# AP Calculus unidad 2: repaso de la derivada y sus reglas (AB y BC)

> Repaso de la unidad 2 de AP Calculus AB y BC: derivada por definición, derivabilidad, reglas de la potencia, producto y cociente, derivadas trigonométricas.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/ap-calculus/unidad-2-derivada-definicion-y-propiedades
Actualizado: 2026-11-06

## De un vistazo

- **Peso en el examen AB:** 10–15%
- **Peso en el examen BC:** 5–10%
- **Ideas clave:** La derivada como límite, la derivabilidad, las reglas básicas de derivación
- **Solo BC:** Nada, AB y BC cubren los mismos temas en la unidad 2
- **Va antes de:** La unidad 3, la regla de la cadena y las funciones implícitas e inversas
- **Practica aquí:** [Cálculo 1: la derivada](/learn/calculus-1/the-derivative/limit-definition)

## Ideas clave

- La unidad 2 vale entre el 10 y el 15 por ciento del examen AB y entre el 5 y el 10 por ciento del examen BC, con los mismos temas en ambos.
- La derivada es un límite de cocientes incrementales: $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$.
- Derivable implica continua, pero continua no implica derivable: $|x|$ tiene un pico en 0.
- La unidad termina con las reglas básicas: potencia, suma, múltiplo constante, producto, cociente, y las derivadas de $\sin x$, $\cos x$, $\tan x$, $e^x$ y $\ln x$.

**La unidad 2 de AP Calculus, la derivada: definición y propiedades fundamentales** (Differentiation: Definition and Fundamental Properties), presenta la derivada. Empieza con una pregunta: ¿a qué velocidad cambia algo en un instante concreto? La respuesta es un límite de tasas de cambio medias, y al final de la unidad puedes calcular la mayoría de las derivadas con unas pocas reglas rápidas en lugar de un límite.

| | AP Calculus AB | AP Calculus BC |
| --- | --- | --- |
| Peso en el examen | 10–15% | 5–10% |
| Temas adicionales | ninguno | ninguno |

## Qué cubre la unidad 2

College Board divide la unidad en estos temas. Cada fila enlaza a una lección donde puedes practicarlo con números nuevos cada vez.

| Tema | Qué aprendes | Práctica |
| --- | --- | --- |
| Tasas media e instantánea | Pendientes de rectas secantes, y qué pasa cuando el intervalo se reduce | [Tasa de cambio instantánea](/learn/calculus-1/the-derivative/instantaneous-rate-of-change) |
| Definir la derivada | La definición por límite y las notaciones $f'(x)$, $\frac{dy}{dx}$ | [La definición por límite](/learn/calculus-1/the-derivative/limit-definition) |
| Estimar derivadas | A partir de gráficas y tablas de valores | [Tasa de cambio media](/learn/calculus-1/the-derivative/average-rate-of-change) |
| Derivabilidad y continuidad | Picos, cúspides, tangentes verticales y saltos | [Derivabilidad](/learn/calculus-1/the-derivative/differentiability) |
| Regla de la potencia | $\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$ | [Regla de la potencia](/learn/calculus-1/derivative-rules/power-rule) |
| Reglas de la suma, la resta y la constante | Derivar término a término | [Reglas de la suma y la constante](/learn/calculus-1/derivative-rules/sum-and-constant-rules) |
| $\sin x$, $\cos x$, $e^x$, $\ln x$ | Las primeras derivadas de funciones no polinómicas | [Derivadas trigonométricas](/learn/calculus-1/derivative-rules/trig-derivatives) |
| Regla del producto | $(fg)' = f'g + fg'$ | [Regla del producto](/learn/calculus-1/derivative-rules/product-rule) |
| Regla del cociente | $\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$ | [Regla del cociente](/learn/calculus-1/derivative-rules/quotient-rule) |
| $\tan x$, $\cot x$, $\sec x$, $\csc x$ | Se obtienen con la regla del cociente | [Derivadas trigonométricas](/learn/calculus-1/derivative-rules/trig-derivatives) |

## Las ideas clave

**La derivada es la pendiente de la recta tangente.** La tasa de cambio media de $f$ en $[x, x + h]$ es la pendiente de una recta secante. Cuando $h \to 0$, la recta secante se convierte en la recta tangente:

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$$

```graph
title: 'La recta tangente a y = x² en x = 3'
caption: 'La derivada $f''(3) = 6$ es la pendiente de la recta tangente $y = 6x - 9$, que toca la curva en $(3, 9)$.'
x: [-1, 5]
y: [-2, 18]
functions:
  - expr: x^2
    label: y = x²
  - expr: 6x - 9
    label: y = 6x − 9
    dashed: true
points:
  - [3, 9, '(3, 9)']
```

**La derivada también es una tasa.** Si $s(t)$ es la posición, $s'(t)$ es la velocidad. Si $V(t)$ es un volumen en litros y $t$ está en minutos, $V'(t)$ está en litros por minuto. Las unidades te ayudan a comprobar cualquier respuesta.

**Derivable significa suave.** Si $f$ es derivable en $c$, es continua en $c$. El recíproco no se cumple: $|x|$ es continua en 0 pero tiene un pico, así que las pendientes por la izquierda y por la derecha ($-1$ y $1$) no coinciden.

**Las reglas sustituyen al límite.** Practica la [regla de la potencia](/rules/power-rule), la [regla del producto](/rules/product-rule) y la [regla del cociente](/rules/quotient-rule) hasta que te salgan solas. Después memoriza las seis derivadas trigonométricas, además de $\frac{d}{dx}e^x = e^x$ y $\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}$.

## Preguntas de ejemplo

**1. Usar la definición por límite.** Para $f(x) = x^2$:

$$f'(3) = \lim_{h \to 0} \frac{(3 + h)^2 - 9}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{6h + h^2}{h} = \lim_{h \to 0} (6 + h) = 6$$

**2. Estimar a partir de una tabla.** Una función cumple $f(1) = 5$ y $f(3) = 11$. La mejor estimación de $f'(2)$ es la tasa de cambio media en $[1, 3]$:

$$f'(2) \approx \frac{11 - 5}{3 - 1} = 3$$

**3. Regla del producto.** $\frac{d}{dx}\left(x^2 \sin x\right) = 2x\sin x + x^2\cos x$.

**4. Regla del cociente.** $\frac{d}{dx}\left(\frac{e^x}{x}\right) = \frac{x e^x - e^x}{x^2} = \frac{e^x(x - 1)}{x^2}$.

**5. Reconocer una derivada.** El límite $\lim_{h \to 0} \frac{\ln(e + h) - 1}{h}$ es la derivada de $\ln x$ en $x = e$, porque $\ln e = 1$. La respuesta es $\frac{1}{e}$.

## Cómo estudiar la unidad 2

- **Detecta derivadas escondidas.** Cuando un límite tenga la forma $\frac{f(a + h) - f(a)}{h}$, identifica $f$ y $a$ y luego deriva. Aparece en casi todos los exámenes.
- **Incluye siempre las unidades.** "La derivada es 3" pierde el punto de contexto. "La temperatura sube a 3 grados por minuto en $t = 2$" lo gana.
- **Conoce los casos en que falla la derivabilidad.** Dibuja un pico, una cúspide, una tangente vertical y un salto hasta que sepas reconocer cada uno en una gráfica.
- **Practica las reglas a fondo.** Usa la [referencia de derivadas](/derivatives) y el [formulario de cálculo](/formulas) para comprobar tu trabajo.
- **Resuelve colecciones de ejercicios.** Prueba los [ejercicios de la derivada por definición](/practice-problems/limit-definition-of-the-derivative), los [ejercicios de la regla de la potencia](/practice-problems/power-rule) y los [ejercicios de la regla del producto y del cociente](/practice-problems/product-and-quotient-rules), todos con soluciones completas.

Para ver el mapa completo del curso, consulta la [guía de AP Calculus AB](/ap-calculus/ab) o la [guía de AP Calculus BC](/ap-calculus/bc).

> AP y Advanced Placement son marcas registradas de College Board, que no está afiliado a PracticeCalculus ni respalda esta guía. Los nombres y pesos de las unidades provienen del marco del curso de College Board; consúltalo por si hay cambios.

## Preguntas frecuentes

### ¿De qué trata la unidad 2 de AP Calculus?

La unidad 2 define la derivada como el límite de las tasas de cambio medias, te enseña a estimarla a partir de gráficas y tablas, relaciona la derivabilidad con la continuidad y construye las reglas básicas para potencias, sumas, productos, cocientes y funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas.

### ¿Cuánto pesa la unidad 2 en el examen AP?

La unidad 2 supone entre el 10 y el 15 por ciento de la nota de opción múltiple en AP Calculus AB y entre el 5 y el 10 por ciento en AP Calculus BC. Las reglas de esta unidad se usan en casi todas las preguntas posteriores, así que su peso real es mucho mayor.

### ¿Tengo que usar la definición por límite en el examen AP?

Tienes que reconocerla. Una pregunta habitual muestra un límite como $\lim_{h \to 0} \frac{\sin(\pi/3 + h) - \sin(\pi/3)}{h}$ y pide su valor. Es la derivada de $\sin x$ en $\pi/3$, que vale $\cos(\pi/3) = \frac{1}{2}$.

### ¿Cuándo una función no es derivable?

Una función no es derivable en un punto donde es discontinua, tiene un pico o una cúspide, o tiene una recta tangente vertical. El ejemplo clásico es $|x|$ en $x = 0$.