# Aufgaben zur Stetigkeit mit Lösungen und Lösungsweg > 12 Aufgaben zur Stetigkeit mit Lösungen und Lösungsweg: abschnittsweise definierte Funktionen, Parameter k, Arten von Unstetigkeit und Zwischenwertsatz. Quelle: https://practicecalculus.com/de/uebungsaufgaben/aufgaben-stetigkeit Aktualisiert: 2026-11-06 $$ \lim_{x\to a} f(x) = f(a) $$ ## Auf einen Blick - **Aufgaben:** 12, mit Lösungen und ausführlichem Lösungsweg - **Niveau:** Calculus 1 und AP Calculus AB, Unit 1 - **Du brauchst:** Einseitige Grenzwerte und das [Berechnen von Grenzwerten](/practice-problems/evaluating-limits) - **Grundidee:** f ist an der Stelle a stetig, wenn f(a) existiert, der Grenzwert existiert und beide gleich sind - **Mit neuen Zahlen üben:** [Lektion zur Stetigkeit](/learn/calculus-1/limits/continuity) ## Das Wichtigste - Prüfe an der Stelle $x = a$ drei Dinge: $f(a)$ ist definiert, $\lim_{x\to a} f(x)$ existiert, und beide sind gleich. - Bei einer abschnittsweise definierten Funktion musst du nur die Nahtstellen prüfen. Vergleiche dort den linksseitigen Grenzwert, den rechtsseitigen Grenzwert und den Funktionswert. - Der Zwischenwertsatz setzt Stetigkeit auf einem abgeschlossenen Intervall voraus. Ohne sie garantiert ein Vorzeichenwechsel keine Nullstelle. Diese **Aufgaben zur Stetigkeit** behandeln die Definition mit ihren drei Bedingungen, abschnittsweise definierte Funktionen, das Bestimmen einer Konstanten, die eine Funktion stetig macht, die Einteilung von Unstetigkeiten, Stetigkeitsbereiche und den Zwischenwertsatz. Versuch jede Aufgabe zuerst selbst. Die Ergebnisse stehen direkt nach der Liste, danach folgen die ausführlichen Lösungswege. Eine Funktion $f$ ist an der Stelle $x = a$ stetig, wenn alle drei Bedingungen erfüllt sind: $$f(a) \text{ ist definiert}, \qquad \lim_{x\to a} f(x) \text{ existiert}, \qquad \lim_{x\to a} f(x) = f(a)$$ Mehr zur Idee dahinter erfährst du im [Leitfaden zur Stetigkeit](/blog/continuity). ## Aufgaben **Ist die Funktion stetig?** 1. Ist $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$ an der Stelle $x = 1$ stetig? Falls nicht, wie könntest du das beheben? 2. Ist $f(x) = \begin{cases} x^2 + 1 & x < 2 \\ 3x - 1 & x \ge 2 \end{cases}$ an der Stelle $x = 2$ stetig? 3. Ist $f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & x \le 1 \\ x^2 + 4 & x > 1 \end{cases}$ an der Stelle $x = 1$ stetig? 4. Ist $f(x) = \begin{cases} \dfrac{\sin x}{x} & x \ne 0 \\ 1 & x = 0 \end{cases}$ an der Stelle $x = 0$ stetig? **Mach die Funktion stetig** 5. Bestimme $k$ so, dass $f(x) = \begin{cases} kx + 3 & x < 2 \\ x^2 - k & x \ge 2 \end{cases}$ überall stetig ist. 6. Bestimme $a$ und $b$ so, dass $f(x) = \begin{cases} 3x + a & x < 1 \\ x^2 + bx & 1 \le x \le 2 \\ 10 & x > 2 \end{cases}$ überall stetig ist. **Arten von Unstetigkeit und Stetigkeitsbereiche** 7. Bestimme und klassifiziere die Unstetigkeitsstellen von $f(x) = \dfrac{x - 2}{x^2 - 5x + 6}$. 8. Wo ist $f(x) = \dfrac{\ln(x - 4)}{x - 6}$ stetig? 9. Wo ist $f(x) = \sqrt{9 - x^2}$ stetig? **Zwischenwertsatz** 10. Zeige, dass $x^3 + x - 1 = 0$ eine Lösung zwischen $0$ und $1$ hat. 11. Zeige, dass $\cos x = x$ eine Lösung in $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ hat. 12. Für $f(x) = \frac{1}{x}$ gilt $f(-1) = -1$ und $f(1) = 1$. Folgt aus dem Zwischenwertsatz, dass $f$ in $[-1, 1]$ eine Nullstelle hat? ## Lösungen | Aufgabe | Ergebnis | | --- | --- | | 1 | Nein, $f(1)$ ist nicht definiert. Hebbar: setze $f(1) = 2$ | | 2 | Ja, beide Seiten liefern $5$ und $f(2) = 5$ | | 3 | Nein, Sprungstelle (links $3$, rechts $5$) | | 4 | Ja | | 5 | $k = \dfrac{1}{3}$ | | 6 | $a = 1$, $b = 3$ | | 7 | Hebbar bei $x = 2$, Unendlichkeitsstelle bei $x = 3$ | | 8 | $(4, 6)\cup(6, \infty)$ | | 9 | $[-3, 3]$ | | 10 | $f(0) = -1 < 0$ und $f(1) = 1 > 0$, also gibt es nach dem Zwischenwertsatz eine Nullstelle | | 11 | $g(x) = \cos x - x$ wechselt im Intervall das Vorzeichen, also gibt es eine Nullstelle | | 12 | Nein. $f$ ist auf $[-1, 1]$ nicht stetig und hat keine Nullstelle | ## Lösungswege Schritt für Schritt **1.** Bei $x = 1$ ist der Nenner $0$, also ist $f(1)$ nicht definiert und $f$ dort nicht stetig. Der Grenzwert existiert aber: $$\lim_{x\to 1}\frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = \lim_{x\to 1}(x + 1) = 2$$ Das ist eine hebbare Unstetigkeit, ein Loch bei $(1, 2)$. Setzt du $f(1) = 2$, ist das Loch geschlossen und $f$ stetig. **2.** Prüfe alle drei Bedingungen: - Linksseitiger Grenzwert: $2^2 + 1 = 5$. - Rechtsseitiger Grenzwert: $3(2) - 1 = 5$. - Funktionswert: $f(2) = 3(2) - 1 = 5$. Alle drei stimmen überein, also ist $f$ an der Stelle $x = 2$ stetig. **3.** Der linksseitige Grenzwert ist $2(1) + 1 = 3$ und der rechtsseitige Grenzwert ist $1^2 + 4 = 5$. Die einseitigen Grenzwerte sind verschieden, also existiert der Grenzwert nicht. Das ist eine Sprungstelle. **4.** Der Funktionswert ist $f(0) = 1$, und der bekannte Grenzwert liefert $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$. Beide stimmen überein, also ist $f$ an der Stelle $0$ stetig. **5.** Jedes Teilstück ist ein Polynom, also musst du nur $x = 2$ prüfen. Setze den linksseitigen Grenzwert gleich dem rechtsseitigen Grenzwert: $$2k + 3 = 4 - k \quad\Rightarrow\quad 3k = 1 \quad\Rightarrow\quad k = \frac{1}{3}$$ **6.** Es gibt zwei Nahtstellen, also erhältst du zwei Gleichungen. Bei $x = 2$: Das mittlere Teilstück liefert $4 + 2b$ und das rechte Teilstück $10$, also $b = 3$. Bei $x = 1$: Das linke Teilstück liefert $3 + a$ und das mittlere Teilstück $1 + b = 4$, also $a = 1$. **7.** Faktorisiere den Nenner: $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$, also ist $f$ bei $x = 2$ und $x = 3$ nicht definiert. $$f(x) = \frac{x - 2}{(x - 2)(x - 3)} = \frac{1}{x - 3} \quad (x \ne 2)$$ Bei $x = 2$ ist der Grenzwert $\frac{1}{2 - 3} = -1$, das ist also eine hebbare Unstetigkeit. Bei $x = 3$ wird auch der Nenner der gekürzten Form null, also gilt $f\to\pm\infty$: eine Unendlichkeitsstelle mit senkrechter Asymptote. **8.** Der Logarithmus verlangt $x - 4 > 0$, also $x > 4$. Der Nenner verlangt $x \ne 6$. Zusammen ist $f$ auf $(4, 6)\cup(6, \infty)$ stetig. **9.** Die Wurzel verlangt $9 - x^2 \ge 0$, also $-3 \le x \le 3$. Die Funktion ist auf dem abgeschlossenen Intervall $[-3, 3]$ stetig, an den Randpunkten im Sinne der einseitigen Stetigkeit. **10.** Sei $f(x) = x^3 + x - 1$. Als Polynom ist die Funktion auf $[0, 1]$ stetig. Wegen $f(0) = -1$ und $f(1) = 1$ liegt der Wert $0$ dazwischen. Nach dem [Zwischenwertsatz](/theorems/intermediate-value-theorem) gibt es ein $c$ in $(0, 1)$ mit $f(c) = 0$. **11.** Schreibe die Gleichung als $g(x) = \cos x - x = 0$. Die Funktion $g$ ist überall stetig. Prüfe die Randpunkte: $$g(0) = 1 > 0, \qquad g\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right) = 0 - \tfrac{\pi}{2} < 0$$ Das Vorzeichen wechselt, also gibt es nach dem Zwischenwertsatz ein $c$ in $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ mit $\cos c = c$. **12.** Nein. Der Zwischenwertsatz setzt voraus, dass $f$ auf dem ganzen abgeschlossenen Intervall stetig ist, und $\frac{1}{x}$ ist bei $0$ nicht definiert. Der Satz sagt hier nichts aus, und tatsächlich ist $\frac{1}{x}$ nie $0$. ## Typische Fehler bei diesen Aufgaben - **Nur den Grenzwert prüfen.** In Aufgabe 1 existiert der Grenzwert, trotzdem ist die Funktion unstetig, weil $f(1)$ fehlt. - **An der Nahtstelle das falsche Teilstück verwenden.** In Aufgabe 2 kommt $f(2)$ aus dem Teilstück mit $x \ge 2$. Lies die Ungleichheitszeichen genau. - **Nur eine Nahtstelle prüfen.** Aufgabe 6 hat zwei Nahtstellen, und jede liefert eine eigene Gleichung. - **Den Zwischenwertsatz ohne Stetigkeit anwenden.** Aufgabe 12 zeigt, dass ein Vorzeichenwechsel allein nichts beweist. ## Weiter üben Diese 12 Aufgaben haben feste Zahlen. Für unbegrenzte Übung mit neuen Funktionen und sofortigem Feedback probier die [Lektion zur Stetigkeit](/learn/calculus-1/limits/continuity) und die [Lektion zum Zwischenwertsatz](/learn/calculus-1/limits/intermediate-value-theorem). Stetigkeit ist auch die erste Voraussetzung des [Mittelwertsatzes](/practice-problems/mean-value-theorem), den du als Nächstes üben kannst. ## Häufig gestellte Fragen ### Wie prüft man, ob eine Funktion an einer Stelle stetig ist? Nutze den Test in drei Schritten. Stelle sicher, dass $f(a)$ definiert ist, bestimme den links- und den rechtsseitigen Grenzwert und prüfe, ob sie übereinstimmen, und prüfe dann, ob dieser gemeinsame Grenzwert gleich $f(a)$ ist. Scheitert ein Schritt, ist $f$ an der Stelle $a$ unstetig. ### Wie bestimmt man k, damit eine abschnittsweise definierte Funktion stetig ist? Setze an der Nahtstelle den linksseitigen Grenzwert gleich dem rechtsseitigen Grenzwert und löse nach $k$ auf. In Aufgabe 5 ergibt $2k + 3 = 4 - k$ den Wert $k = \frac{1}{3}$. ### Welche Arten von Unstetigkeit gibt es? Eine hebbare Unstetigkeit (ein Loch) liegt vor, wenn der Grenzwert existiert, aber nicht gleich $f(a)$ ist oder $f(a)$ fehlt. Eine Sprungstelle liegt vor, wenn die einseitigen Grenzwerte verschieden sind. Eine Unendlichkeitsstelle liegt bei einer senkrechten Asymptote vor.