# AP Calculus unidad 5: repaso del análisis de funciones (AB y BC)

> Repaso de la unidad 5 de AP Calculus AB y BC: Teorema del Valor Medio, extremos, crecimiento y decrecimiento, concavidad, representación gráfica y optimización.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/ap-calculus/unidad-5-aplicaciones-analiticas
Actualizado: 2026-11-06

## De un vistazo

- **Peso en el examen AB:** 15–20%
- **Peso en el examen BC:** 10–15%
- **Ideas clave:** Teorema del Valor Medio, extremos, criterios de la primera y la segunda derivada, optimización
- **Solo BC:** Nada, AB y BC cubren los mismos temas en la unidad 5
- **Va antes de:** La unidad 6, integración y acumulación del cambio
- **Practica aquí:** [Cálculo 1: aplicaciones de la derivada](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/critical-points)

## Ideas clave

- La unidad 5 vale entre el 15 y el 20 por ciento del examen AB, empatada como la de mayor peso, y entre el 10 y el 15 por ciento del examen BC.
- El Teorema del Valor Medio: si $f$ es continua en $[a, b]$ y derivable en $(a, b)$, existe algún $c$ con $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$.
- $f$ tiene un máximo relativo donde $f'$ pasa de positiva a negativa, y un mínimo relativo donde $f'$ pasa de negativa a positiva.
- Para hallar un extremo absoluto en un intervalo cerrado, compara $f$ en todos los puntos críticos y en los dos extremos del intervalo.

**La unidad 5 de AP Calculus, aplicaciones analíticas de la derivada** (Analytical Applications of Differentiation), te enseña a leer una función a través de sus derivadas. La primera derivada indica dónde sube y baja una función. La segunda derivada indica cómo se curva. Juntas encuentran máximos y mínimos, que es de lo que trata la optimización. Es una de las unidades con más peso en el examen AB.

| | AP Calculus AB | AP Calculus BC |
| --- | --- | --- |
| Peso en el examen | 15–20% | 10–15% |
| Temas adicionales | ninguno | ninguno |

## Qué cubre la unidad 5

College Board divide la unidad en estos temas. Cada fila enlaza a una lección donde puedes practicarlo con números nuevos cada vez.

| Tema | Qué aprendes | Práctica |
| --- | --- | --- |
| Teorema del Valor Medio | La tasa media es igual a la tasa instantánea en algún punto | [Aproximación lineal y TVM](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/linear-approximation-and-mvt) |
| Teorema del Valor Extremo y puntos críticos | Cuándo deben existir extremos y dónde buscarlos | [Puntos críticos](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/critical-points) |
| Crecimiento y decrecimiento | Usar el signo de $f'$ | [Crecimiento y decrecimiento](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/increasing-and-decreasing) |
| Criterio de la primera derivada | Extremos relativos a partir de los cambios de signo de $f'$ | [Crecimiento y decrecimiento](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/increasing-and-decreasing) |
| Criterio de los candidatos | Extremos absolutos en un intervalo cerrado | [Extremos absolutos](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/absolute-extrema) |
| Concavidad | Usar el signo de $f''$, y puntos de inflexión | [Segunda derivada](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/second-derivative) |
| Criterio de la segunda derivada | Clasificar un punto crítico con $f''$ | [Segunda derivada](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/second-derivative) |
| Representar $f$, $f'$ y $f''$ | Pasar de una gráfica a otra entre las tres | [Práctica de aplicaciones](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/applications-practice) |
| Optimización | Construir y maximizar una función a partir de un enunciado | [Optimización](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/optimization) |
| Relaciones implícitas | Tangentes horizontales y verticales en curvas como las circunferencias | [Derivación implícita](/learn/calculus-1/derivative-rules/implicit-differentiation) |

## Las ideas clave

**El Teorema del Valor Medio garantiza una pendiente igual.** Si $f$ es continua en $[a, b]$ y derivable en $(a, b)$, al menos un punto tiene una recta tangente paralela a la recta secante. Lee las páginas del [Teorema del Valor Medio](/theorems/mean-value-theorem) y del [Teorema del Valor Extremo](/theorems/extreme-value-theorem) para ver las condiciones exactas.

**$f'$ controla la dirección, $f''$ controla la forma.** $f' > 0$ significa creciente y $f' < 0$ significa decreciente. $f'' > 0$ significa cóncava hacia arriba y $f'' < 0$ significa cóncava hacia abajo. Un punto de inflexión es donde $f''$ cambia de signo.

```graph
title: 'f(x) = x³ − 3x² − 9x + 2'
caption: 'Los puntos críticos son $x = -1$ (máximo relativo) y $x = 3$ (mínimo relativo). La concavidad cambia en $x = 1$.'
x: [-3, 5]
y: [-30, 15]
functions:
  - expr: x^3 - 3x^2 - 9x + 2
    label: f(x) = x³ − 3x² − 9x + 2
points:
  - [-1, 7, 'máximo relativo (−1, 7)']
  - [3, -25, 'mínimo relativo (3, −25)']
  - [1, -9, 'inflexión (1, −9)']
```

**La optimización es buscar extremos con un enunciado.** Escribe la magnitud que hay que maximizar o minimizar como función de una sola variable, halla sus puntos críticos y justifica que tu respuesta es un máximo o un mínimo, con el criterio de la primera derivada, el de la segunda derivada o el de los candidatos.

## Preguntas de ejemplo

**1. Teorema del Valor Medio.** Para $f(x) = x^2$ en $[1, 3]$, la tasa de cambio media es $\frac{9 - 1}{3 - 1} = 4$. Igualar $f'(c) = 2c = 4$ da $c = 2$, que está dentro del intervalo.

**2. Extremos relativos.** Para $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 2$:

$$f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x + 1)(x - 3)$$

$f'$ pasa de positiva a negativa en $x = -1$, así que $f(-1) = 7$ es un máximo relativo. Pasa de negativa a positiva en $x = 3$, así que $f(3) = -25$ es un mínimo relativo. Como $f''(x) = 6x - 6$ cambia de signo en $x = 1$, hay un punto de inflexión en $(1, -9)$.

**3. Criterio de los candidatos.** En $[-2, 4]$, comprueba los extremos del intervalo y los puntos críticos: $f(-2) = 0$, $f(-1) = 7$, $f(3) = -25$ y $f(4) = -18$. El máximo absoluto es 7 en $x = -1$ y el mínimo absoluto es $-25$ en $x = 3$.

**4. Optimización.** Un granjero tiene 100 m de valla para cercar un rectángulo junto a un río, vallando solo tres lados. Con anchura $x$, el área es $A(x) = x(100 - 2x)$. Entonces $A'(x) = 100 - 4x = 0$ en $x = 25$, y $A''(x) = -4 < 0$, así que es un máximo. La mejor área es $25 \times 50 = 1250$ m².

## Cómo estudiar la unidad 5

- **Practica con la gráfica de $f'$.** Muchas preguntas de respuesta libre solo dan $f'$. Lee el crecimiento donde $f'$ está por encima del eje, y la concavidad hacia arriba donde $f'$ sube.
- **Justifica con cambios de signo.** Escribe "porque $f'$ pasa de negativa a positiva en $x = 3$". Los correctores quieren el motivo, no solo la respuesta.
- **No te saltes nunca los extremos del intervalo.** En un intervalo cerrado, el máximo absoluto suele estar en un extremo.
- **Comprueba primero las condiciones del TVM.** Enuncia la continuidad y la derivabilidad antes de concluir nada.
- **Resuelve colecciones de ejercicios.** Prueba los [ejercicios de optimización](/practice-problems/optimization), los [ejercicios de representación de funciones](/practice-problems/curve-sketching) y los [ejercicios del Teorema del Valor Medio](/practice-problems/mean-value-theorem), todos con soluciones completas. La guía de [representación de funciones con derivadas](/blog/curve-sketching-with-derivatives) reúne toda la unidad.

Para ver el mapa completo del curso, consulta la [guía de AP Calculus AB](/ap-calculus/ab) o la [guía de AP Calculus BC](/ap-calculus/bc).

> AP y Advanced Placement son marcas registradas de College Board, que no está afiliado a PracticeCalculus ni respalda esta guía. Los nombres y pesos de las unidades provienen del marco del curso de College Board; consúltalo por si hay cambios.

## Preguntas frecuentes

### ¿De qué trata la unidad 5 de AP Calculus?

La unidad 5 usa la primera y la segunda derivada para analizar una función. Aplicas el Teorema del Valor Medio y el Teorema del Valor Extremo, hallas dónde una función crece, decrece y cambia de concavidad, localizas extremos relativos y absolutos, representas gráficas y resuelves problemas de optimización.

### ¿Cuánto pesa la unidad 5 en el examen AP?

La unidad 5 supone entre el 15 y el 20 por ciento de la nota de opción múltiple en AP Calculus AB y entre el 10 y el 15 por ciento en AP Calculus BC. Casi todos los exámenes tienen además una pregunta de respuesta libre que da la gráfica de $f'$ y pide analizar $f$.

### ¿Qué es el criterio de los candidatos?

El criterio de los candidatos (candidates test), también llamado método del intervalo cerrado, halla los extremos absolutos en $[a, b]$. Enumera los puntos críticos dentro del intervalo y los dos extremos, evalúa $f$ en cada uno y elige el mayor y el menor valor.

### ¿Cómo justifico un máximo relativo en el examen AP?

Di qué hace $f'$ y dónde. Por ejemplo: "$f$ tiene un máximo relativo en $x = -1$ porque $f'$ pasa de positiva a negativa ahí". Decir solo "$f'(-1) = 0$" no da el punto.