# Integration durch Substitution: Aufgaben mit Lösungen > 12 Aufgaben zur Substitutionsregel mit Ergebnissen und Lösungswegen, von (x²+1)⁵ bis ln x / x, mit Rücksubstitution und bestimmten Integralen. Quelle: https://practicecalculus.com/de/uebungsaufgaben/aufgaben-substitutionsregel Aktualisiert: 2026-11-06 $$ \int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du, \quad u = g(x) $$ ## Auf einen Blick - **Aufgaben:** 12, mit Ergebnissen und vollständigen Lösungen - **Niveau:** Analysis 1, Analysis 2 und AP Calculus AB, Einheit 6 - **Du brauchst:** Grundlegende Stammfunktionen und die [Kettenregel](/rules/chain-rule) - **Grundidee:** Die innere Funktion als $u$ wählen, $g'(x)\,dx$ durch $du$ ersetzen und nach $u$ integrieren - **Mit neuen Zahlen üben:** [Lektion zur Substitutionsregel](/learn/calculus-1/integrals/u-substitution) ## Das Wichtigste - Wähle als $u$ die innere Funktion einer Verkettung, deren Ableitung bis auf eine Konstante ebenfalls vorkommt. - Nach der Substitution muss jedes $x$ verschwunden sein. Bleibt eines übrig, löse $u = g(x)$ nach $x$ auf und ersetze es. - Rechne bei einem bestimmten Integral die Grenzen in $u$-Werte um, dann musst du nie zurück substituieren. Diese **Aufgaben zur Substitutionsregel** beginnen mit klar erkennbaren inneren Funktionen und steigern sich bis zu Logarithmen, Rücksubstitution und bestimmten Integralen mit neuen Grenzen. Versuche jede Aufgabe zuerst selbst. Die Ergebnisse stehen vorne, damit du schnell vergleichen kannst, danach folgen die vollständigen Lösungen. Die Methode: $$\int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du, \qquad u = g(x),\ du = g'(x)\,dx$$ Setze $u$ gleich der inneren Funktion, bestimme $du$, ersetze alles, integriere und setze dann wieder $x$ ein. Zum Auffrischen lies die Seite zur [Substitutionsregel](/rules/u-substitution-rule). ## Aufgaben **Die Ableitung steht schon da** 1. $\displaystyle\int 2x(x^2 + 1)^5\,dx$ 2. $\displaystyle\int \cos(3x)\,dx$ 3. $\displaystyle\int x\,e^{x^2}\,dx$ 4. $\displaystyle\int x^2\sqrt{x^3 + 1}\,dx$ **Logarithmen und Winkelfunktionen** 5. $\displaystyle\int \frac{\ln x}{x}\,dx$ 6. $\displaystyle\int \tan x\,dx$ 7. $\displaystyle\int \sin x\cos^4 x\,dx$ 8. $\displaystyle\int \frac{e^x}{1 + e^x}\,dx$ 9. $\displaystyle\int \frac{1}{x\ln x}\,dx$ **Rücksubstitution** 10. $\displaystyle\int x\sqrt{x + 1}\,dx$ **Bestimmte Integrale** 11. $\displaystyle\int_0^2 x(x^2 + 1)^3\,dx$ 12. $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos x\,e^{\sin x}\,dx$ ## Ergebnisse | Aufgabe | Ergebnis | | --- | --- | | 1 | $\dfrac{(x^2 + 1)^6}{6} + C$ | | 2 | $\dfrac{\sin(3x)}{3} + C$ | | 3 | $\dfrac{1}{2}e^{x^2} + C$ | | 4 | $\dfrac{2}{9}(x^3 + 1)^{3/2} + C$ | | 5 | $\dfrac{(\ln x)^2}{2} + C$ | | 6 | $-\ln\lvert\cos x\rvert + C$ | | 7 | $-\dfrac{\cos^5 x}{5} + C$ | | 8 | $\ln(1 + e^x) + C$ | | 9 | $\ln\lvert\ln x\rvert + C$ | | 10 | $\dfrac{2}{5}(x+1)^{5/2} - \dfrac{2}{3}(x+1)^{3/2} + C$ | | 11 | $78$ | | 12 | $e - 1$ | ## Lösungen Schritt für Schritt **1.** Setze $u = x^2 + 1$, also $du = 2x\,dx$. Genau das steht vorne: $$\int u^5\,du = \frac{u^6}{6} + C = \frac{(x^2+1)^6}{6} + C$$ **2.** Setze $u = 3x$, also $du = 3\,dx$ und $dx = \frac{1}{3}du$: $$\frac{1}{3}\int\cos u\,du = \frac{\sin(3x)}{3} + C$$ **3.** Setze $u = x^2$, also $du = 2x\,dx$ und $x\,dx = \frac{1}{2}du$: $$\frac{1}{2}\int e^u\,du = \frac{1}{2}e^{x^2} + C$$ **4.** Setze $u = x^3 + 1$, also $du = 3x^2\,dx$ und $x^2\,dx = \frac{1}{3}du$: $$\frac{1}{3}\int u^{1/2}\,du = \frac{1}{3}\cdot\frac{2}{3}u^{3/2} + C = \frac{2}{9}(x^3+1)^{3/2} + C$$ **5.** Setze $u = \ln x$, also $du = \frac{1}{x}dx$: $$\int u\,du = \frac{u^2}{2} + C = \frac{(\ln x)^2}{2} + C$$ **6.** Schreibe $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$. Setze $u = \cos x$, also $du = -\sin x\,dx$: $$-\int\frac{1}{u}\,du = -\ln|\cos x| + C$$ Das ist dasselbe wie $\ln|\sec x| + C$. Siehe das [Integral von tan x](/integrals/tan-x). **7.** Setze $u = \cos x$, also $\sin x\,dx = -du$: $$-\int u^4\,du = -\frac{u^5}{5} + C = -\frac{\cos^5 x}{5} + C$$ **8.** Setze $u = 1 + e^x$, also $du = e^x\,dx$. Da $1 + e^x > 0$ ist, brauchst du keinen Betrag: $$\int\frac{1}{u}\,du = \ln(1 + e^x) + C$$ **9.** Setze $u = \ln x$, also $du = \frac{1}{x}dx$. Das Integral wird zu $\int\frac{1}{u}\,du$: $$\ln|\ln x| + C$$ **10.** Setze $u = x + 1$, also $du = dx$. Es bleibt noch ein $x$ übrig, also löse danach auf: $x = u - 1$. Dann: $$\int (u - 1)u^{1/2}\,du = \int\left(u^{3/2} - u^{1/2}\right)du = \frac{2}{5}u^{5/2} - \frac{2}{3}u^{3/2} + C$$ Setze wieder $u = x + 1$ ein und du erhältst das Ergebnis aus der Tabelle. **11.** Setze $u = x^2 + 1$, also $x\,dx = \frac{1}{2}du$. Rechne die Grenzen um: $x = 0$ liefert $u = 1$ und $x = 2$ liefert $u = 5$: $$\frac{1}{2}\int_1^5 u^3\,du = \frac{1}{2}\cdot\frac{5^4 - 1^4}{4} = \frac{624}{8} = 78$$ **12.** Setze $u = \sin x$, also $du = \cos x\,dx$. Die Grenzen werden zu $u = 0$ und $u = 1$: $$\int_0^1 e^u\,du = e - 1$$ ## Typische Fehler bei diesen Aufgaben - **$dx$ im Integral stehen lassen.** Nach der Substitution muss alles in $u$ und $du$ stehen. Ein übrig gebliebenes $dx$ zeigt, dass ein Schritt fehlt. - **Durch eine Variable teilen.** In $\int e^{x^2}\,dx$ gibt es keinen Faktor $x$, also funktioniert $u = x^2$ nicht. Konstanten lassen sich ausgleichen, Variablen nicht. - **Die alten Grenzen behalten.** Integrierst du in Aufgabe 11 $u^3$ von $0$ bis $2$, ist das Ergebnis falsch. Rechne die Grenzen um oder substituiere vorher zurück zu $x$. - **Die Rücksubstitution vergessen.** Ein unbestimmtes Integral muss als Ergebnis in $x$ stehen. ## Weiter üben Für unbegrenzt viele Aufgaben mit neuen Zahlen und sofortigem Feedback probiere die [Lektion zur Substitutionsregel](/learn/calculus-1/integrals/u-substitution) und die [Wiederholung in Analysis 2](/learn/calculus-2/integration-techniques/u-substitution-refresher). Weitere Rechenbeispiele findest du im [Leitfaden zur Substitutionsregel](/blog/u-substitution). Wenn die Substitution bei Produkten nicht mehr weiterhilft, geht es weiter mit den [Aufgaben zur partiellen Integration](/practice-problems/integration-by-parts). ## Häufig gestellte Fragen ### Wie wählt man u bei der Substitutionsregel? Suche eine Funktion in einer anderen Funktion, etwa das $x^2 + 1$ in $(x^2+1)^5$, deren Ableitung ebenfalls als Faktor vorkommt. Eine fehlende Konstante ist kein Problem, denn durch sie kannst du teilen. Bleiben bei deiner Wahl $x$-Terme übrig, die du nicht ersetzen kannst, versuche ein anderes $u$. ### Was macht man, wenn die Ableitung von u um eine Konstante abweicht? Teile durch die Konstante. Bei $\int x\,e^{x^2}\,dx$ ist $du = 2x\,dx$, also $x\,dx = \frac{1}{2}du$. So lassen sich nur Konstanten ausgleichen, keine fehlenden Variablen. ### Ist die Substitutionsregel die Umkehrung der Kettenregel? Ja. Die Kettenregel liefert $\frac{d}{dx}F(g(x)) = F'(g(x))g'(x)$, also ergibt das Integral von $F'(g(x))g'(x)$ wieder $F(g(x)) + C$. Jedes Ergebnis einer Substitution kannst du durch Ableiten mit der Kettenregel prüfen.