# AP Calculus BC unidad 10: repaso de sucesiones y series

> Repaso de la unidad 10 de AP Calculus BC: criterios de convergencia, cotas de error, series de Taylor y Maclaurin, y radio e intervalo de convergencia.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/ap-calculus/unidad-10-sucesiones-y-series-infinitas
Actualizado: 2026-11-06

## De un vistazo

- **Peso en el examen AB:** No entra en el examen AB
- **Peso en el examen BC:** 15–20%
- **Ideas clave:** Criterios de convergencia, polinomios de Taylor, cotas de error, series de potencias
- **Solo BC:** Toda la unidad
- **Va después de:** La unidad 9, funciones paramétricas, polares y vectoriales
- **Practica aquí:** [Cálculo 2: sucesiones y series](/learn/calculus-2/sequences-and-series/series-and-partial-sums)

## Ideas clave

- La unidad 10 es exclusiva de BC y vale entre el 15 y el 20 por ciento del examen BC, empatada como la de mayor peso entre las unidades de BC.
- Una serie geométrica $\sum_{n=0}^{\infty} ar^n$ converge a $\frac{a}{1 - r}$ cuando $|r| < 1$ y diverge en otro caso.
- La serie de Taylor de $f$ en torno a $x = a$ es $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n$.
- Dos cotas de error: la de las series alternadas usa el primer término omitido, y la de Lagrange usa $\frac{M}{(n + 1)!}|x - a|^{n+1}$.

**La unidad 10 de AP Calculus, sucesiones y series infinitas** (Infinite Sequences and Series), es la segunda unidad exclusiva de BC y la más grande. Plantea una pregunta sorprendente: ¿se pueden sumar infinitos números y obtener un resultado finito? A veces sí. Después usa esa idea para escribir funciones como $e^x$ y $\sin x$ como polinomios infinitos, que es como las calculadoras las calculan de verdad.

| | AP Calculus AB | AP Calculus BC |
| --- | --- | --- |
| Peso en el examen | no entra en el examen AB | 15–20% (solo BC) |
| Temas adicionales | ninguno | toda la unidad es solo de BC |

## Qué cubre la unidad 10

College Board divide la unidad en estos temas. Cada fila enlaza a una lección donde puedes practicarlo con números nuevos cada vez.

| Tema | Qué aprendes | Práctica |
| --- | --- | --- |
| Series convergentes y divergentes | Sumas parciales y qué significa converger | [Series y sumas parciales](/learn/calculus-2/sequences-and-series/series-and-partial-sums) |
| Series geométricas | $\sum ar^n = \frac{a}{1 - r}$ para $\lvert r\rvert < 1$ | [Series geométricas](/learn/calculus-2/sequences-and-series/geometric-series) |
| Criterio del término n-ésimo | Si $a_n \not\to 0$, la serie diverge | [Criterio del término n-ésimo](/learn/calculus-2/sequences-and-series/nth-term-test) |
| Criterio de la integral, serie armónica y series p | $\sum \frac{1}{n^p}$ converge solo cuando $p > 1$ | [Criterio de la integral y series p](/learn/calculus-2/sequences-and-series/integral-test-and-p-series) |
| Criterios de comparación | Comparación directa y por paso al límite | [Criterios de comparación](/learn/calculus-2/sequences-and-series/comparison-tests) |
| Criterio de series alternadas | Términos decrecientes que tienden a 0 | [Series alternadas](/learn/calculus-2/sequences-and-series/alternating-series) |
| Criterio del cociente | Usar $\lim \left\lvert\frac{a_{n+1}}{a_n}\right\rvert$ | [Criterios del cociente y de la raíz](/learn/calculus-2/sequences-and-series/ratio-and-root-tests) |
| Convergencia absoluta y condicional | Si $\sum \lvert a_n\rvert$ también converge | [Elegir un criterio](/learn/calculus-2/sequences-and-series/choosing-a-test) |
| Cota de error de series alternadas | El error es como mucho el primer término omitido | [Series alternadas](/learn/calculus-2/sequences-and-series/alternating-series) |
| Polinomios de Taylor | Aproximar una función cerca de un punto | [Polinomios de Taylor](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/taylor-polynomials) |
| Cota de error de Lagrange | Acotar el error de una aproximación de Taylor | [Estimaciones con Taylor](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/estimating-with-taylor) |
| Radio e intervalo de convergencia | El criterio del cociente más el estudio de los extremos | [Series de potencias y radio](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/power-series-and-radius) |
| Series de Taylor y de Maclaurin | Construir las series de $e^x$, $\sin x$, $\cos x$ y $\frac{1}{1 - x}$ | [Series de Maclaurin](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/maclaurin-series) |
| Representar funciones como series de potencias | Sustituir, derivar e integrar series | [Series de Maclaurin](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/maclaurin-series) |

## Las ideas clave

**Una serie converge cuando sus sumas parciales se estabilizan.** Si $S_N = a_1 + a_2 + \dots + a_N$ se acerca a un límite finito, la serie converge a ese límite. Que los términos tiendan a 0 es necesario pero no suficiente: la serie armónica $\sum \frac{1}{n}$ tiene términos que tienden a 0 y, sin embargo, diverge.

**Cada criterio encaja con una forma.** El [criterio del término n-ésimo](/rules/nth-term-test) solo demuestra divergencia. La [fórmula de la serie geométrica](/rules/geometric-series-formula) da una suma exacta. El [criterio del cociente](/rules/ratio-test) se ocupa de factoriales y exponenciales. El [criterio de series alternadas](/rules/alternating-series-test) necesita términos que decrezcan hasta 0.

**Los polinomios de Taylor imitan una función cerca de un punto.** El polinomio de Taylor de grado $n$ coincide con $f$ y con sus $n$ primeras derivadas en $x = a$. Más términos dan un mejor ajuste en un intervalo más amplio.

```graph
title: 'cos x y su polinomio de Maclaurin de grado 4'
caption: 'El polinomio $1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}$ es casi exactamente $\cos x$ cerca de 0 y se aleja a medida que $|x|$ crece.'
x: [-5, 5]
y: [-2, 3]
functions:
  - expr: cos(x)
    label: y = cos x
  - expr: 1 - x^2/2 + x^4/24
    label: P₄(x) = 1 − x²/2 + x⁴/24
    dashed: true
```

**Las series de potencias convergen en un intervalo.** Usa el criterio del cociente para hallar el radio $R$ y luego estudia cada extremo por separado, ya que ahí el criterio del cociente no dice nada. Lee más en las guías de [criterios de convergencia](/blog/convergence-tests), [series de potencias](/blog/power-series) y [series de Taylor](/blog/taylor-series), y en la página del [teorema de Taylor](/theorems/taylors-theorem).

## Preguntas de ejemplo

**1. Serie geométrica.** $\sum_{n=0}^{\infty} 3\left(\frac{1}{2}\right)^n$ tiene $a = 3$ y $r = \frac{1}{2}$, así que converge a $\frac{3}{1 - 1/2} = 6$.

**2. Criterio del cociente.** Para $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^n}$:

$$\lim_{n \to \infty} \frac{n + 1}{3^{n+1}}\cdot\frac{3^n}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n + 1}{3n} = \frac{1}{3} < 1$$

así que la serie converge.

**3. Error en una serie alternada.** La serie armónica alternada $1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots$ converge a $\ln 2$. Los cuatro primeros términos dan $\frac{7}{12} \approx 0.583$, y el error es como mucho el término siguiente, $\frac{1}{5}$. El error real es de aproximadamente $0.110$.

**4. Intervalo de convergencia.** Para $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$, el criterio del cociente da $|x| < 1$. En $x = 1$ es la serie armónica, que diverge. En $x = -1$ es la serie armónica alternada, que converge. El intervalo es $[-1, 1)$.

**5. Cota de error de Lagrange.** El polinomio de Maclaurin de grado 2 de $e^x$ da $e^{0.1} \approx 1 + 0.1 + 0.005 = 1.105$. Todas las derivadas de $e^x$ son $e^x$, que es menor que 3 en $[0, 0.1]$, así que

$$\text{error} \le \frac{3}{3!}(0.1)^3 = 0.0005$$

El valor real es $e^{0.1} \approx 1.105171$, así que el error es de unos $0.00017$.

## Cómo estudiar la unidad 10

- **Haz un diagrama de flujo de criterios.** Decide en qué orden compruebas el término n-ésimo, la serie geométrica, las series p, las alternadas, el cociente y la comparación, y practica a elegir rápido.
- **Estudia siempre los extremos.** La pregunta de respuesta libre sobre el intervalo de convergencia da un punto por cada extremo, y a menudo se comportan de forma distinta.
- **Memoriza cuatro series de Maclaurin.** $e^x$, $\sin x$, $\cos x$ y $\frac{1}{1 - x}$ cubren la mayor parte del examen cuando sabes sustituir en ellas.
- **Escribe la cota de error completa.** Muestra $M$, el factorial y la potencia, no solo un número.
- **Resuelve colecciones de ejercicios.** Prueba los [ejercicios de criterios de convergencia](/practice-problems/convergence-tests), los [ejercicios de series de potencias](/practice-problems/power-series) y los [ejercicios de series de Taylor](/practice-problems/taylor-series), todos con soluciones completas.

Para ver el mapa completo del curso, consulta la [guía de AP Calculus BC](/ap-calculus/bc), o compara los dos cursos en la [guía de AP Calculus AB](/ap-calculus/ab).

> AP y Advanced Placement son marcas registradas de College Board, que no está afiliado a PracticeCalculus ni respalda esta guía. Los nombres y pesos de las unidades provienen del marco del curso de College Board; consúltalo por si hay cambios.

## Preguntas frecuentes

### ¿De qué trata la unidad 10 de AP Calculus?

La unidad 10 se pregunta cuándo una suma infinita da un número finito. Aprendes los criterios de la serie geométrica, del término n-ésimo, de la integral, de las series p, de comparación, de series alternadas y del cociente, y luego usas polinomios de Taylor y series de potencias para aproximar funciones y acotar el error.

### ¿Entra la unidad 10 en el examen AP Calculus AB?

No. La unidad 10 solo está en AP Calculus BC, donde supone entre el 15 y el 20 por ciento de la nota de opción múltiple. Además, casi siempre hay una pregunta de respuesta libre completa sobre series de Taylor y el intervalo de convergencia.

### ¿Qué criterio de convergencia debo usar?

Empieza con el criterio del término n-ésimo para descartar la divergencia. Luego mira la forma: las series geométricas y las series p tienen sus propias reglas, los signos alternados sugieren el criterio de series alternadas, y los factoriales o potencias como $3^n$ sugieren el criterio del cociente. Los criterios de comparación sirven para términos que se parecen a una serie conocida.

### ¿Qué series de Maclaurin debo memorizar?

Memoriza las series de $e^x$, $\sin x$, $\cos x$ y $\frac{1}{1 - x}$. Muchas preguntas del examen construyen series nuevas a partir de estas sustituyendo, derivando o integrando término a término.