drei Terme. Leite nacheinander $x$, dann $e^x$, dann $\sin x$ ab: $$y' = 1\cdot e^x\sin x + x\cdot e^x\sin x + x e^x\cdot\cos x = e^x(\sin x + x\sin x + x\cos x)$$ **11.** Der Zähler ist ein Produkt. Nach Aufgabe 1 ist seine Ableitung $(x^2 + 2x)e^x$. Jetzt die Quotientenregel: $$y' = \frac{(x^2 + 2x)e^x(x + 1) - x^2e^x\cdot 1}{(x + 1)^2}$$ Klammere im Zähler $e^x$ aus und multipliziere aus: $(x^2 + 2x)(x + 1) - x^2 = x^3 + 2x^2 + 2x = x(x^2 + 2x + 2)$. Also $$y' = \frac{x e^x(x^2 + 2x + 2)}{(x + 1)^2}$$ **12.** Setze die Werte in jede Regel ein: $$(fg)'(2) = f'(2)g(2) + f(2)g'(2) = (-1)(4) + (3)(5) = 11$$ $$\left(\frac{f}{g}\right)'(2) = \frac{f'(2)g(2) - f(2)g'(2)}{g(2)^2} = \frac{(-1)(4) - (3)(5)}{16} = -\frac{19}{16}$$ ## Typische Fehler bei diesen Aufgaben - **Die Ableitungen multiplizieren.** $(x^2e^x)' \ne 2x\cdot e^x$. Die Produktregel liefert immer zwei Terme. - **In der falschen Reihenfolge subtrahieren.** Schreibst du in Aufgabe 6 $(2x - 1)(2x) - 2(x^2 + 3)$ in den Zähler, stimmt der Betrag, aber das Vorzeichen ist falsch. - **Vergessen, den Nenner zu quadrieren.** Der Nenner der Quotientenregel ist $g^2$, nicht $g$. - **Ausmultiplizieren, wenn Ausklammern leichter ist.** Klammere in Aufgabe 9 im Zähler $xe^x$ aus, dann kannst du ein $x$ kürzen. ## Weiter üben Diese 12 Aufgaben haben feste Zahlen. Für unbegrenztes Üben mit immer neuen Funktionen und sofortigem Feedback probiere die [Lektion zur Produktregel](/learn/calculus-1/derivative-rules/product-rule) und die [Lektion zur Quotientenregel](/learn/calculus-1/derivative-rules/quotient-rule). Enthalten die Faktoren selbst eine innere Funktion, wie bei $x^2\sin(3x)$, geht es weiter mit den [Aufgaben zur Kettenregel](/practice-problems/chain-rule). ## Häufig gestellte Fragen ### Wann verwendet man die Produktregel und wann die Quotientenregel? Die Produktregel brauchst du, wenn zwei Funktionen multipliziert werden, wie bei $x^2e^x$, die Quotientenregel, wenn eine durch die andere geteilt wird, wie bei $\frac{\sin x}{x}$. Ist der Nenner eine einzelne Potenz von $x$, kannst du oft umschreiben und stattdessen die Potenzregel verwenden. ### Wie merkt man sich die Quotientenregel? Ein bekannter Merksatz lautet „NAZ minus ZAN durch N Quadrat“: Nenner mal Ableitung des Zählers minus Zähler mal Ableitung des Nenners, geteilt durch den Nenner zum Quadrat. Mit dem Nenner $g$ und dem Zähler $f$ heißt das: $\frac{g f' - f g'}{g^2}$. ### Wie lautet die Produktregel für drei Funktionen? $(fgh)' = f'gh + fg'h + fgh'$. Leite jeweils einen Faktor ab, behalte die beiden anderen und addiere die drei Ergebnisse. Aufgabe 10 verwendet das.