# AP Calculus unidad 4: repaso de la derivada en contexto (AB y BC)

> Repaso de la unidad 4 de AP Calculus AB y BC: la derivada en contexto, movimiento rectilíneo, razones de cambio, linealización y regla de L'Hôpital.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/ap-calculus/unidad-4-aplicaciones-contextuales
Actualizado: 2026-11-06

## De un vistazo

- **Peso en el examen AB:** 10–15%
- **Peso en el examen BC:** 5–10%
- **Ideas clave:** Tasas en contexto, movimiento, razones de cambio relacionadas, linealidad local, regla de L'Hôpital
- **Solo BC:** Nada, AB y BC cubren los mismos temas en la unidad 4
- **Va antes de:** La unidad 5, aplicaciones analíticas de la derivada
- **Practica aquí:** [Cálculo 1: aplicaciones de la derivada](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/related-rates)

## Ideas clave

- La unidad 4 vale entre el 10 y el 15 por ciento del examen AB y entre el 5 y el 10 por ciento del examen BC, con los mismos temas en ambos.
- Una partícula acelera cuando la velocidad y la aceleración tienen el mismo signo, y frena cuando tienen signos opuestos.
- Razones de cambio relacionadas: escribe una ecuación que relacione las magnitudes, deriva respecto de $t$ y luego sustituye los valores del instante que se pregunta.
- Regla de L'Hôpital: si un límite da $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$, entonces $\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \frac{f'(x)}{g'(x)}$.

**La unidad 4 de AP Calculus, aplicaciones de la derivada en contexto** (Contextual Applications of Differentiation), es donde las derivadas empiezan a responder preguntas reales. ¿A qué velocidad se mueve una partícula? ¿A qué velocidad sube el nivel del agua? ¿Cuál es una buena estimación de $\sqrt{4.1}$ sin calculadora? Las matemáticas son las mismas que en las unidades 2 y 3. La habilidad nueva es leer la situación y explicar la respuesta con unidades.

| | AP Calculus AB | AP Calculus BC |
| --- | --- | --- |
| Peso en el examen | 10–15% | 5–10% |
| Temas adicionales | ninguno | ninguno |

## Qué cubre la unidad 4

College Board divide la unidad en estos temas. Cada fila enlaza a una lección donde puedes practicarlo con números nuevos cada vez.

| Tema | Qué aprendes | Práctica |
| --- | --- | --- |
| La derivada en contexto | Qué significa $f'(a)$, con unidades | [Notación y significado de la derivada](/learn/calculus-1/the-derivative/derivative-notation-and-meaning) |
| Movimiento rectilíneo | Posición, velocidad, aceleración y rapidez | [Tasa de cambio instantánea](/learn/calculus-1/the-derivative/instantaneous-rate-of-change) |
| Tasas en otros contextos | Tasas de población, temperatura, coste y volumen | [Notación y significado de la derivada](/learn/calculus-1/the-derivative/derivative-notation-and-meaning) |
| Introducción a las razones de cambio relacionadas | Relacionar tasas mediante una ecuación | [Razones de cambio relacionadas](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/related-rates) |
| Resolver razones de cambio relacionadas | Escaleras, conos, globos y sombras | [Razones de cambio relacionadas](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/related-rates) |
| Linealidad local | Aproximaciones por la recta tangente y estimaciones por exceso o por defecto | [Aproximación lineal](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/linear-approximation-and-mvt) |
| Regla de L'Hôpital | Límites de las formas $\frac{0}{0}$ y $\frac{\infty}{\infty}$ | [Regla de L'Hôpital](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/lhopitals-rule) |

## Las ideas clave

**Una derivada es una tasa con unidades.** Si $W(t)$ son los galones de agua de un depósito al cabo de $t$ horas, entonces $W'(3) = -12$ significa "en $t = 3$ horas, la cantidad de agua disminuye a razón de 12 galones por hora". Da siempre el instante, la tasa, la dirección y las unidades.

**El movimiento tiene su propio vocabulario.** La velocidad es $v(t) = x'(t)$ y la aceleración es $a(t) = v'(t)$. La rapidez es $|v(t)|$. La partícula se mueve a la derecha cuando $v > 0$ y a la izquierda cuando $v < 0$. Acelera cuando $v$ y $a$ tienen el mismo signo.

**Las razones de cambio relacionadas unen dos magnitudes que cambian.** Haz un dibujo, escribe una ecuación que se cumpla en todo instante, deriva los dos lados respecto de $t$, y solo entonces sustituye los números. Sustituir demasiado pronto convierte una magnitud que cambia en una constante.

**Una recta tangente es una buena estimación local.** Cerca de $x = a$:

$$f(x) \approx f(a) + f'(a)(x - a)$$

```graph
title: 'Recta tangente a y = √x en x = 4'
caption: 'La recta $L(x) = 2 + \frac{1}{4}(x - 4)$ estima $\sqrt{4.1} \approx 2.025$. La curva es cóncava hacia abajo, así que la estimación es un poco alta.'
x: [-0.5, 9]
y: [-0.5, 4]
functions:
  - expr: sqrt(x)
    label: y = √x
    domain: [0, 9]
  - expr: 0.25x + 1
    label: L(x) = 2 + (1/4)(x − 4)
    dashed: true
points:
  - [4, 2, '(4, 2)']
```

**La regla de L'Hôpital resuelve límites indeterminados.** Lee la página completa de la [regla de L'Hôpital](/rules/lhopitals-rule), y las guías de [razones de cambio relacionadas](/blog/related-rates) y de [aproximación lineal](/blog/linear-approximation).

## Preguntas de ejemplo

**1. Movimiento.** Una partícula se mueve por una recta con $x(t) = t^3 - 6t^2 + 9t$. Entonces $v(t) = 3t^2 - 12t + 9 = 3(t - 1)(t - 3)$ y $a(t) = 6t - 12$. En $t = 1.5$, $v = -2.25$ y $a = -3$. Las dos son negativas, así que la partícula se mueve a la izquierda y acelera.

**2. Razones de cambio relacionadas.** Una escalera de 10 ft (pies) está apoyada en una pared. El pie resbala alejándose a 1 ft/s. ¿A qué velocidad baja el extremo superior cuando el pie está a 6 ft de la pared? A partir de $x^2 + y^2 = 100$:

$$2x\frac{dx}{dt} + 2y\frac{dy}{dt} = 0$$

Cuando $x = 6$, $y = 8$, así que $12(1) + 16\frac{dy}{dt} = 0$ y $\frac{dy}{dt} = -\frac{3}{4}$ ft/s. El extremo superior baja a $\frac{3}{4}$ ft/s.

**3. Linealización.** Con $f(x) = \sqrt{x}$ en $a = 4$, $f(4) = 2$ y $f'(4) = \frac{1}{4}$, así que $\sqrt{4.1} \approx 2 + \frac{1}{4}(0.1) = 2.025$. El valor real es aproximadamente $2.02485$, así que la estimación es un poco alta, como predice la concavidad.

**4. Regla de L'Hôpital, aplicada dos veces.** El límite da $\frac{0}{0}$ cada vez:

$$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{2} = \frac{1}{2}$$

## Cómo estudiar la unidad 4

- **Escribe siempre frases de contexto.** Practica convertir $f'(a) = k$ en una frase completa con instante, tasa, dirección y unidades. Es un punto de la respuesta libre con el que puedes contar.
- **Compara signos para saber si acelera.** Haz una tabla de signos rápida de $v$ y $a$ en lugar de adivinar a partir de la gráfica de la posición.
- **Deriva antes de sustituir.** En las razones de cambio relacionadas, solo las magnitudes fijas pueden sustituirse antes de derivar.
- **Comprueba la forma antes de L'Hôpital.** Escribe "esto es $\frac{0}{0}$" antes de usar la regla, o el trabajo no obtiene puntos.
- **Resuelve colecciones de ejercicios.** Prueba los [ejercicios de razones de cambio relacionadas](/practice-problems/related-rates), los [ejercicios de aproximación lineal](/practice-problems/linear-approximation) y los [ejercicios de la regla de L'Hôpital](/practice-problems/lhopitals-rule), todos con soluciones completas.

Para ver el mapa completo del curso, consulta la [guía de AP Calculus AB](/ap-calculus/ab) o la [guía de AP Calculus BC](/ap-calculus/bc).

> AP y Advanced Placement son marcas registradas de College Board, que no está afiliado a PracticeCalculus ni respalda esta guía. Los nombres y pesos de las unidades provienen del marco del curso de College Board; consúltalo por si hay cambios.

## Preguntas frecuentes

### ¿De qué trata la unidad 4 de AP Calculus?

La unidad 4 usa derivadas para responder preguntas sobre situaciones reales. Interpretas una derivada con unidades, analizas el movimiento rectilíneo, resuelves problemas de razones de cambio relacionadas, aproximas valores con una recta tangente y calculas límites indeterminados con la regla de L'Hôpital.

### ¿Cuánto pesa la unidad 4 en el examen AP?

La unidad 4 supone entre el 10 y el 15 por ciento de la nota de opción múltiple en AP Calculus AB y entre el 5 y el 10 por ciento en AP Calculus BC. Interpretar derivadas en contexto también se pide en la mayoría de las preguntas de respuesta libre.

### ¿Entra la regla de L'Hôpital en el examen AP Calculus AB?

Sí. La regla de L'Hôpital forma parte de la unidad 4 tanto en AB como en BC. En la respuesta libre debes mostrar que el límite es una forma indeterminada como $\frac{0}{0}$ antes de aplicarla.

### ¿Cómo sé si una aproximación por la recta tangente es por exceso o por defecto?

Mira la concavidad. Si la función es cóncava hacia abajo cerca del punto, la recta tangente queda por encima de la curva y la estimación es por exceso. Si es cóncava hacia arriba, la recta tangente da una estimación por defecto.