# Aufgaben zu Stammfunktionen mit Lösungen und Lösungsweg > 12 Aufgaben zu Stammfunktionen mit Lösungen und Lösungsweg: Potenzregel, trigonometrische Funktionen, e-Funktionen und Anfangswertprobleme. Quelle: https://practicecalculus.com/de/uebungsaufgaben/aufgaben-stammfunktionen Aktualisiert: 2026-11-06 $$ \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1) $$ ## Auf einen Blick - **Aufgaben:** 12, mit Lösungen und ausführlichem Lösungsweg - **Niveau:** Calculus 1 und AP Calculus AB, Unit 6 - **Du brauchst:** Die [Potenzregel für Integrale](/rules/reverse-power-rule) und die Grundableitungen - **Grundidee:** Frag dich, welche Funktion diese Ableitung hat, und addiere dann $+C$ - **Mit neuen Zahlen üben:** [Lektionen zu Stammfunktionen](/learn/calculus-1/integrals/undoing-derivatives) ## Das Wichtigste - Wende die Potenzregel für Integrale Summand für Summand an: Exponent um eins erhöhen und durch den neuen Exponenten teilen. - Schreibe Wurzeln und Brüche vor dem Integrieren als Potenzen und denk daran, dass $\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$ gilt. - Bei einem Anfangswertproblem bestimmst du zuerst die allgemeine Stammfunktion und berechnest dann mit dem gegebenen Punkt $C$. Diese **Aufgaben zu Stammfunktionen** beginnen mit der Potenzregel und führen weiter zu trigonometrischen Funktionen, e-Funktionen und Anfangswertproblemen. Versuch jede Aufgabe selbst, bevor du die Lösung liest. Zuerst kommen die Ergebnisse, damit du schnell vergleichen kannst, danach die ausführlichen Lösungswege. Die Regel, die du am häufigsten brauchst: $$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \qquad (n \neq -1)$$ Erhöhe den Exponenten um eins, teile durch den neuen Exponenten und addiere $+C$. Die einzige Ausnahme ist $n = -1$, dort gilt $\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$. Zur Wiederholung lies die Seite zur [Potenzregel für Integrale](/rules/reverse-power-rule). ## Aufgaben **Potenzregel** 1. $\displaystyle\int (4x^3 - 6x + 2)\,dx$ 2. $\displaystyle\int 3\sqrt{x}\,dx$ 3. $\displaystyle\int \frac{1}{x^3}\,dx$ 4. $\displaystyle\int \frac{5}{x}\,dx$ **Trigonometrische Funktionen und e-Funktion** 5. $\displaystyle\int (2e^x + \cos x)\,dx$ 6. $\displaystyle\int (\sec^2 x - 3\sin x)\,dx$ 7. $\displaystyle\int \frac{4}{1 + x^2}\,dx$ **Zuerst vereinfachen** 8. $\displaystyle\int (x^2 + 1)^2\,dx$ 9. $\displaystyle\int \frac{x^2 + 3}{\sqrt{x}}\,dx$ **Anfangswertprobleme** 10. Bestimme $f(x)$, wenn $f'(x) = 6x^2 - 4$ und $f(1) = 5$ gilt. 11. Bestimme $f(x)$, wenn $f''(x) = 12x$, $f'(0) = 3$ und $f(0) = -1$ gilt. 12. Ein Teilchen hat die Geschwindigkeit $v(t) = 3t^2 - 2t$ und die Position $s(0) = 4$. Bestimme $s(2)$. ## Lösungen | Aufgabe | Ergebnis | | --- | --- | | 1 | $x^4 - 3x^2 + 2x + C$ | | 2 | $2x^{3/2} + C$ | | 3 | $-\dfrac{1}{2x^2} + C$ | | 4 | $5\ln\lvert x\rvert + C$ | | 5 | $2e^x + \sin x + C$ | | 6 | $\tan x + 3\cos x + C$ | | 7 | $4\arctan x + C$ | | 8 | $\dfrac{x^5}{5} + \dfrac{2x^3}{3} + x + C$ | | 9 | $\dfrac{2}{5}x^{5/2} + 6x^{1/2} + C$ | | 10 | $f(x) = 2x^3 - 4x + 7$ | | 11 | $f(x) = 2x^3 + 3x - 1$ | | 12 | $s(2) = 8$ | ## Lösungswege Schritt für Schritt **1.** Integriere Summand für Summand. Aus $4x^3$ wird $x^4$, aus $-6x$ wird $-3x^2$ und aus $2$ wird $2x$: $$\int (4x^3 - 6x + 2)\,dx = x^4 - 3x^2 + 2x + C$$ **2.** Schreibe $\sqrt{x} = x^{1/2}$. Der neue Exponent ist $\frac{3}{2}$, also teilst du durch $\frac{3}{2}$: $$3\cdot\frac{x^{3/2}}{3/2} + C = 2x^{3/2} + C$$ **3.** Schreibe $\frac{1}{x^3} = x^{-3}$. Der neue Exponent ist $-2$: $$\frac{x^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2x^2} + C$$ **4.** Das ist der Fall $n = -1$, die Potenzregel gilt hier also nicht. Nutze die Logarithmusregel (siehe [Integral von 1/x](/integrals/1-over-x)): $$\int \frac{5}{x}\,dx = 5\ln|x| + C$$ **5.** Die Ableitung von $e^x$ ist $e^x$ und die Ableitung von $\sin x$ ist $\cos x$, also: $$\int (2e^x + \cos x)\,dx = 2e^x + \sin x + C$$ **6.** Die Ableitung von $\tan x$ ist $\sec^2 x$. Eine Stammfunktion von $\sin x$ ist $-\cos x$, also ergibt $-3\sin x$ den Summanden $+3\cos x$: $$\int (\sec^2 x - 3\sin x)\,dx = \tan x + 3\cos x + C$$ **7.** Die Ableitung von $\arctan x$ ist $\frac{1}{1+x^2}$: $$\int \frac{4}{1+x^2}\,dx = 4\arctan x + C$$ **8.** Multipliziere zuerst aus: $(x^2+1)^2 = x^4 + 2x^2 + 1$. Integriere dann jeden Summanden: $$\frac{x^5}{5} + \frac{2x^3}{3} + x + C$$ **9.** Teile den Bruch auf: $\frac{x^2}{x^{1/2}} + \frac{3}{x^{1/2}} = x^{3/2} + 3x^{-1/2}$. Dann gilt: $$\frac{x^{5/2}}{5/2} + 3\cdot\frac{x^{1/2}}{1/2} + C = \frac{2}{5}x^{5/2} + 6x^{1/2} + C$$ **10.** Die allgemeine Stammfunktion ist $f(x) = 2x^3 - 4x + C$. Mit $f(1) = 5$ folgt $2 - 4 + C = 5$, also $C = 7$: $$f(x) = 2x^3 - 4x + 7$$ **11.** Integriere zweimal und nutze jedes Mal eine Bedingung. Zuerst ist $f'(x) = 6x^2 + C_1$, und $f'(0) = 3$ liefert $C_1 = 3$. Dann ist $f(x) = 2x^3 + 3x + C_2$, und $f(0) = -1$ liefert $C_2 = -1$: $$f(x) = 2x^3 + 3x - 1$$ **12.** Die Position ist eine Stammfunktion der Geschwindigkeit: $s(t) = t^3 - t^2 + C$. Wegen $s(0) = 4$ ist $C = 4$. Damit gilt: $$s(2) = 8 - 4 + 4 = 8$$ ## Typische Fehler bei diesen Aufgaben - **$+C$ vergessen.** Ein unbestimmtes Integral ist eine ganze Schar von Funktionen. Ohne $+C$ gibt es in den meisten Klausuren Punktabzug. - **Die Potenzregel auf $\frac{1}{x}$ anwenden.** Das ergäbe $\frac{x^0}{0}$, und das ist nicht definiert. Das Ergebnis ist $\ln|x| + C$. - **Vorzeichenfehler bei Sinus und Kosinus.** Eine Stammfunktion von $\sin x$ ist $-\cos x$, nicht $\cos x$. Leite dein Ergebnis zur Probe ab. - **Ein Produkt faktorweise integrieren.** In Aufgabe 8 ist $\int (x^2+1)^2\,dx$ nicht $\frac{(x^2+1)^3}{3}$. Multipliziere zuerst aus oder mach die Probe durch Ableiten. - **$C$ zu spät bestimmen.** Bestimme in Aufgabe 11 $C_1$, bevor du noch einmal integrierst, sonst bleibt ein unbekannter Summand $C_1 x$ übrig. ## Weiter üben Diese 12 Aufgaben haben feste Zahlen. Für unbegrenzte Übung mit immer neuen Zahlen und sofortigem Feedback probier die [Lektion zur Potenzregel für Integrale](/learn/calculus-1/integrals/reverse-power-rule) und die [Lektion zu trigonometrischen und Exponentialintegralen](/learn/calculus-1/integrals/trig-exponential-integrals). Wenn dir Stammfunktionen leichtfallen, mach weiter mit den [Aufgaben zu bestimmten Integralen](/practice-problems/definite-integrals) und den [Aufgaben zur Substitutionsregel](/practice-problems/u-substitution). Die Ideen dahinter erklärt der [Leitfaden zu Stammfunktionen](/blog/antiderivatives). ## Häufig gestellte Fragen ### Wie überprüft man eine Stammfunktion? Leite dein Ergebnis ab. Erhältst du wieder die Ausgangsfunktion, ist die Stammfunktion richtig. Diese Probe dauert nur wenige Sekunden und deckt die meisten Vorzeichen- und Koeffizientenfehler auf. ### Warum addiert man bei einer Stammfunktion +C? Jede Konstante hat die Ableitung null, also haben $x^2$, $x^2 + 5$ und $x^2 - 3$ alle die Ableitung $2x$. Das $+C$ steht für alle auf einmal. Eine Anfangsbedingung legt einen Wert für $C$ fest. ### Gibt es eine Produktregel für Stammfunktionen? Nein. Das Integral eines Produkts ist nicht das Produkt der Integrale. Multipliziere zuerst aus oder vereinfache, wie in Aufgabe 8 unten, oder nutze bei schwierigeren Produkten die [Substitutionsregel](/practice-problems/u-substitution) oder die partielle Integration.