# Aufgaben zur Regel von L'Hospital mit Lösungen und Lösungsweg

> 12 Aufgaben zur Regel von L'Hospital mit Lösungen und ausführlichem Lösungsweg zu 0/0, ∞/∞, 0·∞, ∞−∞ und Potenzformen wie 1^∞ und 0^0.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/uebungsaufgaben/aufgaben-regel-von-lhospital
Aktualisiert: 2026-11-06

$$ \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)} $$

## Auf einen Blick

- **Aufgaben:** 12, mit Lösungen und vollständigem Lösungsweg
- **Niveau:** Calculus 1 und AP Calculus AB, Unit 4
- **Du brauchst:** Die grundlegenden Ableitungsregeln und [Grenzwerte im Unendlichen](/practice-problems/limits-at-infinity)
- **Grundidee:** Auf 0/0 oder ∞/∞ prüfen, dann Zähler und Nenner getrennt ableiten
- **Mit neuen Zahlen üben:** [Lektion zur Regel von L'Hospital](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/lhopitals-rule)

## Das Wichtigste

- Wende die Regel nur auf $\frac{0}{0}$ oder $\frac{\infty}{\infty}$ an. Prüfe die Form jedes Mal, auch vor einer zweiten Anwendung.
- Leite Zähler und Nenner getrennt ab. Verwende nicht die Quotientenregel.
- Schreibe $0\cdot\infty$ und $\infty-\infty$ zuerst als einen einzigen Bruch und behandle $1^\infty$, $0^0$ und $\infty^0$ mit dem natürlichen Logarithmus.

Diese **Aufgaben zur Regel von L'Hospital** decken alle sieben unbestimmten Ausdrücke ab: $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$, $0\cdot\infty$, $\infty - \infty$, $0^0$, $1^\infty$ und $\infty^0$. Die letzte Aufgabe ist eine Falle, bei der die Regel nicht gilt. Die Ergebnisse folgen direkt nach der Liste, danach die ausführlichen Lösungswege.

Die Regel:

$$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)} \quad\text{falls der erste Grenzwert gleich } \tfrac{0}{0} \text{ oder } \tfrac{\infty}{\infty}$$

Die vollständige Aussage und warum sie funktioniert, findest du auf der Seite zur [Regel von L'Hospital](/rules/lhopitals-rule).

## Aufgaben

**Form 0/0**

1. $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{e^{2x} - 1}{\sin x}$
2. $\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{\ln x}{x - 1}$
3. $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{x - \sin x}{x^3}$

**Form ∞/∞**

4. $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x^2}{e^x}$
5. $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{\sqrt{x}}$

**Produkte und Differenzen**

6. $\displaystyle\lim_{x\to 0^+} x\ln x$
7. $\displaystyle\lim_{x\to\infty} x\sin\!\left(\frac{1}{x}\right)$
8. $\displaystyle\lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{x} - \frac{1}{e^x - 1}\right)$

**Potenzformen**

9. $\displaystyle\lim_{x\to 0^+} x^x$
10. $\displaystyle\lim_{x\to\infty} x^{1/x}$
11. $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(1 + \frac{3}{x}\right)^x$

**Erst prüfen, dann rechnen**

12. $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{x^2 + 3}{x + 1}$

## Lösungen

| Aufgabe | Lösung |
| --- | --- |
| 1 | $2$ |
| 2 | $1$ |
| 3 | $\dfrac{1}{6}$ |
| 4 | $0$ |
| 5 | $0$ |
| 6 | $0$ |
| 7 | $1$ |
| 8 | $\dfrac{1}{2}$ |
| 9 | $1$ |
| 10 | $1$ |
| 11 | $e^3$ |
| 12 | $3$ (L'Hospital ist nicht anwendbar) |

## Lösungswege Schritt für Schritt

**1.** Einsetzen ergibt $\frac{0}{0}$. Leite Zähler und Nenner ab:

$$\lim_{x\to 0}\frac{2e^{2x}}{\cos x} = \frac{2}{1} = 2$$

**2.** Einsetzen ergibt $\frac{\ln 1}{0} = \frac{0}{0}$:

$$\lim_{x\to 1}\frac{1/x}{1} = 1$$

**3.** Jeder Durchgang ergibt wieder $\frac{0}{0}$, also wendest du die Regel dreimal an:

$$\lim_{x\to 0}\frac{x - \sin x}{x^3} = \lim_{x\to 0}\frac{1 - \cos x}{3x^2} = \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{6x} = \lim_{x\to 0}\frac{\cos x}{6} = \frac{1}{6}$$

**4.** Das ist $\frac{\infty}{\infty}$. Zwei Durchgänge:

$$\lim_{x\to\infty}\frac{2x}{e^x} = \lim_{x\to\infty}\frac{2}{e^x} = 0$$

Exponentialfunktionen wachsen schneller als jede Potenz von $x$.

**5.** Wieder $\frac{\infty}{\infty}$:

$$\lim_{x\to\infty}\frac{1/x}{\frac{1}{2\sqrt{x}}} = \lim_{x\to\infty}\frac{2\sqrt{x}}{x} = \lim_{x\to\infty}\frac{2}{\sqrt{x}} = 0$$

Logarithmen wachsen langsamer als jede positive Potenz von $x$.

**6.** Das ist $0\cdot(-\infty)$. Bringe $x$ als $\frac{1}{x}$ in den Nenner, dann erhältst du $\frac{-\infty}{\infty}$:

$$\lim_{x\to 0^+}\frac{\ln x}{1/x} = \lim_{x\to 0^+}\frac{1/x}{-1/x^2} = \lim_{x\to 0^+}(-x) = 0$$

**7.** Das ist $\infty\cdot 0$. Schreibe es als $\frac{\sin(1/x)}{1/x}$, also $\frac{0}{0}$. Setze $t = \frac{1}{x}$, dann gilt $t\to 0^+$:

$$\lim_{t\to 0^+}\frac{\sin t}{t} = \lim_{t\to 0^+}\frac{\cos t}{1} = 1$$

**8.** Das ist $\infty - \infty$. Fasse zu einem Bruch zusammen:

$$\frac{1}{x} - \frac{1}{e^x - 1} = \frac{e^x - 1 - x}{x(e^x - 1)}$$

Das ist $\frac{0}{0}$. Nach dem Ableiten ist es immer noch $\frac{0}{0}$, also leitest du noch einmal ab:

$$\lim_{x\to 0}\frac{e^x - 1}{e^x - 1 + xe^x} = \lim_{x\to 0}\frac{e^x}{2e^x + xe^x} = \frac{1}{2}$$

**9.** Das ist $0^0$. Nenne den Grenzwert $L$ und logarithmiere. Diesen Grenzwert hast du schon in Aufgabe 6 berechnet:

$$\ln L = \lim_{x\to 0^+} x\ln x = 0 \quad\Rightarrow\quad L = e^0 = 1$$

**10.** Das ist $\infty^0$. Logarithmiere:

$$\ln L = \lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x} = \lim_{x\to\infty}\frac{1/x}{1} = 0 \quad\Rightarrow\quad L = 1$$

**11.** Das ist $1^\infty$. Logarithmiere und schreibe das Produkt dann als Bruch der Form $\frac{0}{0}$:

$$\ln L = \lim_{x\to\infty} x\ln\!\left(1 + \frac{3}{x}\right) = \lim_{x\to\infty}\frac{\ln\left(1 + \frac{3}{x}\right)}{1/x}$$

Leite den Zähler ab, $\frac{1}{1 + 3/x}\cdot\left(-\frac{3}{x^2}\right)$, und den Nenner, $-\frac{1}{x^2}$:

$$\ln L = \lim_{x\to\infty}\frac{3}{1 + \frac{3}{x}} = 3 \quad\Rightarrow\quad L = e^3$$

**12.** Setze zuerst ein: $\frac{0 + 3}{0 + 1} = 3$. Das ist eine reelle Zahl, also ist der Grenzwert $3$ und du bist fertig. Mit L'Hospital erhieltest du hier $\frac{2x}{1}\to 0$, und das ist falsch, weil die Regel nur bei unbestimmten Ausdrücken gilt.

## Typische Fehler bei diesen Aufgaben

- **Die Quotientenregel verwenden.** L'Hospital bedeutet $\frac{f'}{g'}$, nicht $\left(\frac{f}{g}\right)'$. Leite Zähler und Nenner jeweils für sich ab.
- **Die Prüfung überspringen.** Aufgabe 12 zeigt, was dann passiert: Die Regel liefert ein falsches Ergebnis, wenn der Ausdruck nicht unbestimmt ist.
- **Vergessen, den Logarithmus rückgängig zu machen.** In den Aufgaben 9 bis 11 berechnest du zuerst $\ln L$. Das Ergebnis von Aufgabe 11 ist $e^3$, nicht $3$.
- **Die Regel direkt auf ein Produkt anwenden.** In Aufgabe 6 musst du $x\ln x$ vor dem Ableiten als Bruch schreiben.

## Weiter üben

Diese 12 Aufgaben haben feste Zahlen. Für unbegrenztes Üben mit jedes Mal neuen Grenzwerten und sofortigem Feedback probiere die [Lektion zur Regel von L'Hospital](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/lhopitals-rule). Weitere Rechenbeispiele und die Überlegungen hinter jedem unbestimmten Ausdruck findest du im [Leitfaden zur Regel von L'Hospital](/blog/lhopitals-rule). Wenn du zuerst die algebraischen Methoden wiederholen willst, geh zurück zu den [Aufgaben zum Berechnen von Grenzwerten](/practice-problems/evaluating-limits).

## Häufig gestellte Fragen

### Wann darf man die Regel von L'Hospital anwenden?

Nur wenn direktes Einsetzen $\frac{0}{0}$ oder $\frac{\infty}{\infty}$ ergibt und Zähler und Nenner in der Nähe der Stelle differenzierbar sind. Andere unbestimmte Ausdrücke musst du zuerst in eine dieser beiden Formen umschreiben.

### Darf man die Regel von L'Hospital mehrmals anwenden?

Ja, solange der neue Grenzwert noch $\frac{0}{0}$ oder $\frac{\infty}{\infty}$ ist. Aufgabe 3 unten braucht drei Durchgänge. Prüfe die Form vor jedem Durchgang, denn sobald sie nicht mehr unbestimmt ist, musst du einsetzen.

### Wie wendet man die Regel von L'Hospital bei 1 hoch unendlich an?

Nenne den Grenzwert $L$ und logarithmiere: $\ln L = \lim g(x)\ln f(x)$. Dadurch wird aus der Potenz ein Produkt, das du als Bruch schreibst und mit L'Hospital löst. Dann ist $L = e^{\ln L}$. Aufgabe 11 zeigt das und ergibt $e^3$.