# Volumen von Rotationskörpern: Aufgaben mit Lösungen > 11 Aufgaben zum Volumen von Rotationskörpern mit Lösungen: Scheiben-, Ring- und Zylindermantelmethode, auch mit Rotation um andere Achsen. Quelle: https://practicecalculus.com/de/uebungsaufgaben/aufgaben-rotationskoerper Aktualisiert: 2026-11-06 $$ V = \pi\int_a^b \big(R(x)^2 - r(x)^2\big)\,dx \qquad V = 2\pi\int_a^b x\,h(x)\,dx $$ ## Auf einen Blick - **Aufgaben:** 11, mit Ergebnissen und vollständigen Lösungen - **Niveau:** Analysis 1, Analysis 2 und AP Calculus, Einheit 8 - **Du brauchst:** [Fläche zwischen Kurven](/practice-problems/area-between-curves) und [bestimmte Integrale](/practice-problems/definite-integrals) - **Grundidee:** Den Körper in Scheiben, Ringe oder Zylindermäntel zerlegen, das Volumen eines Stücks bestimmen und alles aufsummieren - **Mit neuen Zahlen üben:** [Lektion zur Scheibenmethode](/learn/calculus-1/applications-of-integrals/volumes-disks) ## Das Wichtigste - Scheibe: $\pi\int R^2$. Ring: $\pi\int(R^2 - r^2)$. Zylindermantel: $2\pi\int(\text{Radius})(\text{Höhe})$. - Ein Radius ist ein Abstand zur Achse. Bei einer Achse wie $y = -1$ addierst oder subtrahierst du, um den Abstand zu erhalten. - Quadriere jeden Radius einzeln: $R^2 - r^2$, niemals $(R - r)^2$. Diese **Aufgaben zu Rotationskörpern** behandeln die Scheiben-, Ring- und Zylindermantelmethode, Rotation um die $y$-Achse und Rotation um Geraden, die keine Koordinatenachsen sind. Versuche jede Aufgabe zuerst selbst. Die Ergebnisse stehen vorne, damit du schnell vergleichen kannst, danach folgen die vollständigen Lösungen. Die drei Formeln für Rotation um die $x$-Achse oder die $y$-Achse: $$\text{Scheibe: } V = \pi\int_a^b R^2\,dx \qquad \text{Ring: } V = \pi\int_a^b (R^2 - r^2)\,dx \qquad \text{Zylindermantel: } V = 2\pi\int_a^b x\,h(x)\,dx$$ Bilder zu jeder Schnittart findest du im [Leitfaden zu Rotationskörpern](/blog/volumes-of-revolution). ## Aufgaben **Scheiben um die x-Achse** 1. $y = \sqrt{x}$, $0 \le x \le 4$, um die $x$-Achse 2. $y = x^2$, $0 \le x \le 1$, um die $x$-Achse 3. $y = \sqrt{9 - x^2}$, $-3 \le x \le 3$, um die $x$-Achse 4. $y = \sin x$, $0 \le x \le \pi$, um die $x$-Achse **Ringe** 5. Das Gebiet zwischen $y = x$ und $y = x^2$, um die $x$-Achse 6. Das Gebiet zwischen $y = \sqrt{x}$ und $y = x$, um die $x$-Achse **Um die y-Achse** 7. Das Gebiet zwischen $y = x^2$, $y = 4$ und der $y$-Achse ($x \ge 0$), um die $y$-Achse, mit Scheiben 8. Das Gebiet unter $y = x - x^2$ auf $[0, 1]$, um die $y$-Achse, mit Zylindermänteln 9. Das Gebiet unter $y = x^2$ auf $[0, 2]$, um die $y$-Achse, mit Zylindermänteln **Andere Achsen** 10. Das Gebiet zwischen $y = x$ und $y = x^2$, um die Gerade $y = -1$ 11. Das Gebiet zwischen $y = x^2$ und $y = 1$, um die Gerade $y = 1$ ## Ergebnisse | Aufgabe | Ergebnis | | --- | --- | | 1 | $8\pi$ | | 2 | $\frac{\pi}{5}$ | | 3 | $36\pi$ | | 4 | $\frac{\pi^2}{2}$ | | 5 | $\frac{2\pi}{15}$ | | 6 | $\frac{\pi}{6}$ | | 7 | $8\pi$ | | 8 | $\frac{\pi}{6}$ | | 9 | $8\pi$ | | 10 | $\frac{7\pi}{15}$ | | 11 | $\frac{16\pi}{15}$ | ## Lösungen Schritt für Schritt **1.** Jeder Schnitt ist eine Scheibe mit Radius $\sqrt{x}$: $$\pi\int_0^4 x\,dx = \pi\cdot 8 = 8\pi$$ **2.** Der Radius ist $x^2$, also $R^2 = x^4$: $$\pi\int_0^1 x^4\,dx = \frac{\pi}{5}$$ **3.** Das Quadrat des Radius ist $9 - x^2$: $$\pi\int_{-3}^{3}(9 - x^2)\,dx = \pi(54 - 18) = 36\pi$$ Das ist eine Kugel mit Radius $3$, und $\frac{4}{3}\pi(3)^3 = 36\pi$. Eine gute Kontrolle. **4.** Verwende $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$: $$\pi\int_0^{\pi}\sin^2 x\,dx = \pi\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{\pi^2}{2}$$ **5.** Auf $[0, 1]$ ist die Gerade $y = x$ weiter von der Achse entfernt, also $R = x$ und $r = x^2$: $$\pi\int_0^1(x^2 - x^4)\,dx = \pi\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) = \frac{2\pi}{15}$$ **6.** Auf $[0, 1]$ gilt $\sqrt{x} \ge x$, also $R = \sqrt{x}$ und $r = x$: $$\pi\int_0^1(x - x^2)\,dx = \pi\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) = \frac{\pi}{6}$$ **7.** Schneide waagerecht. In der Höhe $y$ ist der Radius $x = \sqrt{y}$, also $R^2 = y$: $$\pi\int_0^4 y\,dy = 8\pi$$ **8.** Ein Zylindermantel bei $x$ hat den Radius $x$ und die Höhe $x - x^2$: $$2\pi\int_0^1 x(x - x^2)\,dx = 2\pi\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) = \frac{\pi}{6}$$ **9.** Ein Zylindermantel bei $x$ hat den Radius $x$ und die Höhe $x^2$: $$2\pi\int_0^2 x^3\,dx = 2\pi\cdot 4 = 8\pi$$ Die Aufgaben 7 und 9 beschreiben verschiedene Körper, die zufällig dasselbe Volumen haben. Aufgabe 7 ist der Körper, der die Paraboloid-Schale ausfüllt, Aufgabe 9 der Körper unter der Schale, zwischen Schale und dem Zylinder $x = 2$. Zusammen füllen sie einen Zylinder mit Radius $2$ und Höhe $4$, dessen Volumen $16\pi$ beträgt. **10.** Miss von $y = -1$ aus. Der äußere Radius ist $x + 1$, der innere Radius $x^2 + 1$: $$\pi\int_0^1\big[(x + 1)^2 - (x^2 + 1)^2\big]dx = \pi\int_0^1(2x - x^2 - x^4)\,dx = \pi\left(1 - \frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) = \frac{7\pi}{15}$$ **11.** Das Gebiet grenzt an die Gerade $y = 1$, also verwende Scheiben. Der Radius ist $1 - x^2$, und die Kurven schneiden sich bei $x = \pm 1$: $$\pi\int_{-1}^{1}(1 - x^2)^2\,dx = 2\pi\int_0^1(1 - 2x^2 + x^4)\,dx = 2\pi\cdot\frac{8}{15} = \frac{16\pi}{15}$$ ## Typische Fehler bei diesen Aufgaben - **$(R - r)^2$ schreiben.** In Aufgabe 5 liefert $\pi\int(x - x^2)^2\,dx$ den Wert $\frac{\pi}{30}$ statt $\frac{2\pi}{15}$. Quadriere jeden Radius einzeln. - **Von der falschen Achse aus messen.** In Aufgabe 10 sind die Radien $x + 1$ und $x^2 + 1$, nicht $x$ und $x^2$. - **Das $\pi$ oder das $2\pi$ vergessen.** Die Formeln für Scheiben und Ringe beginnen mit $\pi$, die Formel für Zylindermäntel mit $2\pi$. - **Variablen mischen.** Bei waagerechten Schnitten muss alles in $y$ stehen, auch die Grenzen. ## Weiter üben Für unbegrenzt viele Körper mit sofortigem Feedback probiere die [Lektion zur Scheibenmethode](/learn/calculus-1/applications-of-integrals/volumes-disks), die [Lektion zur Ringmethode](/learn/calculus-1/applications-of-integrals/volumes-washers) und die [Lektion zu Querschnitten](/learn/calculus-1/applications-of-integrals/volumes-cross-sections). Reicht ein Gebiet bis ins Unendliche, zeigen dir die [Aufgaben zu uneigentlichen Integralen](/practice-problems/improper-integrals), wie du damit umgehst. ## Häufig gestellte Fragen ### Wie wählt man zwischen Ringmethode und Zylindermantelmethode? Beide liefern dasselbe Volumen. Schnitte senkrecht zur Achse ergeben Scheiben oder Ringe, Schnitte parallel zur Achse ergeben Zylindermäntel. Wähle die Methode mit den einfacheren Funktionen und Grenzen. Rotiert ein in $x$ beschriebenes Gebiet um die $y$-Achse, sparst du dir mit Zylindermänteln meist das Auflösen nach $x$. ### Was ist der Unterschied zwischen Scheibe und Ring? Eine Scheibe ist ein voller Schnitt ohne Loch und passt, wenn das Gebiet an die Achse grenzt. Ein Ring hat ein Loch und passt, wenn zwischen Gebiet und Achse eine Lücke ist. Das Volumen eines Rings ist $\pi(R^2 - r^2)$ mal die Dicke. ### Wie rotiert man um eine Gerade, die keine Achse ist? Miss jeden Radius von dieser Geraden aus. Bei Rotation um $y = -1$ hat eine Kurve $y = f(x)$ oberhalb der Geraden den Radius $f(x) + 1$. Aufgabe 10 zeigt das.