# Riemann-Summen: Aufgaben mit Lösungen > 10 Aufgaben zu Riemann-Summen mit Lösungen: Unter-, Ober- und Mittelpunktsummen, Trapezregel, Wertetabellen, zu große oder zu kleine Schätzungen. Quelle: https://practicecalculus.com/de/uebungsaufgaben/aufgaben-riemann-summen Aktualisiert: 2026-11-06 $$ \int_a^b f(x)\,dx \approx \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\,\Delta x, \quad \Delta x = \frac{b-a}{n} $$ ## Auf einen Blick - **Aufgaben:** 10, mit Ergebnissen und vollständigen Lösungen - **Niveau:** Analysis 1 und AP Calculus AB, Einheit 6 - **Du brauchst:** Funktionswerte berechnen und das Summenzeichen - **Grundidee:** Die Flächen schmaler Rechtecke addieren: Höhe mal Breite - **Mit neuen Zahlen üben:** [Lektion zu Riemann-Summen](/learn/calculus-1/integrals/riemann-sums) ## Das Wichtigste - Bestimme zuerst $\Delta x = \frac{b-a}{n}$ und liste dann die Stützstellen auf, bevor du etwas ausrechnest. - Bei einer steigenden Funktion ist die linke Summe zu klein und die rechte zu groß. Bei einer fallenden Funktion ist es umgekehrt. - Ein Grenzwert von Riemann-Summen ist ein bestimmtes Integral. Lies $\Delta x$ und die Funktion ab, um das Integral zu finden. Diese **Aufgaben zu Riemann-Summen** behandeln linke, rechte, Mittelpunkt- und Trapezsummen, Tabellen mit ungleichen Abständen, zu große und zu kleine Schätzungen und das Umwandeln eines Grenzwerts von Summen in ein Integral. Versuche jede Aufgabe zuerst selbst. Zuerst kommen die Ergebnisse, dann die vollständigen Lösungen. Der grundlegende Ansatz: $$\Delta x = \frac{b-a}{n}, \qquad \text{Summe} = \Delta x\,\big(f(x_1^*) + f(x_2^*) + \cdots + f(x_n^*)\big)$$ Linke Summen verwenden das linke Ende jedes Teilintervalls, rechte Summen das rechte Ende und Mittelpunktsummen die Mitte. Die Ideen dahinter findest du im [Leitfaden zu Riemann-Summen](/blog/riemann-sums). ## Aufgaben **Eine Funktion, vier Methoden.** Verwende $f(x) = x^2$ auf $[0, 2]$ mit $n = 4$. 1. Bestimme die linke Riemann-Summe $L_4$. 2. Bestimme die rechte Riemann-Summe $R_4$. 3. Bestimme die Mittelpunktsumme $M_4$. 4. Bestimme die Trapezsumme $T_4$ und vergleiche alle vier mit dem exakten Wert $\int_0^2 x^2\,dx = \frac{8}{3}$. **Zu groß oder zu klein** 5. Bestimme die linke Summe $L_4$ für $f(x) = \frac{1}{x}$ auf $[1, 3]$. Ist sie eine zu große oder zu kleine Schätzung für $\ln 3$? 6. Die Geschwindigkeit eines Autos wird zu einigen Zeitpunkten gemessen: | $t$ (s) | 0 | 2 | 5 | 6 | | --- | --- | --- | --- | --- | | $v(t)$ (m/s) | 10 | 14 | 20 | 18 | Schätze die von $t = 0$ bis $t = 6$ zurückgelegte Strecke mit einer linken Summe, einer rechten Summe und einer Trapezsumme. 7. Erkläre für $f(x) = x^2$ auf $[0, 2]$, warum $M_4 < \frac{8}{3} < T_4$ gilt. **Grenzwerte von Summen** 8. Schreibe $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\frac{3}{n}\left(1 + \frac{3i}{n}\right)^2$ als bestimmtes Integral und berechne es. 9. Bestimme die rechte Summe $R_n$ für $f(x) = x$ auf $[0, 2]$ in geschlossener Form und bilde dann den Grenzwert für $n \to \infty$. 10. Schätze $\int_0^{\pi}\sin x\,dx$ mit einer Mittelpunktsumme, $n = 4$. ## Ergebnisse | Aufgabe | Ergebnis | | --- | --- | | 1 | $L_4 = 1.75$ | | 2 | $R_4 = 3.75$ | | 3 | $M_4 = 2.625$ | | 4 | $T_4 = 2.75$; exakter Wert $\approx 2.667$ | | 5 | $L_4 = \frac{77}{60} \approx 1.283$, zu groß | | 6 | Links $82$ m, rechts $106$ m, Trapez $94$ m | | 7 | $x^2$ ist linksgekrümmt | | 8 | $\int_1^4 x^2\,dx = 21$ | | 9 | $R_n = \frac{2(n+1)}{n} \to 2$ | | 10 | $\approx 2.052$ (exakter Wert $2$) | ## Lösungen Schritt für Schritt **1.** $\Delta x = \frac{2 - 0}{4} = 0.5$, die Stellen sind also $0, 0.5, 1, 1.5, 2$. Die linke Summe verwendet die ersten vier: $$L_4 = 0.5\,(0 + 0.25 + 1 + 2.25) = 0.5(3.5) = 1.75$$ **2.** Die rechte Summe verwendet die letzten vier Stellen: $$R_4 = 0.5\,(0.25 + 1 + 2.25 + 4) = 0.5(7.5) = 3.75$$ **3.** Die Mittelpunkte sind $0.25, 0.75, 1.25, 1.75$. Ihre Quadrate sind $0.0625, 0.5625, 1.5625, 3.0625$, zusammen $5.25$: $$M_4 = 0.5(5.25) = 2.625$$ **4.** Bei gleichen Breiten ist die Trapezsumme der Mittelwert aus linker und rechter Summe: $$T_4 = \frac{1.75 + 3.75}{2} = 2.75$$ Der exakte Wert $\frac{8}{3} \approx 2.667$ liegt zwischen $M_4$ und $T_4$. Die Mittelpunktsumme liegt am nächsten dran. **5.** $\Delta x = 0.5$, und die linken Stellen sind $1, 1.5, 2, 2.5$: $$L_4 = 0.5\left(1 + \tfrac{2}{3} + \tfrac{1}{2} + \tfrac{2}{5}\right) = 0.5\cdot\frac{77}{30} = \frac{77}{60} \approx 1.283$$ Da $\frac{1}{x}$ fällt, ist das linke Ende jedes Teilintervalls der höchste Punkt, und jedes Rechteck ragt über die Kurve hinaus. Die Summe ist also eine zu große Schätzung für $\ln 3 \approx 1.099$. **6.** Die Breiten sind $2$, $3$ und $1$. Multipliziere jede Breite mit der passenden Höhe: - Links: $2(10) + 3(14) + 1(20) = 82$ m - Rechts: $2(14) + 3(20) + 1(18) = 106$ m - Trapez: $2\cdot\frac{10+14}{2} + 3\cdot\frac{14+20}{2} + 1\cdot\frac{20+18}{2} = 24 + 51 + 19 = 94$ m **7.** Eine linksgekrümmte Kurve biegt sich nach oben, also liegt die obere Kante jedes Trapezes über der Kurve, und $T_4$ ist zu groß. Jedes Mittelpunktrechteck hat dieselbe Fläche wie das Trapez unter der Tangente im jeweiligen Mittelpunkt, und eine linksgekrümmte Kurve liegt über ihren Tangenten, also ist $M_4$ zu klein. **8.** Vergleiche mit dem Muster $\Delta x = \frac{3}{n}$ und $x_i = 1 + \frac{3i}{n}$. Das Intervall beginnt bei $1$ und hat die Länge $3$, ist also $[1, 4]$, und die Funktion ist $x^2$: $$\int_1^4 x^2\,dx = \frac{4^3 - 1^3}{3} = \frac{63}{3} = 21$$ **9.** $\Delta x = \frac{2}{n}$ und $x_i = \frac{2i}{n}$. Verwende $\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$: $$R_n = \sum_{i=1}^{n}\frac{2}{n}\cdot\frac{2i}{n} = \frac{4}{n^2}\cdot\frac{n(n+1)}{2} = \frac{2(n+1)}{n} \to 2$$ Das stimmt mit der Dreiecksfläche $\frac{1}{2}(2)(2) = 2$ überein. **10.** $\Delta x = \frac{\pi}{4}$, und die Mittelpunkte sind $\frac{\pi}{8}, \frac{3\pi}{8}, \frac{5\pi}{8}, \frac{7\pi}{8}$. Ihre Sinuswerte sind etwa $0.3827, 0.9239, 0.9239, 0.3827$, zusammen etwa $2.6131$: $$M_4 \approx \frac{\pi}{4}(2.6131) \approx 2.052$$ Da $\sin x$ auf $[0, \pi]$ rechtsgekrümmt ist, überschätzt die Mittelpunktsumme den exakten Wert $2$. ## Typische Fehler bei diesen Aufgaben - **$n + 1$ Höhen verwenden.** Eine linke oder rechte Summe mit $n = 4$ hat genau vier Rechtecke. Liste die Stellen auf und streiche die, die du nicht brauchst. - **In einer Tabelle gleiche Breiten annehmen.** In Aufgabe 6 sind die Abstände $2$, $3$ und $1$. Ein einziges $\Delta x$ liefert das falsche Ergebnis. - **Die Regeln für zu groß und zu klein verwechseln.** Links und rechts hängen vom Steigen oder Fallen ab, Mittelpunkt und Trapez von der Krümmung. - **Das Intervall in einem Grenzwert falsch ablesen.** In Aufgabe 8 bedeutet $x_i = 1 + \frac{3i}{n}$, dass das Intervall bei $1$ beginnt und nicht bei $0$. ## Weiter üben Für unbegrenzt viele Summen mit neuen Funktionen und sofortigem Feedback arbeite die [Lektion zu Riemann-Summen](/learn/calculus-1/integrals/riemann-sums) und die [Lektion zu Trapezsummen](/learn/calculus-1/integrals/trapezoid-sums) durch. Wie aus dem Grenzwert dieser Summen ein exaktes Ergebnis wird, siehst du in den [Aufgaben zu bestimmten Integralen](/practice-problems/definite-integrals) und den [Aufgaben zum Hauptsatz](/practice-problems/fundamental-theorem-of-calculus). ## Häufig gestellte Fragen ### Woran erkennt man, ob eine Riemann-Summe zu groß oder zu klein ist? Bei linken und rechten Summen schaust du, ob die Funktion steigt oder fällt. Bei Mittelpunkt- und Trapezsummen schaust du auf die Krümmung: Ist der Graph linksgekrümmt, ist die Trapezsumme zu groß und die Mittelpunktsumme zu klein. ### Was ist der Unterschied zwischen Trapezregel und Riemann-Summe? Eine Riemann-Summe verwendet Rechtecke. Die Trapezregel verwendet Trapeze, die der Steigung der Kurve folgen. Bei gleichen Breiten ist die Trapezsumme der Mittelwert aus linker und rechter Summe. ### Müssen die Teilintervalle bei Riemann-Summen gleich breit sein? Nein. Bei Daten aus einer Tabelle sind die Breiten die Abstände, die die Tabelle vorgibt. Multipliziere jede Höhe mit ihrer eigenen Breite, wie in Aufgabe 6.