# Aufgaben zu uneigentlichen Integralen mit Lösungen > 12 Aufgaben zu uneigentlichen Integralen mit Lösungen: unendliche Grenzen, senkrechte Asymptoten, Konvergenz oder Divergenz und das Vergleichskriterium. Quelle: https://practicecalculus.com/de/uebungsaufgaben/aufgaben-uneigentliche-integrale Aktualisiert: 2026-11-06 $$ \int_a^{\infty} f(x)\,dx = \lim_{b\to\infty}\int_a^{b} f(x)\,dx $$ ## Auf einen Blick - **Aufgaben:** 12, mit Lösungen und vollständigen Lösungswegen - **Niveau:** Calculus 2 und AP Calculus BC, Unit 6 - **Du brauchst:** [Bestimmte Integrale](/practice-problems/definite-integrals), Grenzwerte im Unendlichen und [partielle Integration](/practice-problems/integration-by-parts) - **Grundidee:** Die problematische Grenze durch eine Variable ersetzen, integrieren und dann den Grenzwert bilden - **Mit neuen Zahlen üben:** [Lektion zu unendlichen Integrationsgrenzen](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/infinite-limits-of-integration) ## Das Wichtigste - Ein Integral ist uneigentlich, wenn eine Grenze unendlich ist oder der Integrand irgendwo in $[a, b]$ unbeschränkt wird, auch im Inneren des Intervalls. - $\int_1^{\infty}\frac{1}{x^p}\,dx$ konvergiert für $p > 1$; $\int_0^{1}\frac{1}{x^p}\,dx$ konvergiert für $p < 1$. - Vergleiche, wenn du nicht integrieren kannst: Kleiner als ein konvergentes Integral heißt konvergent, größer als ein divergentes heißt divergent. Diese **Aufgaben zu uneigentlichen Integralen** behandeln unendliche Grenzen, senkrechte Asymptoten am Rand und im Inneren des Intervalls sowie das Vergleichskriterium. Entscheide bei jeder Aufgabe, ob das Integral konvergiert, und bestimme gegebenenfalls seinen Wert. Zuerst kommen die Lösungen, danach die vollständigen Lösungswege. Die Definition für eine unendliche Grenze: $$\int_a^{\infty} f(x)\,dx = \lim_{b\to\infty}\int_a^{b} f(x)\,dx$$ Bei einer Asymptote an der Stelle $x = a$ verwendest du stattdessen $\lim_{t\to a^+}\int_t^{b} f(x)\,dx$. Weitere Beispiele findest du im [Leitfaden zu uneigentlichen Integralen](/blog/improper-integrals). ## Aufgaben **Unendliche Grenzen** 1. $\displaystyle\int_1^{\infty}\frac{1}{x^2}\,dx$ 2. $\displaystyle\int_1^{\infty}\frac{1}{x}\,dx$ 3. $\displaystyle\int_1^{\infty}x^{-3/2}\,dx$ 4. $\displaystyle\int_0^{\infty}e^{-2x}\,dx$ 5. $\displaystyle\int_0^{\infty}x\,e^{-x}\,dx$ 6. $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{1 + x^2}\,dx$ **Senkrechte Asymptoten** 7. $\displaystyle\int_0^{1}\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx$ 8. $\displaystyle\int_0^{1}\frac{1}{x}\,dx$ 9. $\displaystyle\int_0^{1}\ln x\,dx$ 10. $\displaystyle\int_{-1}^{1}\frac{1}{x^2}\,dx$ 11. $\displaystyle\int_0^{3}\frac{1}{(x - 1)^{2/3}}\,dx$ **Vergleich** 12. Konvergiert $\displaystyle\int_1^{\infty}\frac{2 + \cos x}{x^2}\,dx$? ## Lösungen | Aufgabe | Lösung | | --- | --- | | 1 | Konvergiert gegen $1$ | | 2 | Divergiert | | 3 | Konvergiert gegen $2$ | | 4 | Konvergiert gegen $\frac{1}{2}$ | | 5 | Konvergiert gegen $1$ | | 6 | Konvergiert gegen $\pi$ | | 7 | Konvergiert gegen $2$ | | 8 | Divergiert | | 9 | Konvergiert gegen $-1$ | | 10 | Divergiert | | 11 | Konvergiert gegen $3 + 3\sqrt[3]{2} \approx 6.78$ | | 12 | Konvergiert, nach Vergleich mit $\frac{3}{x^2}$ | ## Lösungswege Schritt für Schritt **1.** $\displaystyle\lim_{b\to\infty}\left[-\frac{1}{x}\right]_1^{b} = \lim_{b\to\infty}\left(1 - \frac{1}{b}\right) = 1$ **2.** $\displaystyle\lim_{b\to\infty}\big[\ln x\big]_1^{b} = \lim_{b\to\infty}\ln b = \infty$, das Integral divergiert also. **3.** Eine Stammfunktion von $x^{-3/2}$ ist $-2x^{-1/2}$: $$\lim_{b\to\infty}\left(2 - \frac{2}{\sqrt{b}}\right) = 2$$ Das ist ein $p$-Integral mit $p = \frac{3}{2} > 1$, Konvergenz ist also zu erwarten. **4.** $\displaystyle\lim_{b\to\infty}\left[-\frac{1}{2}e^{-2x}\right]_0^{b} = \lim_{b\to\infty}\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2}e^{-2b}\right) = \frac{1}{2}$ **5.** Mit partieller Integration ist $\int x\,e^{-x}\,dx = -(x + 1)e^{-x}$. Dann gilt: $$\lim_{b\to\infty}\left(1 - (b + 1)e^{-b}\right) = 1$$ Der Term $(b + 1)e^{-b} \to 0$, weil die Exponentialfunktion viel schneller wächst als $b + 1$ (zur Kontrolle kannst du die Regel von L'Hospital verwenden). **6.** Teile bei $0$ auf. Jede Hälfte ist $\lim\arctan b = \frac{\pi}{2}$, insgesamt also $\pi$. Beide Hälften müssen konvergieren, damit das gesamte Integral konvergiert. **7.** Der Integrand wird bei $x = 0$ unbeschränkt: $$\lim_{t\to 0^+}\big[2\sqrt{x}\big]_t^{1} = 2 - 0 = 2$$ **8.** $\displaystyle\lim_{t\to 0^+}\big(\ln 1 - \ln t\big) = \lim_{t\to 0^+}(-\ln t) = \infty$, das Integral divergiert also. **9.** Eine Stammfunktion ist $x\ln x - x$. Bei $x = 1$ ist sie $-1$. Für $t \to 0^+$ gilt $t\ln t \to 0$, also: $$-1 - \lim_{t\to 0^+}(t\ln t - t) = -1 - 0 = -1$$ **10.** Die Asymptote bei $x = 0$ liegt im Inneren des Intervalls, also teilst du dort auf. Die rechte Hälfte ist $\lim_{t\to 0^+}\left(\frac{1}{t} - 1\right) = \infty$, das gesamte Integral divergiert also. Die verlockende Antwort $\left[-\frac{1}{x}\right]_{-1}^{1} = -2$ ist unmöglich, denn der Integrand ist positiv. **11.** Die Asymptote liegt bei $x = 1$, also im Inneren von $[0, 3]$. Eine Stammfunktion ist $3(x - 1)^{1/3}$, und sie ist bei $x = 1$ stetig: $$\int_0^1 = 3(0) - 3(-1) = 3, \qquad \int_1^3 = 3\sqrt[3]{2} - 0 = 3\sqrt[3]{2}$$ Beide Hälften konvergieren, insgesamt ergibt sich also $3 + 3\sqrt[3]{2} \approx 6.78$. **12.** Da $-1 \le \cos x \le 1$ gilt, liegt der Integrand zwischen $\frac{1}{x^2}$ und $\frac{3}{x^2}$. Und $\int_1^{\infty}\frac{3}{x^2}\,dx = 3$ konvergiert. Eine positive Funktion unterhalb einer konvergenten Majorante konvergiert ebenfalls. ## Typische Fehler bei diesen Aufgaben - **Eine Asymptote im Inneren des Intervalls übersehen.** Die Aufgaben 10 und 11 sehen aus wie gewöhnliche bestimmte Integrale. Prüfe immer, wo der Integrand nicht definiert ist. - **$\infty$ wie eine Zahl behandeln.** Schreibe den Grenzwert aus. Ausdrücke wie $\frac{1}{\infty}$ verschleiern Fehler. - **In die falsche Richtung vergleichen.** Kleiner als ein divergentes Integral zu sein beweist nichts. Größer als ein konvergentes zu sein beweist ebenfalls nichts. - **Nur eine Seite untersuchen.** In Aufgabe 6 müssen beide Hälften einzeln konvergieren. ## Weiter üben Für unbegrenzt viele Aufgaben mit sofortigem Feedback probiere die [Lektion zu unendlichen Grenzen](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/infinite-limits-of-integration), die [Lektion zu Polstellen im Integrationsbereich](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/infinite-discontinuities) und die [Lektion zum Vergleichskriterium](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/comparison-test). Dieselbe $p$-Regel begegnet dir bei Reihen wieder, in den [Aufgaben zu Konvergenzkriterien](/practice-problems/convergence-tests). ## Häufig gestellte Fragen ### Woran erkennt man, ob ein uneigentliches Integral konvergiert? Schreibe es als Grenzwert und berechne ihn. Ist der Grenzwert eine endliche Zahl, konvergiert das Integral gegen diese Zahl. Ist er unendlich oder existiert er nicht, divergiert es. Wenn du nicht direkt integrieren kannst, vergleiche mit einem $p$-Integral. ### Warum divergiert das Integral von 1/x von 1 bis unendlich? Seine Stammfunktion ist $\ln x$, und $\ln b \to \infty$ für $b \to \infty$. Die Fläche wächst unbeschränkt weiter, obwohl sich die Kurve der $x$-Achse nähert. Aufgabe 2 zeigt das. ### Warum ist das Integral von 1/x² von -1 bis 1 nicht -2? Weil $\frac{1}{x^2}$ bei $x = 0$, also im Inneren des Intervalls, unbeschränkt wird. Du musst bei $0$ aufteilen, und jede Hälfte divergiert. Wer die Grenzen direkt einsetzt, übersieht die Asymptote. Aufgabe 10 zeigt das.