# Trigonometrische Integrale: Aufgaben mit Lösungen > 12 Aufgaben zu trigonometrischen Integralen mit Lösungen: Potenzen von Sinus und Kosinus, Tangens und Sekans, Halbwinkelformeln und Additionstheoreme. Quelle: https://practicecalculus.com/de/uebungsaufgaben/aufgaben-trigonometrische-integrale Aktualisiert: 2026-11-06 $$ \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}, \quad \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} $$ ## Auf einen Blick - **Aufgaben:** 12, mit Ergebnissen und vollständigen Lösungen - **Niveau:** Analysis 2 und AP Calculus BC - **Du brauchst:** Die [Substitutionsregel](/practice-problems/u-substitution) und den trigonometrischen Pythagoras - **Grundidee:** Ungerade Potenz: einen Faktor für $du$ aufheben. Gerade Potenzen: die Halbwinkelformeln verwenden - **Mit neuen Zahlen üben:** [Lektion zu trigonometrischen Integralen](/learn/calculus-2/integration-techniques/trig-integrals) ## Das Wichtigste - Hat Sinus oder Kosinus eine ungerade Potenz, hebst du einen Faktor für $du$ auf und verwandelst den Rest mit $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ in die andere Funktion. - Sind beide Potenzen gerade, senkst du sie mit den Halbwinkelformeln. - Bei $\sec^n x$ mit geradem $n$ hebst du $\sec^2 x$ für $du$ mit $u = \tan x$ auf. Bei ungeraden Potenzen von $\tan x$ mal $\sec x$ hebst du $\sec x\tan x$ mit $u = \sec x$ auf. Diese **Aufgaben zu trigonometrischen Integralen** behandeln Potenzen von Sinus und Kosinus, Tangens und Sekans sowie Produkte mit verschiedenen Winkeln. Versuche jede Aufgabe zuerst selbst. Die Ergebnisse stehen vorne, damit du schnell vergleichen kannst, danach folgen die vollständigen Lösungen. Die Identitäten, die du brauchst: $$\sin^2 x + \cos^2 x = 1, \qquad 1 + \tan^2 x = \sec^2 x$$ $$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}, \qquad \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$$ ## Aufgaben **Gerade Potenzen: Halbwinkelformeln** 1. $\displaystyle\int\sin^2 x\,dx$ 2. $\displaystyle\int\cos^2 x\,dx$ 3. $\displaystyle\int\sin^2 x\cos^2 x\,dx$ **Ungerade Potenzen: einen Faktor aufheben** 4. $\displaystyle\int\sin^2 x\cos x\,dx$ 5. $\displaystyle\int\cos^3 x\,dx$ 6. $\displaystyle\int\sin^3 x\,dx$ 7. $\displaystyle\int\sin^3 x\cos^2 x\,dx$ **Tangens und Sekans** 8. $\displaystyle\int\tan^2 x\,dx$ 9. $\displaystyle\int\sec^4 x\,dx$ 10. $\displaystyle\int\tan^3 x\sec x\,dx$ **Verschiedene Winkel und bestimmte Integrale** 11. $\displaystyle\int\sin(3x)\cos x\,dx$ 12. $\displaystyle\int_0^{\pi}\sin^2 x\,dx$ ## Ergebnisse | Aufgabe | Ergebnis | | --- | --- | | 1 | $\dfrac{x}{2} - \dfrac{\sin 2x}{4} + C$ | | 2 | $\dfrac{x}{2} + \dfrac{\sin 2x}{4} + C$ | | 3 | $\dfrac{x}{8} - \dfrac{\sin 4x}{32} + C$ | | 4 | $\dfrac{\sin^3 x}{3} + C$ | | 5 | $\sin x - \dfrac{\sin^3 x}{3} + C$ | | 6 | $-\cos x + \dfrac{\cos^3 x}{3} + C$ | | 7 | $-\dfrac{\cos^3 x}{3} + \dfrac{\cos^5 x}{5} + C$ | | 8 | $\tan x - x + C$ | | 9 | $\tan x + \dfrac{\tan^3 x}{3} + C$ | | 10 | $\dfrac{\sec^3 x}{3} - \sec x + C$ | | 11 | $-\dfrac{\cos 4x}{8} - \dfrac{\cos 2x}{4} + C$ | | 12 | $\dfrac{\pi}{2}$ | ## Lösungen Schritt für Schritt **1.** Verwende die Halbwinkelformel: $$\int\frac{1 - \cos 2x}{2}\,dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C$$ Mehr dazu beim [Integral von sin² x](/integrals/sin-squared-x). **2.** Dieselbe Idee mit Pluszeichen: $$\int\frac{1 + \cos 2x}{2}\,dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C$$ **3.** Verwende $\sin x\cos x = \frac{1}{2}\sin 2x$, also $\sin^2 x\cos^2 x = \frac{1}{4}\sin^2 2x$. Wende dann die Halbwinkelformel mit dem Winkel $2x$ an: $$\frac{1}{4}\int\frac{1 - \cos 4x}{2}\,dx = \frac{x}{8} - \frac{\sin 4x}{32} + C$$ **4.** Setze $u = \sin x$, also $du = \cos x\,dx$: $$\int u^2\,du = \frac{\sin^3 x}{3} + C$$ **5.** Hebe ein $\cos x$ auf und schreibe $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$. Mit $u = \sin x$: $$\int(1 - u^2)\,du = \sin x - \frac{\sin^3 x}{3} + C$$ **6.** Hebe ein $\sin x$ auf und schreibe $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$. Mit $u = \cos x$, $du = -\sin x\,dx$: $$-\int(1 - u^2)\,du = -\cos x + \frac{\cos^3 x}{3} + C$$ **7.** Der Sinus hat die ungerade Potenz, also hebe ein $\sin x$ auf: $\sin^3 x\cos^2 x = (1 - \cos^2 x)\cos^2 x\sin x$. Mit $u = \cos x$: $$-\int(u^2 - u^4)\,du = -\frac{\cos^3 x}{3} + \frac{\cos^5 x}{5} + C$$ **8.** Verwende $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$: $$\int(\sec^2 x - 1)\,dx = \tan x - x + C$$ **9.** Hebe $\sec^2 x$ für $du$ auf und schreibe das andere $\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$. Mit $u = \tan x$: $$\int(1 + u^2)\,du = \tan x + \frac{\tan^3 x}{3} + C$$ **10.** Hebe $\sec x\tan x$ für $du$ mit $u = \sec x$ auf. Das übrige $\tan^2 x = \sec^2 x - 1 = u^2 - 1$: $$\int(u^2 - 1)\,du = \frac{\sec^3 x}{3} - \sec x + C$$ **11.** Verwende die Produktformel $\sin A\cos B = \frac{1}{2}\big[\sin(A + B) + \sin(A - B)\big]$: $$\frac{1}{2}\int(\sin 4x + \sin 2x)\,dx = -\frac{\cos 4x}{8} - \frac{\cos 2x}{4} + C$$ **12.** Nach Aufgabe 1: $$\left[\frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4}\right]_0^{\pi} = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$$ Das passt: Auf $[0, \pi]$ hat $\sin^2 x$ den Mittelwert $\frac{1}{2}$, und $\frac{1}{2}\cdot\pi = \frac{\pi}{2}$. ## Typische Fehler bei diesen Aufgaben - **Bei einer geraden Potenz substituieren.** $\int\sin^2 x\,dx$ ist nicht $\frac{\sin^3 x}{3}$. Es gibt keinen Faktor $\cos x$, der $du$ liefern könnte. - **Die Vorzeichen der Halbwinkelformeln verwechseln.** $\sin^2$ bekommt das Minus, $\cos^2$ das Plus. Prüfe mit $x = 0$: $\sin^2 0 = 0 = \frac{1 - 1}{2}$. - **Den Faktor aus der Kettenregel vergessen.** $\int\cos 2x\,dx = \frac{\sin 2x}{2}$, nicht $\sin 2x$. - **Keinen Faktor aufheben.** In Aufgabe 6 müssen alle drei Sinusfaktoren verwendet werden: einer für $du$, zwei werden in Kosinus umgewandelt. ## Weiter üben Für unbegrenzt viele Aufgaben mit sofortigem Feedback probiere die [Lektion zu trigonometrischen Integralen](/learn/calculus-2/integration-techniques/trig-integrals). Sieh dir auch das [Integral von tan² x](/integrals/tan-squared-x) und das [Integral von sec³ x](/integrals/sec-cubed-x) an. Wenn du $\sqrt{a^2 - x^2}$ oder $x^2 + a^2$ siehst, geht es weiter mit den [Aufgaben zur trigonometrischen Substitution](/practice-problems/trig-substitution). ## Häufig gestellte Fragen ### Wie integriert man sin² x? Verwende $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$. Dann ist $\int\sin^2 x\,dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C$. Aufgabe 1 zeigt die Schritte. ### Was macht man, wenn Sinus und Kosinus beide ungerade Potenzen haben? Beides funktioniert. Hebe den Faktor von der Funktion mit der kleineren ungeraden Potenz auf, dann bleibt die Rechnung kurz. ### Warum sehen Ergebnisse trigonometrischer Integrale in verschiedenen Büchern unterschiedlich aus? Mit trigonometrischen Identitäten lässt sich dieselbe Funktion auf viele Arten schreiben, und die Ergebnisse können sich um eine Konstante unterscheiden. Leite beide Formen ab oder vergleiche sie an einer Stelle, um zu prüfen, ob sie zusammenpassen.