# Taylorreihen: Aufgaben mit Lösungen > 12 Aufgaben zu Taylor- und Maclaurin-Reihen mit Lösungen: Reihen aufstellen, Taylorpolynome, Näherungen mit Fehlerabschätzung, Grenzwerte und Summen. Quelle: https://practicecalculus.com/de/uebungsaufgaben/aufgaben-taylorreihen Aktualisiert: 2026-11-06 $$ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n $$ ## Auf einen Blick - **Aufgaben:** 12, mit Ergebnissen und vollständigen Lösungen - **Niveau:** Analysis 2 und AP Calculus BC, Einheit 10 - **Du brauchst:** Ableitungen, Fakultäten und [Potenzreihen](/practice-problems/power-series) - **Grundidee:** Die Ableitungen von $f$ an einer Stelle übernehmen und die Reihe dann zum Nähern, für Grenzwerte oder zum Summieren nutzen - **Mit neuen Zahlen üben:** [Lektion zu Maclaurin-Reihen](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/maclaurin-series) ## Das Wichtigste - Der Koeffizient von $(x - a)^n$ ist $\frac{f^{(n)}(a)}{n!}$. Teile jedes Mal durch die Fakultät. - Baue neue Reihen aus bekannten ($e^x$, $\sin x$, $\cos x$, $\frac{1}{1 - x}$) durch Substituieren, Multiplizieren oder Integrieren, statt viele Ableitungen zu bilden. - Ableitungen lassen sich aus einer Reihe ablesen: $f^{(n)}(0) = n!\times$ (Koeffizient von $x^n$). Diese **Aufgaben zu Taylorreihen** behandeln das Aufstellen von Maclaurin- und Taylorreihen, Taylorpolynome, Näherungen mit Fehlerabschätzung und den Einsatz von Reihen für Grenzwerte, Ableitungen und Summen. Versuche jede Aufgabe zuerst selbst. Zuerst kommen die Ergebnisse, dann die vollständigen Lösungen. Die Formel: $$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \cdots$$ Die Begründung und weitere Beispiele findest du im [Leitfaden zu Taylorreihen](/blog/taylor-series). ## Aufgaben **Reihen aufstellen** 1. Bestimme die ersten vier von null verschiedenen Terme der Maclaurin-Reihe von $e^{2x}$. 2. Bestimme die ersten drei von null verschiedenen Terme der Maclaurin-Reihe von $\cos(x^2)$. 3. Bestimme die ersten vier von null verschiedenen Terme der Maclaurin-Reihe von $x\,e^{-x}$. 4. Bestimme die Taylorreihe von $\ln x$ mit dem Entwicklungspunkt $a = 1$. 5. Bestimme das Taylorpolynom vom Grad 3 von $\sqrt{x}$ mit dem Entwicklungspunkt $a = 4$. 6. Bestimme mithilfe der Reihe für $\frac{1}{1 + x^2}$ die Maclaurin-Reihe von $\arctan x$. **Näherungen** 7. Schätze $\sqrt{4.1}$ mit dem Taylorpolynom vom Grad 2 aus Aufgabe 5 ab. 8. Schätze $\sin(0.5)$ mit $x - \frac{x^3}{6}$ ab und schätze den Fehler nach oben ab. **Reihen anwenden** 9. Bestimme $f^{(10)}(0)$ für $f(x) = x^2\cos x$. 10. Bestimme $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x - x}{x^3}$. 11. Bestimme $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{e^x - 1 - x}{x^2}$. 12. Bestimme die Summe $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\pi^{2n}}{(2n)!}$. ## Ergebnisse | Aufgabe | Ergebnis | | --- | --- | | 1 | $1 + 2x + 2x^2 + \frac{4}{3}x^3$ | | 2 | $1 - \frac{x^4}{2} + \frac{x^8}{24}$ | | 3 | $x - x^2 + \frac{x^3}{2} - \frac{x^4}{6}$ | | 4 | $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}(x - 1)^n}{n}$ | | 5 | $2 + \frac{x - 4}{4} - \frac{(x - 4)^2}{64} + \frac{(x - 4)^3}{512}$ | | 6 | $x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots$ | | 7 | $\approx 2.0248438$ | | 8 | $\approx 0.479167$, Fehler kleiner als $0.00027$ | | 9 | $90$ | | 10 | $-\frac{1}{6}$ | | 11 | $\frac{1}{2}$ | | 12 | $-1$ | ## Lösungen Schritt für Schritt **1.** Ersetze $x$ durch $2x$ in $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \cdots$: $$1 + 2x + \frac{4x^2}{2} + \frac{8x^3}{6} = 1 + 2x + 2x^2 + \frac{4}{3}x^3$$ **2.** Ersetze $x$ durch $x^2$ in $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \cdots$: $$1 - \frac{x^4}{2} + \frac{x^8}{24} - \cdots$$ **3.** $e^{-x} = 1 - x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} + \cdots$. Multipliziere jeden Term mit $x$. **4.** Für $f(x) = \ln x$ gilt $f(1) = 0$, $f'(1) = 1$, $f''(1) = -1$, $f'''(1) = 2$ und allgemein $f^{(n)}(1) = (-1)^{n+1}(n - 1)!$. Teile durch $n!$, das ergibt $\frac{(-1)^{n+1}}{n}$: $$\ln x = (x - 1) - \frac{(x - 1)^2}{2} + \frac{(x - 1)^3}{3} - \cdots$$ **5.** Bilde die Ableitungen an der Stelle $x = 4$: | | Wert bei 4 | Geteilt durch $n!$ | | --- | --- | --- | | $f = x^{1/2}$ | $2$ | $2$ | | $f' = \frac{1}{2}x^{-1/2}$ | $\frac{1}{4}$ | $\frac{1}{4}$ | | $f'' = -\frac{1}{4}x^{-3/2}$ | $-\frac{1}{32}$ | $-\frac{1}{64}$ | | $f''' = \frac{3}{8}x^{-5/2}$ | $\frac{3}{256}$ | $\frac{1}{512}$ | **6.** $\frac{1}{1 + x^2} = 1 - x^2 + x^4 - \cdots$ für $|x| < 1$. Integriere gliedweise von $0$ bis $x$: $$\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots$$ **7.** Mit $x - 4 = 0.1$: $$2 + \frac{0.1}{4} - \frac{0.01}{64} = 2 + 0.025 - 0.00015625 = 2.02484375$$ Der wahre Wert ist $2.0248457\ldots$, die Schätzung weicht also um etwa $0.000002$ ab. **8.** $0.5 - \frac{0.125}{6} \approx 0.479167$. Die Reihe ist alternierend mit fallenden Termen, also ist der Fehler kleiner als der nächste Term, $\frac{0.5^5}{120} \approx 0.00026$. Der wahre Wert ist $0.479426$, die Abweichung beträgt $0.000259$. **9.** $x^2\cos x = x^2 - \frac{x^4}{2!} + \frac{x^6}{4!} - \frac{x^8}{6!} + \frac{x^{10}}{8!} - \cdots$. Der Koeffizient von $x^{10}$ ist $\frac{1}{8!}$, und er ist auch gleich $\frac{f^{(10)}(0)}{10!}$: $$f^{(10)}(0) = \frac{10!}{8!} = 10\cdot 9 = 90$$ **10.** $\sin x - x = -\frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \cdots$. Teile durch $x^3$: $-\frac{1}{6} + \frac{x^2}{120} - \cdots \to -\frac{1}{6}$. **11.** $e^x - 1 - x = \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \cdots$. Teile durch $x^2$: $\frac{1}{2} + \frac{x}{6} + \cdots \to \frac{1}{2}$. **12.** Das ist die Kosinusreihe $\sum\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$ mit $x = \pi$, die Summe ist also $\cos\pi = -1$. ## Typische Fehler bei diesen Aufgaben - **Die Fakultät vergessen.** Der Koeffizient ist $\frac{f^{(n)}(a)}{n!}$, nicht $f^{(n)}(a)$. In Aufgabe 5 ist $f''(4) = -\frac{1}{32}$, der Koeffizient aber $-\frac{1}{64}$. - **Ableiten, wo Substitution reicht.** $\cos(x^2)$ achtmal abzuleiten dauert lange. Setze in die bekannte Reihe ein. - **$x$ statt $x - a$ verwenden.** Eine Taylorreihe mit $a = 4$ verwendet Potenzen von $(x - 4)$. - **Verwechseln, welcher Koeffizient welche Ableitung liefert.** In Aufgabe 9 stammt der Koeffizient von $x^{10}$ aus dem Term $n = 4$ der Kosinusreihe, und du multiplizierst mit $10!$. ## Weiter üben Für unbegrenzt viele Aufgaben mit sofortigem Feedback probiere die [Lektion zu Taylorpolynomen](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/taylor-polynomials), die [Lektion zu Maclaurin-Reihen](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/maclaurin-series) und die [Lektion zum Nähern mit Taylorpolynomen](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/estimating-with-taylor). Danach probiere die [Aufgaben zu Parameterkurven und Polarkoordinaten](/practice-problems/parametric-and-polar), die dieselbe Einheit in Analysis 2 abschließen. ## Häufig gestellte Fragen ### Was ist der Unterschied zwischen Taylorreihe und Maclaurin-Reihe? Eine Maclaurin-Reihe ist eine Taylorreihe mit dem Entwicklungspunkt $a = 0$. Taylorreihen können um jeden Punkt entwickelt werden, wie in den Aufgaben 4 und 5 unten. ### Welche Maclaurin-Reihen sollte man auswendig kennen? $e^x = \sum\frac{x^n}{n!}$, $\sin x = \sum\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$, $\cos x = \sum\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$ und $\frac{1}{1 - x} = \sum x^n$. Die meisten anderen Reihen in Klausuren entstehen daraus durch Substitution, Multiplikation oder Integration. ### Wie genau ist ein Taylorpolynom? Bei einer alternierenden Reihe ist der Fehler höchstens so groß wie der erste weggelassene Term. Allgemein besagt die Restgliedabschätzung nach Lagrange, dass der Fehler höchstens $\frac{M}{(n+1)!}|x - a|^{n+1}$ beträgt, wobei $M$ eine Schranke für $|f^{(n+1)}|$ zwischen $a$ und $x$ ist. Siehe den [Satz von Taylor](/theorems/taylors-theorem).